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1、理解数学与稚化思维理解数学与稚化思维谈搞好数学教学设计的关键谈搞好数学教学设计的关键李祎李祎教授教授博士博士福建师范大学福建师范大学数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院福建省中学数学学科带头人培训班上的报告福建省中学数学学科带头人培训班上的报告目录目录一、理解数学：数学教学设计的前提一、理解数学：数学教学设计的前提1 1、学生的学习水平取决于教师的素质、学生的学习水平取决于教师的素质2 2、数学理解重于形式运算、数学理解重于形式运算3 3、数学理解的几个方面、数学理解的几个方面4 4、理解的基本策略是追问、理解的基本策略是追问二、稚化思维：数学教学设计的关键二、稚化思维：数学教学设计的关键
2、1 1、教师的教学类型、教师的教学类型2 2、稚化思维的内涵及意义、稚化思维的内涵及意义3 3、稚化思维的教学设计策略、稚化思维的教学设计策略一、理解数学：数学教学设计的前提一、理解数学：数学教学设计的前提数数学学教教育育，自自然然是是以以“数数学学”内内容容为为核核心心。数数学学教教学学的的优优劣劣，自自然然应应以以学学生生能能否否学学好好“数数学学”为为依归。即方法与手段必须为数学内容服务。依归。即方法与手段必须为数学内容服务。但但在在目目前前，一一提提到到教教师师培培训训、业业务务研研讨讨，想想到到的的都都是是数数学学教教学学理理念念，数数学学教教学学的的方方法法与与技技巧巧，而而数学学
3、科知识本身则受到冷落。数学学科知识本身则受到冷落。人人们们对对教教学学方方法法研研究究情情有有独独钟钟。研研究究教教学学导导入入的的艺艺术术，研研究究指指导导探探究究的的艺艺术术，研研究究练练习习设设计计的的艺艺术术但但却却唯唯独独忘忘了了研研究究那那些些貌貌似似简简单单却却内内涵涵深深刻的中小学数学知识。刻的中小学数学知识。“木木桶桶效效应应”告告诉诉我我们们，一一位位教教师师某某方方面面素素质质的的缺失，就会影响他全部能力的发挥。缺失，就会影响他全部能力的发挥。作作为为一一名名数数学学教教师师，需需要要经经常常问问自自己己：“我我懂懂数数学学吗吗？”还还要要不不断断反反思思：“怎怎样样使使
4、自自己己成成为为一一名名懂数学的数学教师？懂数学的数学教师？”为什么计算时要先乘除后加减？（为什么计算时要先乘除后加减？（见后见后）负数乘以负数为什么会得到正数？负数乘以负数为什么会得到正数？为什么分数相加分母不变分子相加？（为什么分数相加分母不变分子相加？（见后见后）袁袁隆隆平平：“我我最最喜喜欢欢外外语语、地地理理、化化学学，最最不不喜喜欢欢数数学学，因因为为在在学学正正负负数数的的时时候候，搞搞不不清清为为什什么么负负负负相相乘乘得得正正，就就去去问问老老师师，老老师师说说你你记记得得就就是是；学学几几何何时时，对对一一个个定定理理有有疑疑义义，去去问问，还还是是一一样样回回答答，我我由
5、由此此得得出出结结论论，数数学学不不讲讲道道理理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？知知名名华华人人数数学学家家、哈哈佛佛大大学学教教授授丘丘成成桐桐兴兴冲冲冲冲地地赶赶到到杭杭州州，去去与与一一群群刚刚在在高高考考中中取取得得好好成成绩绩的的数数学尖子见面。结果却让他颇为失望：学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大大多多数数学学生生对对数数学学根根本本没没有有清清晰晰的的概概念念，对对定定理理不不甚甚了了了了，只只是是做做习习题题的的机机器器。这这样样的的教教育育体
6、体系，难以培养出什么数学人才系，难以培养出什么数学人才。”1、学生的学习水平取决于教师的素质、学生的学习水平取决于教师的素质庸庸师师如如同同庸庸医医一一样样，不不仅仅不不能能教教好好学学，反反而而会会把把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。教教书书匠匠就就是是知知识识的的搬搬运运工工，把把自自己己会会的的东东西西简简单单的的搬搬运运给给学学生生，没没有有智智慧慧，没没有有思思维维火火花花，不不会会贻误学生一生，但也没有太大的发展。贻误学生一生，但也没有太大的发展。经经师师，不不仅仅能能教教给给学学生生知知识识和和技技能能，并并且且能能培培养养学生具有一定的能
7、力，这属于较高水平的教师。学生具有一定的能力，这属于较高水平的教师。人人师师，不不仅仅给给学学生生知知识识和和能能力力，还还能能给给学学生生智智慧慧，更更能能在在人人格格上上、思思想想上上影影响响学学生生，使使学学生生在在学学习习中中学学到到了了知知识识，掌掌握握了了能能力力，产产生生了了智智慧慧，形形成成了健康人格。了健康人格。2、数学理解重于形式运算、数学理解重于形式运算数学理解的几个层次：数学理解的几个层次：零层次：不知其然者，全无理解；零层次：不知其然者，全无理解；第第一一层层次次：“知知其其然然”，即即掌掌握握结结果果、结结论论，知知道道“是什么是什么”；第第二二层层次次：不不仅仅“
