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1、5.7 有约束非线性优化问题数值解法的SUMT法-电机设计的罚函数法2024/7/271jiahaolaiSUMT法，即序列无约束极小化方法(Sequential Unconstrained Minimization Technique),又称罚函数法，是处理不等式约束优化问题的一种有效方法。它通过引进罚函数的方法将目标函数 、约束条件 构造成合适的增广目标函数 ，从而将一个具有不等式约束的优化设计问题转化为对增广目标函数的序列无约束最优化设计问题2024/7/272jiahaolai增广目标函数的构造设约束优化设计问题为构造的增广目标函数增广目标函数为或罚函数罚函数罚因子罚因子 2024/7
2、/273jiahaolai罚函数的特点(1)在求增广目标函数F(X,r)的极小化过程中，当X 不满足约束条件时，罚函数项 的函数值很大，相当于对正在极小化之中的优化进程给了一个惩罚，迫使优化进程不再朝这个方向发展，而要改变搜索方向，向最优点方向移动；当设计点X满足约束极值点时，罚函数项应等于零(或接近于零)；2024/7/274jiahaolai罚函数的特点(2)在增广目标函数F(X,r)的极小化进程中，罚函数项的影响应逐渐趋于零，当罚函数项变为零时， F(X,r) 的无约束极小点就是满足全部约束条件的原目标函数 f(X)的约束极小点。在优化过程中，罚因子r 应按一定的序列变化，确保对目标函数
3、有足够的惩罚。2024/7/275jiahaolai外点法、内点法外点法外点法在搜索无约束极值点的过程中，搜索点列 、 从可行解域外逐步向最优点 逼近,称为SUMT外点法。内点法内点法内点法是从可行域内逼近最优解2024/7/276jiahaolai SUMT外点法罚函数构造(1)罚函数特性罚函数特性2024/7/277jiahaolai外点法的罚函数构造(2) 为第 个约束第 k 步迭代时的罚因子2024/7/278jiahaolai SUMT外点法的迭代过程2024/7/279jiahaolai SUMT外点法实例(1)2024/7/2710jiahaolaiSUMT外点法实例(2)循环次
4、数无约束迭代次数调用目标函数罚因子K次极小点增广目标函数目标函数罚函数项罚函数1234564038363632357671687160690.11101001000100007.4285,5.42856.4000,4.40006.0488,4.04886.0050,4.00506.0006,4.00046.0000，4.00019.142911.200011.902411.990011.999011.99998.326510.560011.807211.980111.998011.99980.81630.64000.09520.00999.9060e-49.9499e-58.16320.640
5、00.00959.9490e-59.9060e-79.9499e-9外点法的迭代过程外点法的迭代过程2024/7/2711jiahaolai SUMT内点法(障碍函数法)设最优化问题为相应的增广目标函数为式中， 为第 步迭代时的罚因子， 罚函数罚函数特性特性2024/7/2712jiahaolai2024/7/27jiahaolai13内点罚函数的特点是：越接近边界gi(X)0, 增广目标函数值越大，点向边界移动就越困难，所以这类罚函数又被称为障碍函数。要注意障碍函数中不含有等式约束，这是因为内部罚函数法不允许点移出可行域，也不许点达到约束边界，这对等式约束是无法办到的。所以内罚法不适用于等式
6、约束的情况。如用内罚法处理不等式约束，而用外罚法处理等式约束，则称为混合罚函数法SUMT内点法的迭代过程2024/7/2714jiahaolai内点法、外点法、收敛性判据(1)(2)2024/7/2715jiahaolai内点法实例 min s.t.构造内点法增广目标函数寻优采用单纯形法，寻优起点坐标 , 2024/7/2716jiahaolai循环次数无约束迭代次数调用目标函数罚因子K次极小点增广目标函数目标函数罚函数项罚函数123456789101112131415161718192021221064440414041394440543836323229282528303027203797
7、57679797782791017270636056565054565954100000500002500012500625031251562.5781.25390.625190.32597.6562548.82812524.414112.2076.10353.0521.5260.7630.38150.19070.095370.04768-22.5885,-24.5885-16.5601,-18.5601-11.7770,-13.7770-7.9829,-9.9829-4.9741,-6.9742-2.5893,-4.5894-0.7005,-2.70050.7938,-1.20611.974
8、3,-0.02572.9351,0.93513.6350,1.63504.2062,2.20624.6502,2.65024.9927,2.99275.2545,3.25455.4527,3.45275.6012,3.60125.7113,3.71135.7922,3.79215.8510,3.85115.8936,3.89365.9799,4.02012.6926e+31.7193e+31.1023e+3710.4300461.0890302.0450200.2945134.960192.825564.700347.699436.003228.264723.103119.631317.277
9、015.667514.559613.792313.258112.8851943.6565611.1972398.8400264.4600176.3300120.100083.700059.930044.300033.650027.053322.392819.221417.04415.537814.494014.413813.238211.386612.618012.436912.00121.749e+31.108e+3703.1552446.9700284.7602181.9117116.595875.031548.516331.049220.646113.61049.04336.05914.
