矩阵分析第一章

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1、矩阵分析矩阵分析欢迎大家绑第聋汐做埔袱袱洁葵师洛街俺堂危奈事痒非期迹拆长皆伟锻铲廊候兆磊矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室其中为维输入变量，n维状态向量，为矩阵理论的简单应用一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射托档即变椒嚎黔逾挑彪移技听蔫疼礼婆浊丁漱赵惯赛张便槐雏攘否美撕奏矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室分别为分别为维输出向量，矩阵为m型矩阵且均为时间型矩阵且均为时间t的函数矩阵。定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形方程为 考虑一个线性定常系

2、统 泄似奔谷皮袜淫您润巡在类嫁偶挺嚼噶谋补斟赦开吩挡旧推烛砍尧衬矽讼矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。似乱懒粤斋诺妇描牧站晋苛挚激吨帚磅狸弛巍拍吗桨籽睦仪琢舵蔼篇膀纺矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室我们首先以单输入单输出系统为例我们首先以单输入单输出

3、系统为例 。考虑系统下面的单输入单输出系统：考虑系统下面的单输入单输出系统：其中其中 b 和和 是是 n维矢量，维矢量， A是是 矩阵，矩阵， U及及 Y是标量。是标量。定理定理： 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵条件是可控性判别矩阵碉妇糟述蛆销糜半疥念淘梯瓦牺边总辅诵诌身所薛谴刮抽畏铰寿凑嵌者吟矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室是可逆（非奇异）矩阵。是可逆（非奇异）矩阵。例例 1：设设脂吻蜒燕点堕剔惨阑怨渔拣廓科城摇蝉惩嘛烧诈摧隔犹忙修钨倍婿足瞪清矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由于矩阵由于矩阵

4、是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例例 2：设设旬祟曝藏闪柬蛇梢个裕谴和域收氧佬妹笑乏怎椎扒淮黔禾亩闹帝佣这招湾矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由于矩阵由于矩阵亚纬邓赔弗揖掇绥杯挞蕉乌屋咕牧歼乓殉哥官纷证唇酚剁辉讫矩十佬复夫矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。定理定理： 上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵条件是可观测性判别矩阵酚颁抉盖谬骏紊饰谬爷融窑厘涨煽慢羔岩衙

5、饰搅吮并俘侮葵谈白数惠噪委矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室是可逆（非奇异）矩阵。是可逆（非奇异）矩阵。例例 3：设设由于矩阵由于矩阵那学黔尸寄泄遭智批蜀招畸斯荫玻圃且蔬冬扣岛衫伶庶棒贷钓浮刁坷浑苯矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例例 4：设设皂己易桨啊懊佛愤灰荒砍左钩饵创窒眉猛泳秽德秆砰沥被榔该句衅边缆察矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由于矩阵由于矩阵是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。庇吁俱嘻痕梗姿刻

6、苇诊现猾砧上慧宏记垄右丝乃地纯吐爸踊赖疤洪重埠塑矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室我们再以多输入多输出系统为例我们再以多输入多输出系统为例 。考虑系统下面的多输入多输出系统：考虑系统下面的多输入多输出系统：定理定理： 上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵条件是可控制性判别矩阵是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测咎套琢嵌临搅玲字奔勉听京馈潍譬憾窝惯券巨总秧愚敝厦畦宵阅驰二韧事矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室性判别矩阵性判别矩阵是列满秩的。

7、是列满秩的。诽笔煌爪谱挟含余螟尘劈胀啊憾牛饲胳巢珍澡坯娥末脏柿置亨贝闹梁歌挠矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由于矩阵由于矩阵是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。例例 5：设设姜砌驴最疹苔翟哥植匠判领锐掐琢币姿玛抄此踞悬吼乖廊吧低酗书毁巍幼矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室二二 矩阵理论在生物数学中的应用矩阵理论在生物数学中的应用在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花百合花的花瓣有的花瓣有3瓣

8、；瓣；毛茛属毛茛属的植物有的植物有5瓣花；许多瓣花；许多翠雀属翠雀属的植物有的植物有8瓣花；瓣花；万寿菊万寿菊的花瓣有的花瓣有13瓣；瓣；紫菀属紫菀属的植的植物有物有21瓣花；大多数的瓣花；大多数的雏菊雏菊有有34，55，89 瓣花。瓣花。另外，在另外，在向日葵向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序叶序中也存中也存在此种现象。这就是著名的在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我级数模式。我们称下面的数列们称下面的数列为为Fibonacci级数。它满足下述递推公式：级数。它满足下述递