8、知知其其然然”，而而且且“知知其其所所以以然然”，即掌握结论之因，知道，即掌握结论之因，知道“为什么为什么”；第第三三层层次次：这这还还不不够够，还还要要弄弄明明白白“何何由由以以知知其其所所以以然然”，即即怎怎样样想想到到这这样样定定义义、这这个个解解法法或或证证明明的的，这这就就涉涉及及到到思思想想方方法法，从从而而达达到到了了理理解解的的观念性层次。观念性层次。示例：示例：导数与定积分导数与定积分旧旧教教材材：先先讲讲极极限限，再再引引入入导导数数、定定积积分分的的概概念念，把导数、定积分作为特殊极限来处理。把导数、定积分作为特殊极限来处理。这这种种建建立立导导数数、定定积积分分概概念念
9、的的方方式式具具有有较较强强的的逻逻辑辑性性和和系系统统性性，但但由由于于高高中中学学生生很很难难认认识识和和理理解解极极限限的的定定义义，他他们们在在学学习习了了极极限限以以后后，留留在在头头脑脑中的印象往往是：极限就是一些形式化的计算。中的印象往往是：极限就是一些形式化的计算。这这种种把把导导数数和和定定积积分分作作为为特特殊殊的的极极限限处处理理的的呈呈现现方式影响了学生对导数、定积分本质的理解方式影响了学生对导数、定积分本质的理解。课课标标教教材材：不不专专门门介介绍绍极极限限的的形形式式化化定定义义及及相相关关知知识识，不不把把导导数数、定定积积分分作作为为一一种种特特殊殊的的极极限
10、限来来处处理理，而而是是直直接接通通过过反反映映导导数数和和定定积积分分思思想想和和本本质的具体实例质的具体实例，使学生体会其思想，理解其含义。，使学生体会其思想，理解其含义。教教师师必必须须转转变变微微积积分分的的主主要要内内容容就就是是形形式式化化的的计计算算的的传传统统观观念念，准准确确把把握握教教学学要要求求，在在导导数数、定定积积分分概概念念的的引引入入上上多多下下工工夫夫，并并让让学学生生通通过过不不断断应应用用来来理理解解导导数数和和定定积积分分的的本本质质。（“微微积积分分”）为为达达成成数数学学理理解解，教教材材编编制制时时：重重思思想想引引导导，轻轻形式化表述；重实践认知，
11、轻机械操作。形式化表述；重实践认知，轻机械操作。3、数学理解的几个方面、数学理解的几个方面（1）厘清）厘清“是什么是什么”在在随随机机实实验验中中，每每一一种种可可能能出出现现的的情情况况，称称为为一一个个“基本事件基本事件”。 互斥性；可表性。互斥性；可表性。示例一：示例一：基本事件是相对的还是绝对的？基本事件是相对的还是绝对的？在在连连续续两两次次掷掷一一枚枚骰骰子子的的随随机机试试验验中中，向向上上的的点点数之和是偶数的概率是多少？数之和是偶数的概率是多少？教师甲：教师甲：P(A)=18/36=1/2（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3
12、）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）教师乙：教师乙：第一次：第一次：奇奇偶偶第二次：奇，偶第二次：奇，偶奇，偶奇，偶基本事件共有基本事件共有4个，即：（奇，奇）（奇，偶）个，即：（奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶）（偶，奇）（偶，偶）P(A)=1/2区别在于确定基本事件的方法不同区别在于确定基本事件的方法不同。甲按照点数。甲按照点数的具体值找基本事件，乙按照
13、点数的奇偶找基本的具体值找基本事件，乙按照点数的奇偶找基本事件。事件。在在同一个解决问题同一个解决问题的过程中，基本事件应是的过程中，基本事件应是不能不能再分或不必再分再分或不必再分的事件。的事件。示例二：示例二：概率是频率的极限吗？概率是频率的极限吗？“一一般般地地，在在大大量量重重复复试试验验中中，如如果果事事件件A发发生生的的频频率率会会稳稳定定在在某某个个常常数数p附附近近，那那么么事事件件A发发生生的概率的概率P(A)=p” 要注意避免以下理解：要注意避免以下理解：“频频率率的的稳稳定定值值就就是是概概率率的的估估计计值值”。事事实实上上，频频率率的的稳稳定定值值就就是是概概率率，但
14、但是是很很多多时时候候无无法法仅仅从从试验中知道频率的稳定值具体是多少。试验中知道频率的稳定值具体是多少。“随随着着试试验验次次数数的的增增加加，频频率率就就越越来来越越接接近近于于概概率率”。事事实实上上，频频率率稳稳定定于于概概率率并并不不是是说说频频率率的的极极限限就就是是概概率率，而而是是频频率率依依某某种种收收敛敛意意义义趋趋于于概概率，即满足大数定律。率，即满足大数定律。（2）追问）追问“为什么为什么”为为什什么么要要提提出出这这一一数数学学概概念念？为为什什么么要要这这样样而而不不是是那那样样对对概概念念下下定定义义？为为什什么么要要作作出出这这样样的的数数学学约定？约定？问问的