10、09352.78831.91321.32140.91780.64010.44820.01750.02220.02810.03580.04560.05820.07460.0960.12420.16310.21140.27870.37040.49640.67070.91361.25371.73192.40573.35694.6993表6-3 例6-6 的迭代过程2024/7/2717jiahaolai内点法惩罚函数其它构造方法式中，为阶跃函数。2024/7/2718jiahaolai寻找内点法要求的迭代初始点2024/7/2719jiahaolai内点法和外点法的比较 和外点法相比较，内点法的迭代
11、点列都是可行解，可以针对实际要求给定迭代精度随时停止迭代，以中间过程的解作为近似最优解，可给与设计方案一定的裕量做后备，更适合实际使用；但内点法对于等式约束不能直接应用，而外点法则无此限制。2024/7/2720jiahaolai SUMT混合法对同时具有不等式约束和等式约束的优化问题，实际中采用内点法和外点法相结合的混合法。2024/7/2721jiahaolai混合法罚涵数的构造设优化问题为构造增广目标函数或初始点X0 为内点，rk 为递减数列，具有内点罚函数法的求解特点和步骤； 初始点X0 为外点，rk 为递增数列，具有外点罚函数法的求解特点和步骤； 2024/7/2722jiahaol
12、ai混合法实例2024/7/2723jiahaolai混和罚函数的迭代过程混和罚函数的迭代过程循 环次数无约束迭代次数调用目标函数罚因子K次极小点增广目标函数目标函数1234567891011121314151676454650484534373935323329343133140838994918665697770636358656165100000200004000800160326.41.280.2560.05120.01024 0.0020480.00040960.000081920.0000163840.0000032768-22.5882，-24.5881-10.4576,-12.
13、4575-3.3738,-5.37380.7520,-1.24803.1352,1.13524.4685,2.46845.0873,3.08734.5538,2.55383.7699,1.76993.5569,1.55683.5115,1.51153.5023,1.50233.5005,1.50053.5001,1.50013.5000,1.50013.5000,1.50002.6926e+003956.3440350.7712136.790859.594831.036021.564623.789127.089428.004628.200328.240028.248028.249628.249
14、928.2500943.6349348.6815137.363260.533831.666520.471916.483819.876125.893827.741728.146828.229328.245928.249228.249828.25002024/7/2724jiahaolai应用SUMT方法需要注意的问题(1)罚因子初值的选择-外点法对外点法来说，罚因子是递增的，r1 是罚因子序列中最小的，理论上r1 时，得到最优解，故适当加大r1 可加大收敛速度，但若太大，罚函数变化剧烈，有可能求优失败；反之，若r1 太小，迭代次数增加，优化速度下降，收敛过慢。 2024/7/2725jiahao
15、lai(1)罚因子初值的选择-内点法对内点法来说，罚因子是递减的，r1 是罚因子序列中最大的，理论上r10 时，可得到最优解，故适当减小r1可加大收敛速度，但若r1太小，罚项起作用太小甚至不起作用，求增广目标函数的最优点就好像是求原目标函数的最优点，有可能求优失败；若r1 太大，迭代次数增加，优化速度下降，收敛速度减慢。罚因子初值r1 选择要适当，不宜太大，也不宜太小。一般不存在确定r1 的计算公式，主要靠试算取得经验。2024/7/2726jiahaolai(2)递增系数或递减系数c 同样，递增系数或递减系数c也不能取得太大或太小，也没有确定性的计算公式，其经验数据约为210。(3)初始点X
16、0 的选择 对外点法，初始点可任意选择，无论其初始点选择在可行域内或可行域外，其极值点都在可行域外。若初始点离最优解较近，可加快收敛速度。 对内点法，初始点必须在可行域之内，编程人员可通过观察或上节提供的方法确定初始点，或通过随机实验法得到初始点。2024/7/2727jiahaolai(4)用约束裕量来保证取得可行设计方案外点法的收敛过程，是从约束区域外向约束曲面逼近的，因此按照允许误差求出的极小点X* ,只能取得一个接近可行区域的非可行方案。当有些要求严格满足不等式约束条件时，为了最终能取得一个可行最优设计方案，需要引入一个约束裕量，即定义一个新的约束条件， 这样构成新罚函数后，得到的最优设计方案X*，可以使原不等式约束得到严格满足。当然， 的数值也要适当，不宜选取过大，以避免所得结果与最优点相差太远，一般取=10-410-2 。2024/7/2728jiahaolai(5)内点法约束边界附近的内插在用内点法求增广目标函数的极值点X* 时，在原问题约束边界附近，若搜索步长太大，则迭代点有可能越出可行域，求优失败，因此，用内点法求优时，其一维搜索步长应有一定限制。2024/7/2729jiahaolai本章到此结束本章到此结束, ,谢谢谢谢! !2024/7/2730jiahaolai
