数学建模案例（上）

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1、经济数学经济数学经济数学经济数学某饮料生产企业现在需要设计一批容积为某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆的圆柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？7 7 7 71 1 1 1 数学建模概述数学建模概述数学建模概述数学建模概述引例（一）：引例（一）：引例（一）：引例（一）： 第第第第7 7 7 7章章章章 数学建模案例数学建模案例数学建模案例数学建模案例讨论：讨论：什么是最优设计什么是最优设计易拉罐的形状如何易拉罐的形状如何材料跟易拉罐的什么有关材料跟易拉罐的什么有关? ?经济数学经济数学经济数学经济数学在生活中我们会发现销量很大的

2、饮料在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量例如饮料量为为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐的饮料罐(即易拉即易拉罐罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来节约的

3、钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行最优设计？研究易拉罐的形状和尺寸对其进行最优设计？ 7 7 7 71 1 1 1 数学建模概述数学建模概述数学建模概述数学建模概述引例（二）：引例（二）：引例（二）：引例（二）： 第第第第7 7 7 7章章章章 数学建模案例数学建模案例数学建模案例数学建模案例经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 71 1 1 11 1 1 1 数学建模数学建模数学建模数学建模简简介介介介 数学的数学的语言（言（图、表、式等等）、方法解决、表、式等等）、方法解决实际问题的全的全过程就是数学建模。程就是数学建模。 7.1.1经济数学经济

4、数学经济数学经济数学 数学模型数学模型7 71 12 2 数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类7.1.2由数字、字母或其它数学符号由数字、字母或其它数学符号组成，描述成，描述实际对象数量象数量规律的数学律的数学公式、公式、图象或算法（或：象或算法（或：实际问题的数学描述）称的数学描述）称为数学模型数学模型。例如（）：例如（）：甲、乙两人同甲、乙两人同时分分别从两地从两地骑车相向而行，甲每小相向而行，甲每小时行行20千米，千米，乙每小乙每小时行行18千米。两人相遇千米。两人相遇时距全程中点距全程中点3千米。求全程千米。求全程长多少多少千

5、米？千米？ 小学生的方法：（千米）小学生的方法：（千米） 中学生的方法：中学生的方法：设：相遇：相遇时甲行甲行驶了千米，乙行了千米，乙行驶了千了千米，米，甲乙相距甲乙相距a千米，千米，则经济数学经济数学经济数学经济数学 数学模型数学模型7 71 12 2 数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类7.1.2 （2）导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型）导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型 经济数学经济数学经济数学经济数学2. 数学模型分类数学模型分类7 71 12 2 数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类

6、数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类7.1.2按变量的特性分有按变量的特性分有： 连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和静态模型和动态模型等等。动态模型等等。 例如：例如： 温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的 关系就是一种离散模型。关系就是一种离散模型。 按数学方法分有按数学方法分有： 初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网络模型，随机模型等等。络模型，随机模型等

7、等。 经济数学经济数学经济数学经济数学2. 数学模型分类数学模型分类7 71 12 2 数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类数学模型与数学模型的分类7.1.2按应用领域分有按应用领域分有： 人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。 按对模型结构了解程度分有按对模型结构了解程度分有： 白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理 相当清楚；黑箱模型是指对机理很不清楚；而灰箱模型则有别于白、黑相当清楚；黑箱模型是指对机理很不

8、清楚；而灰箱模型则有别于白、黑 箱之间。箱之间。 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2 在日常生活里，将一只四条腿一在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同中三条腿常同时着地（不在同一条直着地（不在同一条直线上的三点确定一平面），如果第上的三点确定一平面），如果第四条腿不着地，椅子未放四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪能否稍作挪动，就可以使四条腿同，就可以使四条腿同时着着地（即椅子放

9、地（即椅子放稳）？）？ 1. 1.提出提出提出提出问题问题 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2 1椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的 连线呈正方形连线呈正方形 2地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面 3椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平椅子与地面相对

10、关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平 坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地2. 2.模型假模型假模型假模型假设设经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.13. 3.建立模型建立模型建立模型建立模型 （一）建立模型的分析（一）建立模型的分析 1稍作挪动稍作挪动-如图如图7-1 2椅子脚着地即椅子脚与地面距离为零椅子脚着地即椅子脚与地面距离为零 3椅子放稳结合，给出数学模型椅子

11、放稳结合，给出数学模型 设设 , 为非负连续函数，如果为非负连续函数，如果 且且 , 那么必存在那么必存在 ，使，使 A AB BC CD DOA1B1C1D1A图7-1经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例3. 3.建立模型建立模型建立模型建立模型7.2.1 显然显然 ， ，由假设（，由假设（2）知）知 ， 为的连续函数；由假设为的连续函数；由假设（3）知，由于三点着地，故对任意位置）知，由于三点着地，故对任意位置 ， 和和 中至少有一个为零，即中