15、的为为什什么么越越多多，得得到到的的学学问问就就可可能能越越多多；问问的的为什么越深，认识就必然越透彻、深入。为什么越深，认识就必然越透彻、深入。如此，才能如此，才能“不仅讲推理，更要讲道理。不仅讲推理，更要讲道理。”示例一：示例一：集合的集合的“三性三性”示例二：示例二：函数的定义函数的定义树立正确的数学观树立正确的数学观：绝对值是正数吗？无限观？：绝对值是正数吗？无限观？示例三：示例三：为什么为什么“先乘除后加减先乘除后加减 ”例例1 1 某某化化肥肥厂厂要要生生产产40004000吨吨化化肥肥，如如果果每每天天生生产产150150吨，生产了吨，生产了1212天，还剩多少吨没有完成？天，还
16、剩多少吨没有完成？若若规规定定“先先乘乘除除，后后加加减减”，则则算算式式就就不不要要加加括括号号：400040001501501212；若若规规定定“先先加加减减，后后乘乘除除”，则则算算式式就就必必须须加加括括号号：40004000（1501501212）例例2 2 三三年年级级同同学学要要浇浇300300棵棵树树，已已经经浇浇了了180180棵棵树树，剩下的分剩下的分3 3次浇完，平均每次浇多少棵树？次浇完，平均每次浇多少棵树？若若规规定定“先先乘乘除除，后后加加减减”，则则算算式式就就必必须须加加括括号号：（300300180180）3 3；若若规规定定“先先加加减减，后后乘乘除除”，
17、算式就不要加括号：，算式就不要加括号：3003001801803 3例例1 1的两种算法：的两种算法： 40004000（150150150150150150150150150150150150150150150150150150150150150150150150） 400040001501501212从从这这里里，不不难难看看出出应应先先做做乘乘法法，后后做做减减法法，也也就就说明了说明了“先乘除后加减先乘除后加减”规定的合理性规定的合理性乘乘法法作作为为一一种种高高级级运运算算，用用乘乘法法计计算算相相同同加加数数的的和，可以大大提高计算效率，使计算简便。和，可以大大提高计算效率，使计算
18、简便。因因此此，在在遇遇到到形形如如“x+a+a+x+a+a+a(b+a(b个个a)a)”的的计计算算问问题题时时，自自然然就就会会想想到到先先用用乘乘法法算算b b个个a a的的和和(a(ab)b)，然后再加，然后再加x x。示例四：示例四：分数为什么要这样相加减？分数为什么要这样相加减？在在小小学学数数学学教教材材中中，分分数数相相加加减减的的规规则则是是: : 两两个个同同分分母母分分数数相相加加减减，分分母母不不变变，分分子子相相加加减减；异异分母的分数相加减，通分变成同分母后相加减。分母的分数相加减，通分变成同分母后相加减。为为什什么么要要这这样样定定义义分分数数加加减减法法呢呢？合
19、合理理的的解解释释是是：因因为为自自然然数数以以“1 1”为为标标准准，“1 1”是是自自然然数数的的单单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。但但是是，不不同同的的分分数数有有着着不不同同的的分分数数单单位位。同同分分母母分分数数，因因为为它它们们的的分分数数单单位位相相同同，所所以以能能直直接接相相加加减减。异异分分母母分分数数，因因为为它它们们的的分分数数单单位位不不同同，所以不能直接相加减。所以不能直接相加减。但但在在解解决决实实际际问问题题当当中中，经经常常也也会会遇遇到到这这样样的的情情形形：两两个个分分数数相相加加减减，将将它它们们的的分
20、分子子、分分母母分分别别相加减。相加减。比比如如，甲甲乙乙两两个个队队踢踢足足球球，第第一一场场2323，第第二二场场1212，总的比赛结果就是，总的比赛结果就是35 35 。又又如如，假假设设在在每每5050名名男男性性中中，患患胃胃病病的的人人有有1313人人；在在每每5050名名女女性性中中，患患胃胃病病的的人人有有8 8人人。此此时时，男男性性患患胃胃病病的的比比例例为为13/5013/50，女女性性患患胃胃病病的的比比例例为为8/50 8/50 。现现在在需需要要描描述述总总体体患患病病率率，那那么么只只能能是是21/100 21/100 。分分数数相相加加减减的的规规则则，也也是是
21、一一种种人人为为的的约约定定。那那么么，人人们们约约定定的的分分数数加加减减法法的的规规则则，为为什什么么是是前前者者而而不是后者呢？不是后者呢？仔仔细细分分析析不不难难发发现现，后后者者这这个个加加减减法法的的规规则则，其其缺点是缺点是: : 不能和自然数的加减法相容不能和自然数的加减法相容。分分数数的的加加减减法法其其实实有有两两种种，前前者者称称之之为为分分数数的的数数量加减法量加减法，后者称之为，后者称之为分数的比例加减法分数的比例加减法。通通常常的的加加减减法法之之所所以以规规定定为为数数量量加加减减法法，是是为为了了使之能够和自然数的加减法兼容。使之能够和自然数的加减法兼容。（3