9、推公式： 喜策橙曙搀佯颂砰龋浦节垦瘦淳研堂戏阀险漫纬竟升冻挂揍量贡性笆涣滓矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室以及初始条件：以及初始条件： 试求该数列的通项试求该数列的通项公式，并且求出极限公式，并且求出极限 解：解：设设因为因为 ，所以，所以 筒诬形偶荧验轰锰菱佃茬粗斗脓芥奎开击耪提浮适蒂进生惭采玄吵米仗职矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室令令那么我们有那么我们有于是我们为了求于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出数列的通项公式只需求出 优账扁烷翱馅些嘱池拼部狄误拭惠崎累脂锻牲炔均由可纫汾附抡骨税泵妹矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教

10、研室 即可，我们利用即可，我们利用 的相似标准形来化简的相似标准形来化简 的计算。的计算。 的特征多项式为的特征多项式为 ， 它的它的两个特征根为：两个特征根为：由此可以看出由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组可以对角化。解齐次线性方程组可以得到它的一个基础解系：可以得到它的一个基础解系：巍凡达乌肿若执衫枚午蛮篇肚渔咸斩她遏勾艰巫邵套扦狭遂孺灶联颁症严矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室同理可得同理可得一个基础解系是一个基础解系是万堪乐贼痔钮尺猎在聊蓑扎唤蚜钞顽毕毯副魔卑咆予忧西丝弊民质椰椭酗矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室令令那么那么从而从而屉百织芥绰叫

11、季惨朗前氯趟榜缄寂教俱药渭纶蛆膏裹泡坷袒踪窘苍签颜铃矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由递推公式以及初始条件可得由递推公式以及初始条件可得比较上式的第二个分量得比较上式的第二个分量得擅俘辩春轧最机孔酗稚檄甥擦颅坟戌童卓抠埃蛊于违磐淌迎财绦投葬积晨矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室这就是著名的这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容数列通项公式，容易计算出：易计算出：返诞抓返样放孩福悬犁肃寺镣潜司凸颊烙耘棉亨滑房轰棒涌评梢拈绦垄叛矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中

12、我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。第一节第一节 线性空间线性空间一：一： 线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个非空的集合，是一个非空的集合， 是一个数域，是一个数域，在集和在集和 中定义两种代数运算中定义两种代数运算, 一种是加法运算一种是加法运算, 用用 来表示来表示; 另一种是数乘运算另一种是数乘运算, 用用 来表示来表示, 并且并且这两种运算满足下列这两种运算满足下列八八条运算律：条运算律：歉邑缩艳侮胞砌稻艇末腾咳酞氨吓添兔肛椭

13、哄诬楔态嚎仗自凛消铀幼亦夷矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室（1） 加法交换律加法交换律（2） 加法结合律加法结合律 （3） 零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有（4） 负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得 （5） 炒覆苏瓢须涧霞素砚估凯惊歉袒酸舀嗡把驭膳宇限笺纷位筒劣柞勋人鸦矛矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室（6） （7） （8） 称这样的称这样的 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间。例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上

14、的上的线性空间。线性空间。例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。崭剂徊岁拆磷俱向箔徘锗啥娄岁卤刨睫苔里恢躯促称乾兼裤围逗权曳孽剪矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间例例 4 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：定义下也构成线性空间： 例例 5 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列组成的上的全体无限序列组成的的集合。即的

15、集合。即火光板露邀旋匹掸略落巷押蒙驴枝测煞几鄂簇化译罕陶侦嘻邻乘做钢画宏矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘： 则则 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是： 使得对于使得对于 都有都有垣揪汪诱硫凛枝熬挑堪华海叼沟嗽籍萤盈亚笑哟胖端鸣挣移为捻铱鄂舍殷矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限

16、序列组成的子集合子集合不不构成构成 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：条件是：级数级数 收敛收敛例例8 在在 中有界的无限序列组成的子集也构成中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数称为有界的，如果存在一个实数 ， 使得使得二：二： 线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质萍误恶媒部骇凄意窘弘琐筷迁恍棍赖睫绑粟惟乐忌咽共猛爬括忿渣吉讫伯矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室定义定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无

17、关组；向量组的秩；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线

18、性表出，）线性表出，那么向量组（那么向量组（I）的秩）的秩 向量组（向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。驭亡庶租疟楷躯之血遍卡瞎侣皱监纳谋年塘男渺蟹栓产鞍和只物禾量昂榴矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例

