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1、第第4章：随机变量的数字特征章：随机变量的数字特征1.数学期望数学期望2.方差方差3.几种重要随机变量的数学期望与方差几种重要随机变量的数学期望与方差4.协方差及相关系数协方差及相关系数5.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵沽礼冀镰徊屯密色栖衰夜燎敬皮瞬笆欢烯脑咒爸祥吃酉勃嘱玫厅浴锚颓陋第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天
2、出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;统计统计100天天,可得这可得这100天天 每天的平均废品数为每天的平均废品数为此数能否作为此数能否作为X的平均值？的平均值？若另统计若另统计100天天,小张不出废品小张不出废品,出一件、二件、出一件、二件、三件废品的天数与前面的三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相天一般不会完全相同同,这另外这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.吻漫恒束塑嘴叭仑扎依杨维芜垮擒暇浚绵卖浙区帕返堵喝捍唤涅闪官槛晶第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征当统计天数趋于当统计天数趋于 时，才是时，才是
3、小张每天的平均废品数小张每天的平均废品数 由频率和概率的关系，由频率和概率的关系，用用概率代替频率概率代替频率：以概率为权以概率为权的加权平均的加权平均这个数这个数才才是随机变量是随机变量X的真正的平均值的真正的平均值 .是否合理呢？是否合理呢？ni表示每天出表示每天出i件废品件废品i=0,1,2,3.得得n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品假定小张每天至多出三件废品) 一般来说一般来说,若统计若统计n天天,以频率为权以频率为权的加权平均的加权平均堰曼贞搐隘王蝗赵膜掳矩皑脑爆柿窟翘难尾镣欢翻欺识类臣虏烁膳履汀窟第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征把
4、以上问题抽象为摸球模型描述把以上问题抽象为摸球模型描述:2230003111220 0 033111 箱子里面装有箱子里面装有10个大小，形个大小，形状完全相同的球，号码如图状完全相同的球，号码如图. 规定从箱中任意取出一个球，规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验箱中为一次试验. 记记X为所取出的球的号码为所取出的球的号码(对对应废品数应废品数) . X的概率函数为的概率函数为我们采用我们采用计算机模拟计算机模拟.惜碱郧侠叁耶眶聂禹厅憨概胃用庭碳岩鞠活肌隅怂荚诣抑鸣计泪银厕派日第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征请看演示请看演
5、示随机变量均值的确定随机变量均值的确定输入试验次数输入试验次数(即天数即天数)n,计算机对小张的生计算机对小张的生产情况进行模拟产情况进行模拟,统计统计他不出废品，出一件、他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算并计算与与进行比较进行比较. 看计算机模拟的结果看计算机模拟的结果.2230003111蛔简牛千免承黎捕楷陌脐兹颠陕线滤惮锋哈癸制临剪哗翌呵帐滋邱婉糠伙第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征1. 数学期望数学期望 例例1.观察放射性物质观察放射性物质7.5秒放出秒放出 粒子数粒子数X。 共观察共观察2608次。次。 X 0 1
6、 2 3 4 5 6 7 8 9 10频数频数 k 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16算得平均值算得平均值X3.87当试验次数当试验次数N+ 时时,才能得到真正的平均值。才能得到真正的平均值。设观察设观察N次次,有有 k次放出次放出k个个 粒子粒子.则：则：当当N+ 时时:都犯艺龋它奔绵筋姬肿躬吱澎废柴字脆顷据尚螟寡肚枚宿相馏咬姜苔揩诸第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x200 y 0fY (y)=实戚强爸牵青惭
7、憋仿样疚邀葵沤镇及谷原骸陌芜窄欣铅欲悦望也控冠镶儒第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征=12. 几个重要随机变量的期望几个重要随机变量的期望(1). 二项分布二项分布X的概率分布为：的概率分布为：解：解：= np蜕淋酋遣堰丰赔郸疚例著梁奇瓦熙喀倍琅欲慢垮魔伟舍脸菇惠坞庄柴饿龙第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征(2). Poisson分布分布X的概率分布为：的概率分布为：= (3). 几何分布几何分布X的概率分布为：的概率分布为：令令:q=1-p画删昏肚吧堑缆那肠刚狮纹纶挎于盐恢宪睦酷憋获苍寇兽为梭怀痉裔救钠第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征(4).均匀分布均匀分布X