22、3）建构内容联系）建构内容联系对对教教学学内内容容进进行行设设计计时时，不不能能“就就事事论论事事”，仅仅仅仅考考虑虑到到这这一一“点点”知知识识，这这样样可可能能会会“见见木木不不见林见林”。在在对对教教材材进进行行分分析析时时，要要树树立立“整整体体观观”，要要从从教教学学系系统统的的“宏宏观观视视野野”的的显显现现状状况况与与课课堂堂运运行行的的“微型框架微型框架”两方面进行结构化设计。两方面进行结构化设计。学学习习理理论论的的现现代代研研究究表表明明，组组织织良良好好的的知知识识是是围围绕绕核心概念或核心概念或“大观点大观点”组织的。组织的。布鲁纳布鲁纳的学科基本结构的思想。的学科基本
23、结构的思想。布布鲁鲁纳纳认认为为，学学习习的的实实质质是是一一个个人人把把同同类类事事物物联联系系起起来来，并并把把它它们们组组织织成成赋赋予予它它们们意意义义的的结结构构。学习就是学习就是认知结构的组织和重新组织认知结构的组织和重新组织。知知识识的的学学习习就就是是在在学学生生的的头头脑脑中中形形成成各各学学科科的的知知识识结结构构。这这种种知知识识结结构构是是由由学学科科知知识识中中的的基基本本概概念、基本思想或基本原理组成的念、基本思想或基本原理组成的。 布布鲁鲁纳纳：学学习习知知识识就就是是学学习习事事物物是是怎怎样样相相互互关关联联的的。“不不论论我我们们选选教教什什么么学学科科，务
24、务必必使使学学生生理理解解各门学科的基本结构各门学科的基本结构”。比比如如在在概概念念教教学学中中，在在一一节节课课中中找找到到了了概概念念的的核核心心，也也就就解解决决了了“这这一一节节课课你你的的教教学学究究竟竟要要干干什什么么”的的方向性问题方向性问题。所所谓谓概概念念的的核核心心，是是指指通通过过对对一一节节课课或或一一个个单单元元、一一章章，乃乃至至一一个个数数学学分分支支中中的的主主要要概概念念进进行行解解构构，析析出出的的有有共共同同本本质质指指向向的的、重重要要的的、不不可可或或缺缺的的基础概念。基础概念。 示例一：示例一：小学数学结构略图小学数学结构略图数及其计算：数及其计算
25、：自然数自然数分数分数小数；小数；加加减、乘、除；减、乘、除；算理算理算法算法图形及其度量：图形及其度量：点点，线，面，形，体，线，面，形，体（三角形与圆；分解与组合）（三角形与圆；分解与组合）图形度量：图形度量：长度，角度，长度，角度，面积，体积面积，体积图形性质：图形性质：相等，平行，垂直相等，平行，垂直数据统计及其分析：数据统计及其分析：定义统计量定义统计量确定算法确定算法结果分析结果分析平均数，众数，中位数平均数，众数，中位数示例二：示例二：二分法二分法在在“二二分分法法”的的教教学学中中，“逼逼近近思思想想”就就是是这这节节课的核心思想。课的核心思想。相相对对于于“逼逼近近思思想想”
26、，“二二分分法法”倒倒是是次次要要的的，它它仅仅是是实实现现“逼逼近近”的的一一种种具具体体手手段段，“三三分分法法”“四分法等也未尝不可。四分法等也未尝不可。大大学学计计算算数数学学中中，还还要要学学习习牛牛顿顿法法、弦弦截截法法等等逼逼近的方法。近的方法。其其教教学学线线索索应应是是：方方程程解解的的问问题题，函函数数零零点点问问题题，逼逼近近问问题题，缩缩小小区区间间问问题题，怎怎样样缩缩小小的的问问题题，二二分法问题。分法问题。示例三：示例三：直线直线一一条条直直线线有有一一个个点点和和一一个个方方向向就就确确定定了了，而而直直线线方方向向的的本本质质就就是是直直线线的的倾倾斜斜程程度
27、度。故故直直线线的的倾倾斜斜程度也就成了所有直线问题的核心概念。程度也就成了所有直线问题的核心概念。 “直直线线的的斜斜率率”由由于于它它没没有有不不可可或或缺缺性性，虽虽然然是是非常重要的概念，但不是概念的核心。非常重要的概念，但不是概念的核心。认认为为直直线线的的核核心心是是“直直线线的的倾倾斜斜程程度度”的的话话，那那么么后后续续的的教教学学还还可可以以由由向向量量法法为为主主导导，不不仅仅可可以以让让“斜斜率率”得得到到本本质质的的解解构构，即即把把几几何何要要素素转转化化为为代代数数运运算算的的解解析析法法思思想想，而而且且为为“直直线线与与方方程程”的教学打开更广阔的视野。（的教学
28、打开更广阔的视野。（教学法的颠倒教学法的颠倒？）？）（4）挖掘思想方法）挖掘思想方法数数学学思思想想是是对对数数学学对对象象的的本本质质认认识识，是是对对具具体体的的数数学学概概念念、命命题题、规规律律、方方法法等等的的认认识识过过程程中中提提炼炼概概括括的的基基本本观观点点和和根根本本想想法法。数数学学方方法法是是指指数数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。显显性性的的知知识识是是写写在在教教材材上上的的一一条条明明线线，隐隐性性的的思思想想是潜藏其中的一条暗线。是潜藏其中的一条暗线。数数学学思思想想方方法法的的教教学学一一定定要要注注意意“过