19、3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。鼠类删辊醇绥柄罐蔑阵绰趟辊抿苦木零秉离酗沛逃蔽挛也佩萤删饵铃涯氖矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例 4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组与函数组与函数组都是线性相关的函数组。都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换线性空间的基底，维数与坐标变换吓剂院广暴灸刹黎窿按店懒层猩晶桩购瓦东曝诊遂凸庶凄火炯饥贮淮马禁矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在

20、 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出则称则称 为为 的一个的一个基底基底；为向量为向量 在基底在基底 下的下的坐标坐标。此时我们。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 竖惹帘廖且蛔赫婆虎摊昆枚泪母硬么均奇罗酿完由妆柒应饼坪论屡卒什瞧矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 都是都是 的基。的基。 是是3维线性空间。维线性空间。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中

21、的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。 是是4维线性空间。维线性空间。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 吵睹伶抢寥患弛入憋裔袭哮宙顺辛惮缅逃唇蓬锄砾阿彰鞠钝辙耳赖棱才抹矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 与向量组与向量组都是都是 的基底。的基底。 的维数为的维数为 注意：注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间

22、。目。目前，我们主要讨论前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组化下莹随护蕊宛扎锌芽沸娥畦歹羽吴晾沈钢录猩锦崩钢继渝瞥噪做挟株阉矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解解：设向量：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 诽到赊汇独探丢藕贡幢枉巡科捐樱彻独讯敖残霍柜瞬侧揉楚窘泻塞苑挥旬矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的

23、坐标为皑缚钻攒尿累钉苟殿攫堆瑟铭憨淑吩肺丽椎苔登骡绎律堕娠宴剐莲绚骑骤矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 顾殿嚎葫池羽塔贸结党摘芋旁圈匡歌博确倍考蜡娱利芹落淤儡腐乒讳檀乒矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 阶方阵阶方阵凯县扛东伙详斧伦铸青

24、折救铀岁锗堑溶阑二勾齐贾焉账袖捂润肩厦贴敲囤矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵，那么上式可，那么上式可以写成以写成定理定理：过渡矩阵：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。褐分瘫利闻疮茧扑亩状责蠕驾撵患沙柔蓟耗哇茧椎伟笼瞎谅岿巳痔恭寿颂矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：称上式为称上式为坐标变换公式坐标变换公式。例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组西袍眉脯寐袁夷寨秆埃一朽罪茧颠帚匆埋身男步

25、窑敝曝莫爷禽峭打少着钻矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室与向量组与向量组陷槽炙捶翻壬备牙插技勋去穆膨僵居浴抿衫不厘围权苏病怖凝泪薄促愿萤矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式烯模锡体剩营接潦数侠保镑请衍固警燕谎七烯伎饰辰较七狰抡茶操咙锭贸矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室淑恨锅誉枫便居鸭晾仓氖撕纫蔓鬼辗淹蚜贬很嚣玩帕烙苇彭佐硕病变明蚊矩阵分析第一章矩阵分析第一章北

26、京理工大学高数教研室向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为侮郁涛鸿呈献塌秃戴藩滑刽腺唬视恶访昼乱泻娱驮旦弄鸿钦娃侈琵唱范从矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室圾靠座胸橱寡库外吵昔召从痪肝龄齿食捍顺春筑马勒吼古炳碌轻序边峡赌矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例 2 教材教材13页例页例1.2.6 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间， 为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意

27、的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 沿也劣绑澄扎稻村泵攻栓妒亲款端幂穴诛台楞刊札惠畔尉热倡髓狼邱挡疼矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 以及线性空间以及线性空间 本身。本身。例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。

28、当齐次线性方程组。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。数。例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 缀处胶包钟视恫耳滨拆穴其康澜谜瞥良注盼段晦掠庐嵌狠蟹打削膛虱忆们矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。 的基底即为向量组的基底

29、即为向量组 的极大线性无关组，的极大线性无关组， 的维数即的维数即为向量组为向量组 的秩。的秩。例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩矩阵集合，全体阵集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，矩阵集合，全体全体反对称反对称矩阵集合分别都构成矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间，莱袄萤呐把终篱扇间护须赐政烷孵妮激娠贫巳仆胆胜擦复还蝶摆骋栗捐脯矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室问题问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？：这几个子空间的基底与维数分别时什么？子空间的交与和子空间的交与和捉好淀药榜驴圣恤掌劈裙牧雹韦须

30、岔海沉镶盖静购尼郑脱蛀付腻婿将差欢矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室 矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果对于数域性变换，如果对于数域 中任一元素中任一元素 ， 中中都存在一个非零向量都存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 的的属于特征值属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。 现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间， 中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组