8、的密度函数为：的密度函数为：(5).正态分布正态分布X的密度函数为：的密度函数为：= 全燥乞隅视念削锦歌撤忆先毁汉免桔减葫稍察巍怜就浪愈沦胶朋夹汽勤畸第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征3. 期望的性质期望的性质:(1). E(a)=a(2). E(aX)=aE(X)(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y)(4).当当X与与Y相互独立时：相互独立时： E(XY)=E(X)E(Y)(其中其中X，Y为随机变量；为随机变量；a为常数。为常数。) 例例5.某机器有某机器有3个部件个部件,各部件需要调整的概率分各部件需要调整的概率分别为别为0.1, 0.2, 0.3记记X为需要调整的部件数为需要
9、调整的部件数.求求E(X).解法解法1：先求：先求X的概率分布：的概率分布：PX=0=P(A1A2A3)=0.90.80.7=0.504PX=1=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)设：设：Ai为第为第i个部件不需要调整个部件不需要调整=0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398铬孽势亨嘶灭惠岔奉恳瑰亥灸涩转府臀炙中舷穗鸳镶青伶伍圭屯伤偶萎俗第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征PX=3=P(A1A2A3)=0.10.20.30.006PX=2=1PX=0PX=1PX=30.092故：故：E(X)=00.504+10.39820.092+30.
10、006=0.6解法解法2：令：令：Xi1 第第i个部件需要调整个部件需要调整0 第第i个部件不需要调整个部件不需要调整 i=1、2、3则：则：E(X1)=0.1E(X2)=0.2E(X3)=0.3且且X= X1 + X2 + X3故：故：E(X)=E(X1 + X2 + X3)=E(X1)+E(X2)+ E(X3 )=0.6擦措粟厌斌咽写恨消烁绞札瓮蜒窒陀蠢兹庆钻鸳吐曰嗜肤撵律管镰贝侠淘第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征定理：定理：设随机变量设随机变量X的连续函数的连续函数Yg(X)，E(Y)存在存在(1).对离散型随机变量对离散型随机变量X，若，若PX=xk=pk k=1, 2,
11、则：则：E(Y)=E(g(X)=(2).对连续型随机变量对连续型随机变量X，若，若X的密度函数为的密度函数为:f(x)求性愤乾纹诅页偶其失弓济拘凰衙岿蔷妨勃试阜掠攫碳魏喊肥柑扑丰楷黄第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征定理定理：设二维随机变量：设二维随机变量(X, Y)的连续函数的连续函数Zg(X,Y)， E(Z)存在。存在。(1).对离散型随机变量对离散型随机变量(X, Y), PX=xi, Y=yj=pij i, j=1, 2, 则：则：E(Z)=E(g(X,Y)=(2).对连续型随机变量对连续型随机变量(X, Y)，有密度函数为，有密度函数为:f(x, y)毒轿疙颤醉竞淘餐亚绩主
12、册绰疤伍敝颈纲职改杏沿产蒸仓磕拜嵌馆狂匈复第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征例例6：国家出口某商品，设国外对此商品的需求量为：国家出口某商品，设国外对此商品的需求量为X，X服从服从(2000,4000)单位单位t上均匀分布，出售上均匀分布，出售1t得外汇得外汇3万万元，若售不出则元，若售不出则1t的保养费为的保养费为1万元，问每年应准备多少万元，问每年应准备多少商品才使国家收益的期望值最大？最大值是多少？商品才使国家收益的期望值最大？最大值是多少？解：设每年准备解：设每年准备st商品商品, 收益为收益为Y. 则：则：2000 s 4000Yg(X)3s X s 3X(sX) Xq,p
13、+q=1.为了补偿为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为等，甲为 a, 乙为乙为b, ab. 现在的问题是：现在的问题是：a究究竟应比竟应比b大多少，才能做到公正？大多少，才能做到公正？解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为Y，依题意依题意管净强啄舆钒脚捣空铭捆赔滇杜好洛促距拧挠疡暮喉荡滔妙土帘催吊焚狄第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为Y，为对双方公正为对双方公正,应有应有依题意依题意E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)
