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1、1q 理解(lji)关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；q掌握结点电压方程(fngchng)的矩阵形式；q了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式； q了解状态变量、状态方程的概念， 会建立简单状态方程。第1页/共42页第一页，共43页。21 1 割集割集1. 线图：若将电路的每一元件用一线段来代替，线段的端点(dun din)称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。2. 有向图、无向(w xin)图abcdef若对图中的每条支路规定方向(fngxing)，所得到的图称为有向图；反之称为无向图。3. 平面图、非平面图一个图画在平面上，各支路除了所连接的
2、节点外不再交叉，这样的图称为平面图，反之称为非平面图。一. .有关图的基本定义与概念第2页/共42页第二页，共43页。34. 子图：若图G1的每一个节点(ji din)和支路都是图G的节点(ji din)与支路，则称G1为G的子图。5. 树、树支、连支：不包含(bohn)回路但包含(bohn)图的所有节点的连通的子图称为树。组成树的支路称为树支，其余支路称为连支。一个有n个节点、b条支路的连通图，将有(n-1)条树支，(b-n+1)条连支。6. 回路(hul)与基本回路(hul)由支路和节点构成的闭合路径，称为回路。只含一个连支的回路称为基本回路或单连支回路。abcdef第3页/共42页第三页
3、，共43页。47. 割集8. 独立(dl)割集一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两部分(b fen)；仅留一条支路时图仍是连通的。由于KCL适用于任何一个闭合面，因此属于同一割集的所有支路电流应满足(mnz)KCL。对于一个连通图，可列出与割集数相等的KCL方程，但并非都是独立的。对应于一组独立的KCL方程的割集称为独立割集。abcdef下图中， adf， aeb， bcf，cde，bdef，aecf，abcd等7种割集， adef、 abcde不是割集。第4页/共42页第四页，共43页。59. 基本(jbn)割集只含一个树支的割集称为(chn wi)基本割集，也称为
4、(chn wi)单树支割集。对于一个(y )具有n个结点b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，因此将有(n-1)个单树支割集，即(n-1)个基本割集。例如：选定树(cde) 连支(abf) 三个基本割集：adf，aeb，bcf 为一个基本割集组，可以作为一组独立割集。abcdef基本割集组是独立割集组，对于n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。但独立割集不一定是单树支割集。第5页/共42页第五页，共43页。610. 割集的方向(fngxing)移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其中一部分指向(zh xin)另一部分的方向。每一个割集只有两个可能的方向。abcdef第6页/共4
5、2页第六页，共43页。72 2 关联矩阵、回路关联矩阵、回路(hul)(hul)矩阵、割集矩阵矩阵、割集矩阵对任一具有n个结点、b条支路的有向图，节点与支路的关联(gunlin)性质可用一个(nb)阶的矩阵Aa表示。即一. .关联矩阵A AAa=aijn b节点数支路数它的行对应(duyng)于节点，列对应(duyng)于支路。aijaij = 1 有向支路 j与节点 i关联且背离 i 节点aij= -1 有向支路 j与节点 i关联且指向 i 节点aij =0 j 支路与i节点无关1.1.关联矩阵AaAa的含义及列写第7页/共42页第七页，共43页。8645321Aa=1234 1 2 3 4
6、 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa的每一列对应于一条支路。由于一条支路连接于两个节点，若离开一个节点，则必须指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，即+1和-1。把所有行的元素相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出。因此，若由矩阵Aa中划出任一行，剩下(n-1) b阶矩阵称为降阶关联矩阵，简称(jinchng)为关联矩阵，用A表示。被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。 2.2.降阶关联矩阵A A第8页/共42页第八页，共43页。96453
7、21Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设为参考(cnko)节点-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ，表征独立节点(ji din)与支路的关联性质第9页/共42页第九页，共43页。10设:645321-1 -1 0 0 1 0A=
8、123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路电压支路电流节点电压3. 3. 矩阵(j zhn)(j zhn)形式的KCLKCL第10页/共42页第十页，共43页。11故有Ai =-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i = 0-矩阵(j zhn)形式的KCL第11页/共42页第十一页，共43页。126453214. 4. 支路(zh l)(zh l)电压与结点电压的关系( (矩阵形式的KVL)KVL)第12页/共42页第十二页，共43页。13二. 基本(jbn)回路矩
