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1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分小结思考题小结思考题 作业作业利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分double integral二重积分的换元法二重积分的换元法 第二节第二节 二重积分二重积分的计算法的计算法第九章第九章 重积分重积分1本节介绍计算二重积分的方法本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为二重积分化为累次积分累次积分( (即两次定积分即两次定积分).).二重积分的计算法二重积分的计算法2(1) 积分区域积分区域为：为：其中函数其中函数 X型型在区间在区间 上连续上连续.二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计
2、算二重积分3计算截面面积计算截面面积 ( 红色部分即红色部分即A(x0) )二重积分的计算法二重积分的计算法以以D为底为底,以以曲面曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平行平行截面面积为已知截面面积为已知的立体求体积的立体求体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.为底为底,曲线曲线 4是区间是区间 为底为底,曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.有有:二重积分的计算法二重积分的计算法先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分. .5(2) 积分区域
3、积分区域为：为：Y型型先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即二重积分的计算法二重积分的计算法其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.6特殊地特殊地如如D是上述矩形域是上述矩形域, 得得即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.注注D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd二重积分的计算法二重积分的计算法7穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线abdc 计算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:X型区域的特点型区域的特点:Y型区域的特点型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交
4、点与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.但可作出但可作出适当选择适当选择.二重积分的计算法二重积分的计算法8(4) 若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.二重积分的计算法二重积分的计算法9例例解解 积分域既是积分域既是X型又是型又是Y型型法一法一所围所围平面闭区域平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点二重积分的计算法二重积分的计算法10先对先对x后对后对y的积分的积分法二法二二重积分的计
5、算法二重积分的计算法11例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的的积分积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:二重积分的计算法二重积分的计算法12oxy二重积分的计算法二重积分的计算法13例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:原式原式=二重积分的计
6、算法二重积分的计算法14例例解解原式原式=交换积分次序：交换积分次序：二重积分的计算法二重积分的计算法15交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;二重积分的计算法二重积分的计算法16二重积分的计算法二重积分的计算法二次积分一定能交换次序二次积分一定能交换次序答答 不一定不一定!例如例如:由于由于故故所以所以17二重积分的计算法二重积分的计算法例如例如:由于由于故故所以所以说明说明: :当当f (x
7、, y)在所考虑的区域上连续时在所考虑的区域上连续时,二次积分可以交换积分次序二次积分可以交换积分次序.181990 年研究生考题年研究生考题, 填空填空, 3分分解解二重积分的计算法二重积分的计算法交换积分次序交换积分次序19又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要, , 它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题, ,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .二重积分的计算法二重积分的计算法20例例 求证求证 左边的累次积分中左
8、边的累次积分中,积分域积分域可表为可表为提示提示定积分与积分变量的记法无关定积分与积分变量的记法无关不能具体计算不能具体计算.所以所以,是是y的抽象函数的抽象函数,证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序. .二重积分的计算法二重积分的计算法21例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及 解解 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.二重积分的计算法二重积分的计算法还有别的做法吗还有别的做法吗22二重积分的计算法二重积分的计算法2002 年研究生考题年研究生考题, 7分分计算二重积分计算二重积分其中其中 解解 设设23解解计算积分计算积
9、分不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.二重积分的计算法二重积分的计算法24两相邻弧半径平均值两相邻弧半径平均值. 内取圆周内取圆周上一点上一点其直角坐标其直角坐标则则设为设为二重积分的计算法二重积分的计算法二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 25得得 即即也即也即极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素二重积分的计算法二重积分的计算法26(1) 积分区域积分区域D:二重积分的计算法二重积分的计算法27(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):二重积分的计算法二重积分的计算法28极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积(3) 积分区域积分