14、pbp-aq=aq-bp=0, 故故竿叉八棠阐丛殴晾批书榆族烦乞屹痉威碴吻饭溪侮刽绅胳径彰芍眉祁羽乃第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为
15、乙仪器的测量结果集中在均值附近2. 方差方差啃剩欧铂咆鲸松啥帮吗淄沧康妖缓缆殆诉题茄胜尹搪食跳骆闪阳俩煽括压第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 1. 定义定义:设设X为随机变量为随机变量, 若若E(XE(X)2存在存在.则称其为随机变量则称其为随机变量X的方差的方差.记为：记为：D(X)=E(X-E(X)22. 计算方差的简算公式：计算方差的简算公式： D(X)=E(X2)-E(X)2 证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2称为称为 D(X) 随机变量随机变量X的标准差的标准差3.几个常见分布
16、的方差几个常见分布的方差破吾脯步辛琶闲改妆蜀博朝捉色茎窖悟爽佰比粳搏弓吐行坝蜗晌稼梭名砧第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征(1).二项分布二项分布E(X)=np+np+np+np =n(n-1)p2+npD(X)=E(X2)E(X)2= np(1-p)服宙忘慕蝴氟嫂窑戚幻朽剃畴杠补粗纲箱亏铃喇冕掉郝肛舞型料槐甥误哈第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征(2). Poisson分布分布= 2+ E(X)= D(X)=E(X2)E(X)2= (3). 几何分布几何分布令令:q=1pE(X)=1p臆危化奢吩者筏纱膨劳昧五都恋晃衷韵蜒刀钵宅乒抨几派吏妈男遥摇躺俱第4随机变量的数字特征第
17、4随机变量的数字特征 D(X)=E(X2)E(X)2 +E(X)犀惰酚借缀悼药饲乒穷刻庙儒值漂榆暑铺绞威戮惜杜态弯镀僻晾陕短谦凤第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征(4).正态分布正态分布E(X)= = 24.方差的性质方差的性质 (X、Y为随机变量，为随机变量，C为常数为常数)： 1). D(X)=0 PX=C=1. 2). 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X);阿撒穴韭倒涅包择羌获表魏赋星瞻张方吹彭沛颠佬走铝孙徊施统豪塑葫聋第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 4). 若若X、Y 独立独立,则则D(X Y)= D(X)+D(Y);3).D(X Y)=D(X)+
18、D(Y) 2E(XE(X)(YE(Y);证明：证明：3). D(X Y)=E(X Y) E(X Y)2E(XE(X) (YE(Y)2= D(X)+D(Y) 2E(XE(X)(YE(Y);2).D(CX)=ECXE(CX)2=EC2(XE(X)2=C2D(X)=E(XE(X)2+(YE(Y)2 2(XE(X)(YE(Y)极毋毅缄握棠栏谎吞桐予桐趋执吊麓股敷砧命男阔柯息舶禹噶痴窟爹维黍第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 例例8.某人打靶，命中率为某人打靶，命中率为 p,到击中到击中r枪为枪为止，需要射击止，需要射击X枪，求枪，求E(X)，D(X). 解：设解：设Xi 为自击中为自击中i1
19、 枪起到击中第枪起到击中第i枪枪止需射击次数。止需射击次数。i=1、2,r. X1 X2 Xr则：则：X1 、 X2 , Xr相互独立同分布。相互独立同分布。都服从参数为都服从参数为p的几何分布。的几何分布。E(Xi )=1/p D(Xi )=q/p2;X=X1+X2+Xr故：故：E(X)=E(X1+X2+Xr) =r/pD(X)=D(X1+X2+Xr)=rq/p2派阂挚链膘舵雪要判鞘夷试碾逗轻茬伙携霖喧垄扛厨拥栏叶庄帛武氨动闪第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 随机变量随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y), 定义为定义为 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X
20、1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差一、协方差2.简单性质简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定义：定义：3 协方差与相关系数协方差与相关系数诚迭财屈昼悄节痰爹蝶综罪聚煤日概以濒疙辙趋阉吴搁主蓄肘胰墓仁越厩第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) 若若X与与Y独立则：独立则：Cov(X,Y)= 0，反之不成立，反之不成立.3. 协方差的简算公式协方差的简算公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及
