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1、第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率第 讲（第三课时）（第三课时）题型题型7 直接法解排列、组合综合应用题直接法解排列、组合综合应用题1. 已已知知10件件不不同同产产品品中中共共有有4件件次次品品，现现对对它它们们进进行行一一一一测测试试，直直至至找找到到所所有有次次品为止品为止. (1)若若恰恰在在第第5次次测测试试，才才测测试试到到第第一一件件次次品品，第第10次次才才找找到到最最后后一一件件次次品品的的不不同同测试方法数是多少测试方法数是多少? (2)若若恰恰在在第第5次次测测试试后后，就就找找出出了了所所有有次品，则这样的不同测试方法数是多少次品，则
2、这样的不同测试方法数是多少?解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有 种测法，再排余下4件的测试位置，有 种测法.所以共有不同的测试方法 =103680种.(2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.所以共有不同测试方法=576种. 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.转化思想就是把
3、一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加以解决.从6名短跑运动员中选4人参加4100m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加，有种；(2)甲、乙两人有且仅有一人参加，有种；(3)甲、乙两人均参加，其中甲跑第四棒有种，甲跑第二棒或第三棒有种，由分类计数原理，共=252种.3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙三个公司. (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包三项，有多少种承包方式? (2)如果一个公司承包一项，另一个公司承包两项，剩下的一个公司承包三项，有多少种承包方式? (3)如果每个公司均承包两
4、项，有多少种承包方式? 题型题型8 排列、组合中的分组问题排列、组合中的分组问题解：(1)从6项工程中选一项给甲有 种，从余下的5项中选两项给乙有 种，最后的3项给丙有 种，由分步计数原理共有 =60种. (2)将6项工程依条件分为三组共有 种，而将三组分给甲、乙、丙三公司有 种，故有 =360种. (3)解法1： =90种. 解法2： =90种.点评：对分组或分配问题，先分清是“有序”还是“无序”，然后分清是“均匀”还是“不均匀”分组.如本题中第(1)问就是“有序不均匀”分组问题，第(2)问是“无序不均匀”分组；第(3)问是“无序均匀”分组.注意它们的区别与联系，掌握正确的处理方法.6名运动
5、员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?解法1：先取人，后取学校.1，1，1，3：6人中先取3人有种取法，与剩余3人分到4所学校去有种不同分法，所以共有种分法； 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有 种，然后分到4所学校去，有 种不同的分法，共 种分法.所以符合条件的分配方法有 =1560种.解法2：先取学校，后取人.1，1，1，3：取一个位子放3个人，有种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有 种，所以共有 种；1，1，2，2：先取2个位子放2人(其余2个位子放1人)有 种取法，6人中分别取2人，2人，1人，1人的取法有 种，共有 种.所以符
6、合条件的分配方法有 =1560种.1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别坐在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数. (2)设集合A=3，4，5，6，7，B=4，5，6，7，8，从A、B中各取一个数作为点的坐标，求一共可得到多少个不同的坐标?题型题型 间接法解排列、组合综合应用题间接法解排列、组合综合应用题解：(1)有且只有三个人的编号与座位号一致的坐法有 种，有且只有五个人的编号与座位号一致的坐法有1种.因为五个人任意坐在五个位置上的坐法有 种，所以符合要求的坐法共有 =109(种). (2)从A、B中各取一个数作为点的坐标，有 个.其中A
7、、B中所取元素相同时，重复4个；从A、B中所取元素是4、5、6、7中的两个数时，重复 个.所以共有 =34(个).2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里，求在下列条件下各有多少种不同的放法? (1)恰有一个盒子里放2个球； (2)恰有两个盒子不放球.解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，1的个数分成三组，有 种分法；再将三组球放入四个盒子中的三个，有 放法.由分步计数原理，共有 =144(种).(2)分两类：将四个小球按3，1的个数分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的两个，有 种放法；将四个小球平均分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的两个，有 种放法.由分类计数原理，共有 =84(种)
8、.1.求解排列、组合应用题的一般步骤是：弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问题或组合问题，其中“有序”是排列问题，“无序”是组合问题；通过分析，对事件进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面情况；分析上述解法中有没有重复和遗漏现象，若有，则计算出重复数和遗漏数；列出算式并计算作答.2.解排列、组合应用题的基本方法是：直接法：直接列出符合条件的所有排列或组合，再求出排列数或组合数；间接法：不考虑限制条件计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数，余下的就是满足条件的方法数；分类法：选定一个适当的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各类型的方法数，再由分类计数原理得出结论；分步法：选定一个适当的标准，将事件分成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法数，再由分步计数原理得出结论.3.解排列、组合应用题时要注意以下几方面的技巧和策略：受限元素优先；受限位置优先；相邻元素用“捆绑”并为一个元素；不相邻元素用“插空”；对“含有”或“不含有”某些元素的问题，可先将这些元素取出，再由其他元素补足；对“至少”或“至多”含有n个元素的问题，可用分类或间接方法求解；对排列、组合的混合问题，应先组后排，分步进行；对较复杂的问题可通过分级分类求解；把元素分成若干组常用“隔板插空”等等.