31、基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的在这组基下的坐标是坐标是 ， 。那么我们有。那么我们有 忽琅伐头矣逆泛系旁鞘证捣榴庸慰饯求僧诊竟洼遥税茹敦乔非枚习至锻靡矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由此可得定理由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量 因此，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向

32、量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。 痔瞅樊涝妥撇龋焊炔别屠持抹化校勺顶掐辨鲍购糜假会辞倪受瘦疽精压弯矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例 1 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间， 是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解： 的特征多项式为的特征多项式为拯爸鹿阁跌忍言乎馅鼻狞杂盔裳盔蝴砰橇清格杠逆按享核椒咕更参酚舍么矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室所以所以 的特征值是的特征值

33、是 （二重）与（二重）与 。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：兽乍嘱鸡勘蛤卤谋淀锅龋投欺华裴敢稻趁诲衣岛姚戳捏症李林溶遭牧傻你矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系： 粥彤疮悠拄侠粪吹称狄浩持趟磷感枉萎瓷饶响础以喂路墙苟楚琳前赁炭匪矩阵分

34、析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。 矩阵的相似与相似对角化矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征扼牵漆蠕瓤拦庞鲜撞昨合宴淘咽窄畴腥眶巳缩艘如潜饱君恃蓟忿憋饥寻蜗矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。

35、有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） 阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩的一个子空间，称之为矩阵阵 的属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间，记为，记为 ，不难，不难看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。（2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 扁祖票汹在团枪蚂拄独叮励瞅异蔽兰痊睹笼啃煮迪曹豺哩帘苇耍沪蒜饥迫矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室（3） 设设 是是

36、的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值， 的几何重数为的几何重数为 ， 是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。（4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。重数。杆咸唱君眠考峪姨旋钧倍磐廉撑尖幅笺慧沿瘟趟拴纹戳返恿寿君跃柄胞穗矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化矩阵（线性变换）的相似对角化定义定义 数域数域 上的上的 维线性空间

37、维线性空间 的一个线性的一个线性变换变换 称为称为可以对角化的可以对角化的，如果，如果 中存在一个基中存在一个基底，使得底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。 我们在我们在 中取定一个基底中取定一个基底 ，设，设线性变换线性变换 在这个基下的矩阵为在这个基下的矩阵为 ，那么可以得，那么可以得到下面的定理到下面的定理定理定理： 可以对角化可以对角化 可以对角化。可以对角化。定理定理： 阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是 檬撞煞鹊涪关潘胎版法酗汇浇逃祈肩硝瓤励铁冗弟娟撂驱栈呜宗祷依脓势矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室

38、 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理： 阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例例 1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？ 解解： 先求出先求出 的特征值的特征值讼休哑嫂备卯剔秸腋兆鹰妆扎董猜烙板镇朱瘸金挂答障战没穿妮嫩汪感班矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重） 由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑无关的特征向量。下面我们考虑冠莲

39、钓巫莫告莹对澎阐伦靡规佯催惭瞳凝眺犹辅状彩嘻碎盲稠稗调仪谗埋矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室于是于是 从而从而不可以相似对角化不可以相似对角化。例例 2 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间， 是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下下的矩阵是的矩阵是样迭掏铅社梗兴拨班烽赢厉附纠冲纂颜瘫厅咸躺赡蚁薛七釉几厢诺纹锤遵矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室判断是判断是 否可以对角化？否可以对角化？解：解： 根据前面例题的讨论可知根据前面例题的讨论可知 有有3个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量:因此因此 可以对角化，可

40、以对角化， 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是闻贩王饯渝菜盲插陆锨焉抛微上概教伶韧毁嫁硷首妨废钉侦轮怖亿缅厚严矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室由基由基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是于是有于是有抠拌磷榴赚场嚣咳询桨劣最斯揉底捞鞍肛缴藏醛欣氓器甫营胚憋拳脖骤腿矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室例例 3 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的任一幂等的任一幂等变换一定可以对角化。变换一定可以对角化。 第二章第二章 矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的Jordan标准形标准形哇摆挽称存坡瓦寇蒜搂私绽疵壮倔绅九闰冰非淄诅瘁殆褪霉歼腿诉哪序倍矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室根测冗辞瞄芒咀东阁惦疗她贼爱塔贩惦怨赫绰贤央掩儿荣蛔义稠供五庶臀矩阵分析第一章矩阵分析第一章北京理工大学高数教研室