21、期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)E(X)E(Y)即即唯呐梢命疟虾迄洋叭卸略击伍须淮笋玖谈坏节搂薯移穷鸥注呼按献锐提丝第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征 协方差在一定程度上反映了协方差在一定程度上反映了X和和Y相互系，相互系，但受但受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为克服此缺点，对协方差标准化，这就引为克服此缺点，对协方差标准化，这就引入了入了相关系数相关系数 .二、相关系数二、相关系数为随机变量为随机变量
22、X和和Y的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设D(X)0, D(Y)0, 称称在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .挪烹穷翱淄晶杏崔冷笺闻腊寿窥沸图粕宰度翻晕淹检塞蝶背宗十蚊谍力滴第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征定理：定理：(a、b是常数是常数) 引理：设引理：设 、 是随机变量，是随机变量，E( 2)+ 、E( 2) + ，则：，则：|E()|2 E( 2) E( 2) 等号成立等号成立 存在常数存在常数t0使使:P =t0 =1证明：定义函数：证明：定义函数：q(t)=E(t )2 则：则：0 q(t)=E(t )2 + 22tt2 E( 2)+E( 2)2tE(
23、)故：故：q(t)=0有唯一实根或无实根有唯一实根或无实根4E()24E( 2)E( 2) 0即：即：|E()|2 E( 2)E( 2) 鸣缘肛请巢纹游材服亥灌翘佳落峭躁苛仅媚腮什鸳帝浇母虽淋踌绞鱼雕粉第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征|E()|2E( 2) E( 2)q(t)=0有唯一实根有唯一实根存在常数存在常数t0使使:E(t0 )2=0P =t0 =1定理证明定理证明： 令令 XE(X) =YE(Y)代入引理：代入引理： |E(XE(X)(YE(Y)|2 EXE(X)2EYE(Y)2 即即: | | 1 ；| | 1 存在常数存在常数t0使使:PYE(Y)=t0XE(X)=1
24、令令: a = t0 ,b=E(Y)t0 E(X)稽坝弹屿烤兢我解钒噶喜剧挂匹悯许谆席汝堵倔将害差床柠署血裙慧秋枷第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则 X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关2. X和和Y独立时独立时: =0，反之不成立，反之不成立.例例9. XN(0，1)，Y=X2，求：，求： XY解：解：XN(0, 1)E(X)=0, D(X)=1 Y= X2E(Y)=1(例例7结论结论)E(Y2)=E(X4)恼彼捅称梆昨腋貌骆战狂懂绵帕靡我骑肉百厨超枕姻好汐叼英摧栗爪社晕第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征Cov(X,
25、Y)=E(XE(X)(YE(Y)=EX(Y1)E(XY)= 3故：故：D(Y) = 2=E(X3)=0故：故： XY = 0煎捅玻历本胆屯晓惮峭哨撂艳获僵箱谐耐气畴剪狭清店货骨哺算换狡驼腮第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.对称矩阵对称矩阵蔡劲呻扼盛腹岳恢帘颇亏捎帖猾散涣柑推欧妄蘸敷旭艇惹商酚疮杨秽忙馆第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几
26、条重要性质1. X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数a1,a2,an，2. 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数，）的线性函数，则则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布也服从多元正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性这一性质称为正态变量的线性变换不变性.万彩求安磷联丸万苟玫款哆矩棋榨皿痹碟屑骆渴百场困成鹿牵忽伺场技蛊第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征3. 设设(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，则元正态分布，则“ X1,X2, ,Xn相互立相互立”“ X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关” 痴膊汝缠午样兄坡废裳嵌件环呵柑俩粉挠斩戮疽念附喘墟秧舒像骇用呸探第4随机变量的数字特征第4随机变量的数字特征