29、过程程性性”，“没没有有过过程程就就等等于于没没有有思思想想”，要要让让学学生生在在过过程程中中去逐步体会和理解。去逐步体会和理解。示例一：示例一：对数函数及其性质对数函数及其性质通过图像研究函数的性质通过图像研究函数的性质数形结合思想数形结合思想；通通过过具具体体函函数数的的性性质质归归纳纳出出一一般般函函数数的的性性质质从特殊到一般的归纳思想从特殊到一般的归纳思想；区区分分和和两两种种情情况况来来讨讨论论函函数数的的性性质质分分类类讨讨论论思想思想；通通过过与与指指数数函函数数的的对对比比来来研研究究对对数数函函数数类类比比的思想方法的思想方法；对对数数概概念念引引出出及及对对数数性性质质
30、应应用用实实例例数数学学模模型型思想方法思想方法。示例二：示例二：函数单调性函数单调性哲哲学学的的视视角角：形形式式与与内内容容；运运动动与与静静止止；偶偶然然与与必必然然 ；现现象象与与本本质质 ；原原因因与与结结果果 ；整整体体与与局局部部；有限与无限；等。有限与无限；等。思思维维的的视视角角：观观察察与与实实验验；类类比比与与猜猜想想；归归纳纳与与演演绎绎 ；分分析析与与综综合合 ；抽抽象象与与概概括括 ；特特殊殊与与一一般般 ；比较与分类比较与分类 ；等。；等。数学的视角：数学的视角：1、全全局局性性的的方方法法：数数学学模模型型方方法法；关关系系映映射射反反演方法演方法；公理化方法；
31、公理化方法；坐标方法；等。；坐标方法；等。2、技技巧巧性性的的方方法法：解解题题策策略略层层面面；解解题题方方法法层层面；解题技巧层面。面；解题技巧层面。高高考考考考试试说说明明：函函数数与与方方程程思思想想；数数形形结结合合思思想想；分分类类与与整整合合思思想想；化化归归与与转转化化思思想想；特特殊殊与与一一般般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。思想；有限与无限思想；必然与或然思想。4、理解的基本策略是追问、理解的基本策略是追问（1）通过追问形成正确的认识）通过追问形成正确的认识教教学学首首先先要要解解决决“教教得得对对不不对对”的的问问题题，再再解解决决“教得好不好教得好不好”的问题。
32、的问题。通通过过追追问问，养养成成从从数数学学科科学学的的视视角角审审视视数数学学课课程程内容的思维习惯，切实避免出现科学性错误。内容的思维习惯，切实避免出现科学性错误。示例一：示例一：有了角度制为什么还要引进弧度制？有了角度制为什么还要引进弧度制？示例二：示例二：指数函数中为什么要规定指数函数中为什么要规定a0（2）通过追问获得深层理解）通过追问获得深层理解对对任任何何事事物物的的理理解解，均均存存在在表表层层理理解解和和深深层层理理解解。对数学知识的理解，也是如此。对数学知识的理解，也是如此。比比如如，自自然然数数的的含含义义实实际际上上有有两两种种，即即基基数数含含义义和和序序数数含含义
33、义。当当用用来来表表示示事事物物的的数数量量，即即被被数数的的物物体体有有“多多少少个个”时时，这这就就是是自自然然数数的的基基数数意意义义；当当用用来来表表示示事事物物的的次次序序，即即最最后后被被数数的的物物体体是是“第几个第几个”时，就是自然数的序数意义。时，就是自然数的序数意义。示例一：示例一：零为什么不能作除数？零为什么不能作除数？示例二：示例二：对数函数中为什么要规定对数函数中为什么要规定a1（3）通过追问拓展学科知识）通过追问拓展学科知识追追问问不不仅仅可可以以从从纵纵向向获获得得对对数数学学知知识识的的深深刻刻理理解解，还还可可以以从从横横向向拓拓广广自自己己的的数数学学视视野
34、野，从从而而使使教教师师专业知识结构的建构，不仅专业知识结构的建构，不仅精深而且广博精深而且广博。学学问问广广博博，学学识识丰丰富富，这这样样才才能能以以一一种种宏宏观观的的、联联系系的的、发发展展的的观观念念去去看看待待数数学学，而而不不拘拘泥泥于于局局部部的的、零零散散的的、静静态态的的认认识识，才才能能从从更更高高的的角角度度理解数学，才能在教学时信手拈来、游刃有余。理解数学，才能在教学时信手拈来、游刃有余。示例一：示例一：一元三次方程有求根公式吗？一元三次方程有求根公式吗？示例二：示例二：有等和数列与等积数列吗？有等和数列与等积数列吗？（4）通过追问获得较高观点）通过追问获得较高观点教
35、教师师要要做做到到“深深入入浅浅出出”，就就是是要要学学到到应应有有的的深深度，这样才可能在教学中浅出。度，这样才可能在教学中浅出。示例一：示例一：正整数的个数比偶数的个数多吗？正整数的个数比偶数的个数多吗？示例二：示例二：以下和式的极限存在吗？以下和式的极限存在吗？S=（11）（11）（11）S=1（11111）（5）通过追问形成多元化思路）通过追问形成多元化思路示例一：示例一：对绝对值不等式的理解对绝对值不等式的理解动静转换动静转换数形结合数形结合更多应用更多应用示例二：示例二：二项式定理的证明二项式定理的证明能否严格进行推导和证明？能否严格进行推导和证明？二、稚化思维：数学教学设计的关键