9、阵B2. 支路(zh l)排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1 支路j在回路(hul)i中且与回路(hul)i关联，方向一致-1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反0 支路j 不在回路i中bij=1 1约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B = b i j l b基本回路数支路数1.1.回路矩阵B B的含义及列写第13页/共42页第十三页，共43页。141 1选 4、5、6为树，连支顺序(shnx)为1、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1l 0 1 -1 0 0
10、 1BtBl231123B =1 2 3 4 5 6 支回1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 -1 1 0 0 1 0 1 -1BlBt= 1l Bt 第14页/共42页第十四页，共43页。151 1设 2312.2.回路(hul)(hul)矩阵形式的KVLKVL123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1BtBl支路电压u4u5u6u1u2u3支路电流i4i5i6i1i2i3第15页/共42页第十五页，共43页。161 12312.2.回路矩阵(j zhn)(j zhn)形式的KVLKVLB u =1 -1 0 1
11、 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1B =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1u4u5u6u1u2u3=回路1中的 u 回路2中的 u 回路3中的 u故有：B u =0-KVL-KVL的回路矩阵(j zhn)(j zhn)形式第16页/共42页第十六页，共43页。171 12313. 3. 支路电流与独立回路电流的关系( (回路矩阵(j zhn)(j zhn)形式的KCL)KCL)i =BTil1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1B =i4i5i6i1i2i3由于矩阵(j zhn)B(j z
12、hn)B的每一列，也就是BTBT的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1=il1il2il3=il1+il2-il1-il2 +il3il2 il3il1il2il3第17页/共42页第十七页，共43页。18三. 基本(jbn)割集矩阵Q约定 (1) 割集方向与树支方向相同。 (2)支路(zh l)排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。qij=1 j支路在割集i中且与割集i方向(fngxing)一致-1 j支路在割集i中且与割集i方向相反 0 j 支路不在割集i中 1 1用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性
13、质Q = q i j n-1 b基本割集数支路数1. 1. 基本割集矩阵的含义与列写第18页/共42页第十八页，共43页。19Q=4 5 6 1 2 3 支割集C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1图示连通(lintng)图的基本割集为：1 1 0 0 1 0 -1 1QlQtC1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6基本(jbn)割集的方向与与树支方向一致.基本(jbn)割集矩阵为：= 1l Ql第19页/共42页第十九页，共43页。20设 支路(zh l)电流 Qi=0矩阵(j zhn)形式的KCL。1 1Qi =2. 2. 割集矩阵(j zhn)(
14、j zhn)形式的KCLKCLQ=1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1i4i5i6i1i2i31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1i4i5i6i1i2i3=i4-i1 i2i5+i1 +i2 i3i6-i2 +i3=0第20页/共42页第二十页，共43页。211 1树支电压(diny)用列向量表示：QTut=u3. 3. 支路电压与树支电压的关系( (割集矩阵(j zhn)(j zhn)形式的KVL)KVL)-矩阵(j zhn)形式的KVL。u4u5u6ut=由于Q的每一列，也就是QT的每一行，表示一条支路与割
15、集关联情况，则矩阵相乘的规则可得：由于通常选单树支割集(基本割集)为独立割集，因此树支电压又 可视为割集电压，故ut也可称为割集电压列向量。第21页/共42页第二十一页，共43页。221 1QTut=u3. 3. 支路电压与树支电压的关系( (割集矩阵(j zhn)(j zhn)形式的KVL)KVL)矩阵(j zhn)形式的KVL：对图示的有向图，有第22页/共42页第二十二页，共43页。23QQi=0QTut=u小结(xioji)：ABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=0第23页/共42页第二十三页，共43页。241.1.方程(fngchng)(fngchng)的两种约束1)
16、 1) 支路约束(yush)-(yush)-支路方程2) 2) 支路间约束-支路间KCLKCL、KVLKVL约束（用回路(hul)(hul)矩阵表示）4 4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式第24页/共42页第二十四页，共43页。252.2.支路(zh l)(zh l)模式由于支路(zh l)的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路(zh l)的模式。设标准支路为： 规定每个支路必须有一个(y )阻抗k支路抽象为：k第25页/共42页第二十五页，共43页。263.3.矩阵形式的支路(zh l)(zh l)约束k支路(zh l)电压、电流关系：设Z=diagZ1 Z2 Zb Y