10、区域D: 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:二重积分的计算法二重积分的计算法29解解例例 写出积分写出积分的的极坐标二次积分极坐标二次积分其中积分区域其中积分区域形式形式,在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为直线方程为直线方程为二重积分的计算法二重积分的计算法30解解a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下二重积分的计算法二重积分的计算法31解解求求反常积分反常积分例例显然有显然有二重积分的计算法二重积分的计算法32又又二重积分的计算法二重积分的计算法对对称称性性质质33概率积分概
11、率积分夹逼定理夹逼定理即即所求反常积分所求反常积分二重积分的计算法二重积分的计算法34解解计算计算所围成的所围成的平面闭区域平面闭区域.例例及及直线直线二重积分的计算法二重积分的计算法35解解双纽线双纽线求曲线求曲线所围成的所围成的图形的面积图形的面积.例例根据对称性有根据对称性有在极坐标系下在极坐标系下二重积分的计算法二重积分的计算法由由得交点得交点面积面积36将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分:化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解原式原式=二重积分的计算法二重积分的计算法371994年研究生考题年研究生考题, 填空填空, 3分分解解极坐标极坐标二重积分的计
12、算法二重积分的计算法38计算二重积分计算二重积分二重积分的计算法二重积分的计算法2003年研究生考题年研究生考题(数学三、四数学三、四)计算计算, 8分分其中积分区域其中积分区域答案答案39 计算计算因被积函数因被积函数D2极坐标极坐标例例分析分析故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1二重积分的计算法二重积分的计算法40 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分. 则则D1二重积分的计算法二重积分的计算法41 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定再确定交换积分次交换积分次1. 交换
13、积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式, 并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;二重积分的计算法二重积分的计算法42 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号,
14、以消除被积函以消除被积函二重积分的计算法二重积分的计算法43例例 计算计算 分析分析 从被积从被积函数看函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.用却又以直角坐标系用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系此题用直角坐标系.二重积分的计算法二重积分的计算法44二重积分的计算法二重积分的计算法45二重积分的计算法二重积分的计算法2003年研究生考题年研究生考题(数学三、四数学三、四)填空填空, 4分分而而D表示全平面表示全平面,则则46 三、三、二
15、重积分的换元法二重积分的换元法设设被积函数被积函数在区域在区域D上上连续连续,若变换若变换满足如下条件满足如下条件:(1)一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2)有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式二重积分的计算法二重积分的计算法47基本要求基本要求 注意注意注意注意变换后定限简便变换后定限简便, 求积容易求积容易二重积分的计算法二重积分的计算法48例例解解所围成的所围成的闭区域闭区域.二重积分的计算法二重积分的计算法其中其中D为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换49故故换元公式仍成立换元公式仍成立,极极坐坐标标二重积分的计算法二重积分的计算法50例
16、例解解 令令则则即即二重积分的计算法二重积分的计算法51故故二重积分的计算法二重积分的计算法52证明证明证证 法一法一交交换换积积分分次次序序累累次次积积分分二重积分的计算法二重积分的计算法53二重积分的计算法二重积分的计算法54证明证明法二法二 令令则则二重积分的计算法二重积分的计算法55故故对对称称性性二重积分的计算法二重积分的计算法56二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算公式二重积分在极坐标系下的计算公式 (注意使用对称性注意使用对称性)二重积分的计算法二重积分的计算法四、小结四、小结(注意正确选择积分次序注意正确选择积分次序, 掌握交换积分
17、次序掌握交换积分次序的方法的方法)恰当选择坐标系计算二重积分恰当选择坐标系计算二重积分(注意选择的原则注意选择的原则)57思考题思考题11995年考研数学年考研数学(一一)5分分解解令令不能直接积出不能直接积出,改变积分次序改变积分次序.法一法一二重积分的计算法二重积分的计算法58故故二重积分的计算法二重积分的计算法59法二法二 设设则则则则二重积分的计算法二重积分的计算法60思考题思考题2设有一曲顶柱体设有一曲顶柱体, 以双曲抛物面以双曲抛物面坐标面为底坐标面为底,试求这个柱体的体积试求这个柱体的体积.解解由由题设可知曲顶柱体在题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影平面上的投影,即积分域即积分
18、域D(如图如图), 由由D的形状可知用的形状可知用极坐标极坐标计算计算 曲顶柱体的体积简便曲顶柱体的体积简便.二重积分的计算法二重积分的计算法61以双曲抛物面以双曲抛物面故故二重积分的计算法二重积分的计算法62思考题思考题3二重积分的计算法二重积分的计算法解答解答交换积分次序交换积分次序:63作业作业习题习题9-29-2(95(95页页) ) 1.(2) (4) 2.(2) (4) 4.(1) (3) 5.二重积分的计算法二重积分的计算法6.(2) (4) (6) 7. 9. 10. 12.(2) (4) 13.(1) (3) 14.(2) (4)15.(2) (3) 17. 18. 20.(1) 21. 22.(1)64