36、二、稚化思维：数学教学设计的关键1、教师的教学类型、教师的教学类型深入深出型，深入深出型，就是自己的知识很丰富、很深奥，交给学生就是自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，结果学生听得晕晕乎乎不明所以然。的知识也很深奥，结果学生听得晕晕乎乎不明所以然。浅入深出型，浅入深出型，自己的知识很贫乏，可以说是腹中空空，但自己的知识很贫乏，可以说是腹中空空，但却要装的很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩，让却要装的很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩，让学生是丈二和尚摸不着头脑。学生是丈二和尚摸不着头脑。浅入浅出型，浅入浅出型，就是自己懂得并不多，但老老实实地用通俗就是自己懂得并不多，但老
37、老实实地用通俗的语言教给学生，至少学生听得明白、学得会，虽说不会的语言教给学生，至少学生听得明白、学得会，虽说不会有太多的提高，但能学到一些知识。有太多的提高，但能学到一些知识。深入浅出型，深入浅出型，自己的学问很深，但能用通俗、易懂的语言自己的学问很深，但能用通俗、易懂的语言传递给学生，把枯燥的知识生动化，把晦涩难懂的知识通传递给学生，把枯燥的知识生动化，把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。（俗化，学生听得懂、学得会。（深入；浅出深入；浅出）2、稚化思维的内涵及意义、稚化思维的内涵及意义（1）稚化思维的内涵）稚化思维的内涵教教师师最最擅擅长长的的就就是是扮扮演演“先先知知先先觉觉”的
38、的上上帝帝的的角角色色。他他们们已已经经知知道道了了所所要要学学习习的的某某知知识识的的存存在在，所所以以在在教教学学时时总总是是千千方方百百计计地地让让学学生生很很快快地地获获得得这这一一知知识识，而而不不是是让让学学生生返返回回到到知知识识生生成成的的原原生生状态状态，让学生把相关的知识意义创造出来。，让学生把相关的知识意义创造出来。数数学学教教学学一一直直是是一一种种“为为我我”的的状状态态而而不不是是“为为他他”的的状状态态，教教师师常常常常只只是是站站在在自自己己的的认认知知角角度度、而不是站在学生认知心理的角度来考虑问题。而不是站在学生认知心理的角度来考虑问题。教教学学设设计计的的
39、思思路路与与知知识识的的内内在在结结构构和和学学生生的的认认识识过程和谐同步。（过程和谐同步。（序序）所所谓谓稚稚化化思思维维，就就是是教教师师把把自自己己的的外外在在权权威威隐隐蔽蔽起起来来，教教学学时时不不以以知知识识丰丰富富的的教教师师自自居居，而而是是把把自自己己的的思思维维降降格格到到学学生生的的思思维维水水平平，亲亲近近学学生生，接接近近学学生生，有有意意识识地地退退回回到到与与学学生生相相仿仿的的思思维维状状态态，设设身身处处地地地地揣揣摩摩学学生生的的学学习习水水平平、状状态态等等，有有意意识识地地生生发发一一种种陌陌生生感感、新新鲜鲜感感，以以与与学学生生同同样样的的认认知知
40、兴兴趣趣、同同样样的的学学习习情情绪绪、同同样样的的思思维维情情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。稚化思维与讲解教学。稚化思维与讲解教学。波波利利亚亚:“让让你你的的学学生生提提问问题题，要要不不就就象象他他们们自自己己提提问问的的那那样样由由你你去去提提出出这这些些问问题题；让让你你的的学学生生给给出出解解答答，要要不不就就象象他他们们自自己己给给出出的的那那样样由由你你去去给出解答。给出解答。”（数学的发现数学的发现）这这就就要要求求教教师师在在教教学学设设计计中中，要要有有意意识识地地退退回回到到与与学学生生相相仿仿的的思思维维态态势势，通通
41、过过“心心理理换换位位”对对自自身身的的自自我我监监控控进进行行必必要要的的加加工工和和处处理理，使使教教学学设设计中呈现的教学思路更贴近学生的实际。计中呈现的教学思路更贴近学生的实际。（2 2）稚化思维的意义）稚化思维的意义有利于引起思维共振有利于引起思维共振学学习习就就是是学学生生思思维维结结构构向向专专家家思思维维结结构构转转化化的的过过程。须在专家与学生思维活动之间架设桥梁。程。须在专家与学生思维活动之间架设桥梁。教教师师以以自自己己的的知知识识水水平平去去思思考考，把把思思考考过过程程和和结结果教给学生，学生往往知其然不知其所以然果教给学生，学生往往知其然不知其所以然。（过程性过程性
