排列组合问题的求解策略1

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1、2021/6/412.2.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略; ;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力学生解决问题分析问题的能力 3.3.学会应用数学思想和方法解决排列组学会应用数学思想和方法解决排列组合问题合问题. .教学目标教学目标1. .进一步理解和应用分步计数原理和分类进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。计数原理。2021/6/42完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办类办法中有法中有 m m1 1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中类

2、办法中有有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )2021/6/43 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法2.2.分步

3、计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）2021/6/44分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。2021/6/45解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成这件事怎样做才能完成这件事, ,即分步还是分

4、类即分步还是分类, ,确定分多少步及多少类。确定分多少步及多少类。3.3.确定排列问题确定排列问题( (有序有序) )还是组合还是组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多少个元素元素总数是多少及取出多少个元素. .解决排列组合综合性问题，往往解决排列组合综合性问题，往往类与步类与步交交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略2021/6/46一一. . 合理分类与分步策略合理分类与分步策略例例1 1. .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个

5、2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?+ + +2021/6/47 从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参人参加某个座谈会，若这加某个座谈会，若这4 4人中必须既有男人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有生又有女生，则不同的选法共有_ _ 3434 练习题练习题2021/6/48二二. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例2.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安

6、应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法题最常用也是最基本的方法, ,若以元素分析为若以元素分析为主主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以若以位置分析为主位置分析为主, ,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求, ,再再处理其它位置。处理其它位置。2021/6/49 练

7、习题7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种葵花不种在中间，也不种在两若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里端的花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？2021/6/410三.相邻元素捆绑策略例例3. 73. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素

8、，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用捆绑法来解决捆绑法来解决. .即将需要相邻的元素合为一个即将需要相邻的元素合为一个元素元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时要注意同时要注意合并元素内部也必须排列合并元素内部也必须排列. .2021/6/411四四. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例4 4. .一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声

9、, ,3 3个个 独独唱唱, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端20

10、21/6/412某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题202021/6/413某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题2021/6/414五五. .定序问题除法策略定序问题除法策略例例5.75.7人排队人排队, ,

11、其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (除序法除序法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： （空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有

12、 种种 方法方法 1思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?2021/6/415练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？2021/6/416六六. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例6.6.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实

13、习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法， 依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法2021/6/417某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）练习题2021/6/418七七. .多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当

14、于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.2021/6/419八八. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,

15、 , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?2021/6/420练习题1.1.一个班有一个班有6 6名战士名战士,

16、,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种1921922.2.有有4 4个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 恰有一个空盒恰有一个空盒, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .2021/6/421九九. .选即为排策略（默认）选即为排策略（默认）例例9.9.同步同步2020页页 8 8（方法两种）（方法两种） 2727页页 2020 25 25页页

17、 7 7解决此类问题解决此类问题,提前默认游戏规则是最基本提前默认游戏规则是最基本的指导思想的指导思想.2021/6/422十十. .小集团问题先整体局部策略小集团问题先整体局部策略31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。例例10.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩幅水彩画画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要要求同一求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为那么共有陈列方式的种数为_2

18、021/6/4235男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种2021/6/424十一十一. .元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例11.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每

19、一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为2021/6/425练习题1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一个球，有多少装法？个球，有多少装法？2021/6/426十二十二. .正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略再

20、淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 9013013015015017017023023025025027027041041045045043043- 9- 9+有些排列组合问题有些排列组合问题, ,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂, ,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷, ,可以先求出它的可以先求出它的反面反面, ,再从整体中淘汰再从整体中淘汰. .例例12.我们班里有我们班里有43位同学位同学,从中任抽从中任抽5人人,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种内的抽法有多少种?20

21、21/6/427十三十三. .构造模型策略构造模型策略一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 例例13.13.某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？有多少种？1202021/6/428十四十四. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例1 14.4.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入

22、这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒3452021/6/429十四十四. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例1 14.4.设有编号

23、设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只

24、有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 2021/6/430对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, ,2.2. 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张3.3. 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年

25、卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种2134572722021/6/431结束用心体会，注重反思与实践2021/6/432十七十七.化归策略化归策略例例18. 2518. 25人排成人排成5555方队方队, ,现从中选现从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解： 将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3333方队方队, ,

26、现现从中选从中选3 3人人, ,要求要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列, ,有多少选法有多少选法. .这样每行必有这样每行必有1 1人人从其中的一行中选取从其中的一行中选取1 1人后人后, ,把这人所在把这人所在的行列都划掉，的行列都划掉，2021/6/433从从5555方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_选法选法所以从所以从5555方队选不在同一行也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_选法。选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要退化成一个简要的问题，通过解

27、决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题解决原来的问题如此继续下去如此继续下去. .从从3333方队中选方队中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5555方队选出方队选出3333方队便可解决问题方队便可解决问题2021/6/434某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区组成个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从其中实线表示马路，从A A走到走到B B的最短路的最短路径有多少种？径有多少种？练习题B BA A2021/6/435小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略

28、加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件, ,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题. .对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题, ,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的我们可以将几种策略结合

29、起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。2021/6/436六六. .环排问题线排策略环排问题线排策略例例6. 56. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5

30、-1)5-1)！一般地一般地, ,n n个不同元素作圆形排个不同元素作圆形排列列, ,共有共有( (n-1)!n-1)!种排法种排法. .如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有圆形排列共有2021/6/437分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，丙组人，丙组3人；人；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。例例1 1：12 12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。人按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A332021/6/438部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！