17、=diagY1 Y2 Yb Z=Y -1 第26页/共42页第二十六页，共43页。27即对整个(zhngg)电路有：Z为支路的阻抗矩阵(j zhn)，是一个对角阵。 第27页/共42页第二十七页，共43页。284.4.矩阵(j zhn)(j zhn)形式的回路电流方程 zLZL-回路阻抗矩阵(j zhn)，是一个l 阶方阵，主对角元素为自阻抗，非主对角为互阻抗。设回路(hul)电流为未知量支路方程：KVL：KCL：将支路方程代入KVL：将KCL代入上式得：回路方程矩阵形式第28页/共42页第二十八页，共43页。291.1.支路(zh l)(zh l)约束 5 5 节点电压方程的矩阵节点电压方程
18、的矩阵(j zhn)(j zhn)形式形式k支路(zh l)电压、电流关系：第29页/共42页第二十九页，共43页。30支路方程(fngchng)的矩阵方程(fngchng)Y称为支路导纳矩阵，它是一个(y )对角阵。第30页/共42页第三十页，共43页。312.2.矩阵形式的节点(ji din)(ji din)电压方程设节点(ji din)电压为未知量支路(zh l)方程： 由KCL A i =0由KVL u=ATun节点导纳阵则由此求得支路电压和电流节点电压方程矩阵形式第31页/共42页第三十一页，共43页。32例5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A
19、3A1A1A1 12 23 34 45 56 61. 画有向图2. 3. 123456第32页/共42页第三十二页，共43页。335V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A1 12 23 34 45 56 64. 5. 6.得 第33页/共42页第三十三页，共43页。34 6 6 割集电压割集电压(diny)(diny)方程的矩阵形式方程的矩阵形式支路(zh l)方程的矩阵方程取割集（树支）电压(diny)为未知量Yt割集导纳阵KCLKVL割集方程矩阵形式第34页/共42页第三十四页，共43页。358 8 状态方程状态方程1.1.状态：在电路理论中
20、，状态是指在某给定时刻电路必须具备(jbi)(jbi)的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的状态。2.2.状态变量：是电路(dinl)(dinl)的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成该时刻的状态。例如，动态电路(dinl)(dinl)中电容电压uCuC和电感电流iLiL就是电路(dinl)(dinl)的状态变量。3.3.状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)。一一. .基本概念基本概念第35页/共42页第三十五页，共43页。36以电容电压(diny)uC(diny)uC和电感电流iLi
21、L作为变量列上述电路的方程，则：二二.RLC.RLC串联串联(chunlin)(chunlin)电路的状态方程电路的状态方程用矩阵(j zhn)(j zhn)形式表示：经调整有：+_SRL iLuS第36页/共42页第三十六页，共43页。37若令则有：式中：若令：def则有：状态方程的标准(biozhn)形式x称为状态向量(xingling)，v称为输入向量(xingling)。状态方程也称为向量(xingling)微分方程。n n n n m m 第37页/共42页第三十七页，共43页。381.1.选选所所有有(suyu)(suyu)独独立立电电容容电电压压与与独独立立电电感感电电流流作作为
22、状态变量。为状态变量。2.2.对对每每个个独独立立电电容容列列写写只只含含此此独独立立电电容容电电压压的的一一阶阶导导数数在在内内的的节节点点KCLKCL方方程程；对对每每个个独独立立电电感感列列写写只只含此独立电感电流的一阶导数在内的回路含此独立电感电流的一阶导数在内的回路KVLKVL方程。方程。3.3.消消去去第第二二步步所所列列方方程程中中的的非非状状态态变变量量，然然后后把把状状态态变变量量的的一一阶阶导导数数移移向向方方程程左左边边，整整理理化化简简为为标标准矩阵形式。准矩阵形式。三三. . 状态方程的直观状态方程的直观(zhgun)(zhgun)列写步骤列写步骤第38页/共42页第
23、三十八页，共43页。39以以uC、i1、i2为状态变量。为状态变量。例：例： 列写图示电路列写图示电路(dinl)(dinl)的状态方程的状态方程+_R1L2i2L1i1R2iSi2+ iS+_uR2uR1+_uS_+uC解：解：选选节节点点(ji din)和和回回路路如如图示。图示。对对节节点点(ji din) 列列出出KCL方方程：程：对回路对回路1和回路和回路2列出列出KVL方程：方程：第39页/共42页第三十九页，共43页。40整整理理(zhngl)方方程程并并写写成成矩矩阵阵形形式：式：例：例： 列写图示电路列写图示电路(dinl)(dinl)的状态方程的状态方程+_R1L2i2L1
24、i1R2iSi2+ iS+_uR2uR1+_uS_+uC解：解：第40页/共42页第四十页，共43页。41CTGUCTGUCircuit作作 业：业： 15-115-1，15-215-2，15-315-3第41页/共42页第四十一页，共43页。42感谢您的欣赏(xnshng)！第42页/共42页第四十二页，共43页。内容(nirng)总结1。了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式。3. 平面图、非平面图。6. 回路与基本回路。只含一个连支的回路称为基本回路或单连支回路。一个割集是连通图的一个支路(zh l)集合。但独立割集不一定是单树支割集。它的行对应于节点，列对应于支路(zh l)。选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。-il1-il2 +il3。基本割集的方向与与树支方向一致.。例如，动态电路中电容电压uC和电感电流iL就是电路的状态变量。以uC、i1、i2为状态变量第四十三页，共43页。