42、）数数学学家家萧萧荫荫堂堂: :“有有时时教教授授备备课课不不足足，笨笨手手笨笨脚脚地地算算错错了了数数，从从他他搔搔着着首首、念念念念有有词词的的改改正正中中，反而可以看出他的思路，真正学到些东西。反而可以看出他的思路，真正学到些东西。”教教师师：悬悬置置知知识识，稚稚化化思思维维，使使师师生生之之间间在在认认识识程程序序上上达达到到“同同频频”，引引起起教教与与学学的的“共共振振” 。有利于降低认知难度有利于降低认知难度学学生生在在学学习习中中遇遇到到的的困困难难，多多数数源源于于教教学学过过程程起起点过高，或先前认知经验的不足点过高，或先前认知经验的不足。（。（间接性，技巧性间接性，技巧
43、性）教教师师稚稚化化自自己己的的思思维维，降降低低教教学学的的起起点点，与与学学生生一一起起走走入入学学生生的的原原有有经经验验中中去去，在在学学生生原原有有思思维维水水平平上上展展开开教教学学，顺顺着着他他们们的的思思维维逐逐渐渐展展开开，在在思思维维的的水水到到渠渠成成中中掌掌握握新新知知识识，这这样样可可以以大大大大降降低学习新知识的难度。低学习新知识的难度。（循循善诱，自然流畅循循善诱，自然流畅）有利于拉近情感距离有利于拉近情感距离苏苏霍霍姆姆林林斯斯基基：“教教师师必必须须在在某某种种程程度度上上变变成成孩孩子。子。”稚稚化化成成熟熟的的思思维维，在在稚稚化化中中调调协协情情感感阀阀
44、门门和和思思维维按按钮钮，让让教教师师和和学学生生的的心心灵灵“频频率率”同同步步，与与学学生实现心灵的共振，真正地飞进孩提的心灵世界。生实现心灵的共振，真正地飞进孩提的心灵世界。教教育育心心理理学学指指出出：要要使使学学生生接接受受你你的的观观点点，你你就就必必须须同同学学生生保保持持“同同体体观观”的的关关系系即即“自己人的效应自己人的效应”，这样就拉近了双方的心理距离。，这样就拉近了双方的心理距离。3、稚化思维的教学设计策略、稚化思维的教学设计策略（1）分析问题以学生的认知结构为起点）分析问题以学生的认知结构为起点分分析析问问题题：增增加加从从旧旧知知识识到到新新知知识识的的层层次次，尽
45、尽可可能能减减小小思思维维落落差差，帮帮助助学学生生从从原原有有知知识识和和经经验验中中找到找到“支架支架”。教教学学设设计计要要从从学学生生真真实实的的问问题题和和经经验验出出发发，而而不不是从数学教材或从教师假想的问题和经验出发。是从数学教材或从教师假想的问题和经验出发。所所谓谓真真实实的的问问题题，即即是是学学生生头头脑脑中中真真正正存存在在的的问问题，是作为新知识固着点的问题。题，是作为新知识固着点的问题。所所谓谓真真实实的的经经验验，即即是是学学生生头头脑脑中中已已有有的的经经验验，是作为新知识生长点的经验。是作为新知识生长点的经验。教教师师经经常常对对数数学学对对象象的的本本质质与
46、与学学生生个个体体认认识识的的实实质质性性关关联联揭揭示示不不够够，没没有有真真正正揭揭示示出出学学习习任任务务与与学学生生固固有有认认识识的的矛矛盾盾，从从而而导导致致学学生生的的被被动动接接受受和机械记忆和机械记忆。物理学大师物理学大师保罗保罗狄拉克狄拉克的学术报告。的学术报告。许许多多教教师师在在数数学学教教学学设设计计中中，关关心心的的并并不不是是学学习习任任务务与与学学生生固固有有认认识识的的实实际际差差距距，往往往往只只是是从从所所要要学学习习的的知知识识点点出出发发来来设设计计问问题题，这这样样的的问问题题就就类类似似于于狄狄拉拉克克所所拒拒绝绝回回答答的的那那类类问问题题，这这
47、样样的的教教学设计就最容易脱离学生的实际认知水平。学设计就最容易脱离学生的实际认知水平。有有意意义义学学习习必必须须以以学学习习者者原原有有的的认认知知结结构构为为基基础础。必然存在着必然存在着原有知识对当前知识学习的影响原有知识对当前知识学习的影响。“如如果果不不得得不不把把教教育育心心理理学学的的所所有有内内容容简简约约成成一一条条原原理理的的话话，我我会会说说：影影响响学学习习的的最最重重要要的的因因素素是是学学生生已已经经知知道道了了什什么么。弄弄清清了了这这一一点点，并并据据此此展开教学展开教学”。（1/x1/x是分数吗？）是分数吗？）认认知知结结构构对对新新知知识识获获得得和和保保
48、持持的的影影响响因因素素：认认知知结结构构中中对对新新知知识识起起固固定定作作用用的的旧旧知知识识的的可可利利用用性性；新新知知识识与与同同化化它它的的原原有有旧旧知知识识之之间间的的可可辨辨别别性性程程度度；认认知知结结构构中中起起固固定定作作用用的的旧旧知知识识的的稳定性和清晰性程度稳定性和清晰性程度。示例一：示例一：正弦定理的证明正弦定理的证明作高法；面积法；外接圆法；角平分线定理法作高法；面积法；外接圆法；角平分线定理法示例二：示例二：两角和的余弦公式的证明两角和的余弦公式的证明新教材：三角函数线；向量法新教材：三角函数线；向量法（2）启迪心智以学生的思维方式为起点）启迪心智以学生的思
49、维方式为起点为为了了使使教教师师的的思思维维契契合合或或顺顺应应学学生生的的思思维维，使使两两种种思思维维“合合拍拍”，教教师师需需要要设设身身处处地地地地从从学学生生实实际出发来进行教学设计。际出发来进行教学设计。当当教教师师的的思思维维带带上上了了学学生生的的色色彩彩，甚甚至至达达到到了了“学学生生化化”之之后后，教教的的过过程程就就自自然然与与学学的的过过程程融融为为一一体体，教教学学就就会会进进入入一一种种自自然然流流畅畅的的状状态态，这这就就能能从从一一定定程程度度上上避避免免教教师师以以自自己己的的思思维维来来取取代代学学生的思维。生的思维。为为此此，教教师师要要善善于于运运用用稚
50、稚化化思思维维的的退退化化性性原原理理和和表演性原理，表演性原理，惑其所惑，难其所难，错其所错惑其所惑，难其所难，错其所错。 惑其所惑，以利解惑惑其所惑，以利解惑从从学学生生的的心心智智状状态态出出发发，将将自自己己的的思思维维退退化化到到学学生生的的思思维维势势态态，疑疑其其所所疑疑，惑惑其其所所惑惑，根根据据学学生生可可能能出出现现的的疑疑惑惑来来确确定定教教学学难难点点，或或根根据据教教学学需需要，要，蓄意制造引起速惑的思维环境蓄意制造引起速惑的思维环境。难其所难，以利化难难其所难，以利化难教教师师只只有有扮扮演演学学生生的的角角色色，成成为为学学生生的的化化身身，才才能体察能体察“民情
51、民情”，知道学生的困难所在。，知道学生的困难所在。错其所错，以求防错错其所错，以求防错可可以以根根据据以以往往的的教教学学经经验验，装装着着不不知知不不觉觉的的样样子子，发发生生学学生生常常见见的的典典型型错错误误，让让学学生生进进行行识识别别或或故故意挑起争端，让学生积极地帮老师纠错。意挑起争端，让学生积极地帮老师纠错。示例一：示例一：等差数列求和公式等差数列求和公式配对求和（由高斯求和引出：配对求和（由高斯求和引出：先行组织者先行组织者）化归转化（先求化归转化（先求Sn=1+2+n）倒序相加（倒序相加（如何过渡如何过渡？）？）面积法面积法an=a1+(n-1)d，不妨设，不妨设ai0(a1
52、+a2)/2+(a2+a3)/2+(an-1+an)/2=(n-1)(a1+an)/2两段同时加两段同时加(a1+an)/2，整理便得。，整理便得。 示例二：示例二：等比数列求和公式等比数列求和公式等比定理等比定理最靠近最近发展区最靠近最近发展区化归转化化归转化提取提取a1：归纳猜想归纳猜想错位相消错位相消透视透视“错位相消错位相消”的实质的实质求和的实质求和的实质其它方法其它方法提取提取q：数学美的启示：数学美的启示：示例三：示例三：函数的单调性函数的单调性函函数数单单调调性性的的教教学学设设计计，大大体体从从以以下下三三个个层层次次上展开。上展开。首首先先观观察察图图像像，描描述述变变化化
53、规规律律，如如上上升升、下下降降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识；其其次次，结结合合图图、表表，用用自自然然语语言言描描述述，即即因因变变量随自变量的增大而增大（或减小）；量随自变量的增大而增大（或减小）；最最后后，用用数数学学符符号号语语言言描描述述变变化化规规律律，逐逐步步实实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。教教学学的的困困惑惑主主要要来来自自于于研研究究课课题题的的提提出出，即即从从图图像像上上不不难难获获得得图图像像“上上升升”或或“下下降降”的的直直观观特特征，但为什么还要进一步来研究它呢？征，但为什么还要进一步来研究它呢？
54、这这时时教教师师可可采采用用解解释释和和说说明明的的方方法法，帮帮助助学学生生解解疑疑释释惑惑，即即“上上升升”“下下降降”是是一一种种日日常常语语言言，用用日日常常语语言言描描述述“单单调调增增”“单单调调减减”这这样样的的数数学性质是学性质是不够准确的不够准确的。那那么么，能能否否用用数数学学语语言言来来描描述述函函数数的的这这种种特特点点呢呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？这这时时结结合合图图像像的的特特点点，即即它它是是“函函数数”的的图图像像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。教教学学的的难难点点主主要要集集中中在在第第三三个个层层次次，即即如如何何用用符符号号化化的的数数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：教教学学的的易易错错点点，主主要要在在于于定定义义中中自自变变量量取取值值的的“任任意意性性”。可可针针对对以以下下两两个个方方面面，有有意意模模拟拟错错误误，让学生进行辨别：让学生进行辨别：谢谢电话：电话：1345919242913459192429邮箱：邮箱：