12、至少有一个为零，即 =0我们不妨假设我们不妨假设A、C处椅子两脚着地；处椅子两脚着地；B、D处有一脚未着地于是处有一脚未着地于是有有 ， 如果如果“稍作挪动稍作挪动”，即旋转一适当角，即旋转一适当角 ，使，使 那么就表明椅子四个脚着地，椅子放稳了那么就表明椅子四个脚着地，椅子放稳了、 A AB BC CD DOA1B1C1D1A图7-1经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.13. 3.建立模型建立模型建立模型建立模型A AB BC CD DO

13、A1B1C1D1A图7-1 （二）模型建立（二）模型建立: 将椅子放到直角坐标平面上，将椅子放到直角坐标平面上，A、B、C、D为四条腿与地平面的接触点为四条腿与地平面的接触点 （或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图（或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图7-1所示所示 1） “稍作挪动稍作挪动”假设椅子中心投影假设椅子中心投影O不变，仅作旋转，用角来描述椅不变，仅作旋转，用角来描述椅子子 位置图位置图 7- 1表示正方形旋转角表示正方形旋转角 是正方形是正方形 2）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量，零距离表）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与

14、地面的距离来度量，零距离表 示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地 3）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键，我们需要找出椅子放稳）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键，我们需要找出椅子放稳 与否的数学描述和表征由上知，椅子脚离地面距离是的函数，又由于图形与否的数学描述和表征由上知，椅子脚离地面距离是的函数，又由于图形 ABCD中中 心对称，我们可用以下心对称，我们可用以下 和和 度量之，即设度量之，即设、 A、C处两椅子脚与地面的距离之和两椅子脚与地面的距离之和； B、D处两椅子脚与地面的距离之和两椅子脚与地面的距离之和；经济数学经济数学经济数学

15、经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.13. 3.建立模型建立模型建立模型建立模型 设设 , 为非负连续函数，如果为非负连续函数，如果 且且 ， 那么必存在那么必存在 ，使，使 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.14. 4.模型求解模型求解模型求解模型求解 将椅子旋转将椅子旋转 ，即正方形，即正方形AC边转至边

16、边转至边BD，BD边转至边转至AC边边 AC的初始情形时，有的初始情形时，有 ， ；AC转至转至BD边位置后，有边位置后，有 ， 令令 ，则有，则有经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1 1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.14. 4.模型求解模型求解模型求解模型求解 因因 、 为连续函数，故函数，故 也也为连续函数由函数由连续函数的介函数的介值定理知：存在定理知：存在 ，使，使 ，即有，即有 但但 ，故有，故有经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 21 1

17、1 1 椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型椅子问题模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.15. 5.解解解解释释和和和和讨论讨论 ，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了便是要，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了便是要挪动（旋转）的适当角度由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考挪动（旋转）的适当角度由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考虑旋转是允许的虑旋转是允许的经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 22 2 2 2 库存库存库存库存问题问题问题问题7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.21. 1.提出提出提出提出问题问

18、题一个一个销售企售企业，如何安排，如何安排进货才能使才能使库存保管存保管费、进货费最省最省 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 22 2 2 2库存问题库存问题库存问题库存问题7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.22. 2.模型假模型假模型假模型假设设（1）在）在计划期划期 T（通常以一年（通常以一年为计划期）内划期）内对货物的需求量物的需求量Q是确定的是确定的 （2）在）在计划期划期T内分次内分次n次次进货，每次，每次进货量量为 ，即，即进货是均匀的是均匀的 （3）每件）每件货物物贮存存单位位时间的的贮存存费用用 及每次及每次进货费用用

19、都都为常数常数 （4）货物物均均匀匀投投放放市市场 一一般般来来说，货物物先先入入库暂存存，然然后后均均匀匀提提出出这时，库存存货物物量量的的最最大大值就就是是每每次次的的进货量量 ，随随着着时间推推移移均均匀匀降降至至零零，一一旦旦库存存货量量为零，立即得到零，立即得到货物物补充且充且进货瞬瞬间完成因此，完成因此，货物的物的库存量存量 的的图像如像如图7- -2所示所示 由此得，平均由此得，平均库存量存量为经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 22 2 2 2 库存问题库存问题库存问题库存问题7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.2 3. 3

20、.建立模型建立模型建立模型建立模型在以上假定条件下，在以上假定条件下，总贮存存费用用为:总进货费用用为:总费用用为:若每次若每次进货件，件，则代入上式，得代入上式，得经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 22 2 2 2 库存问题库存问题库存问题库存问题7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.24. 4.模型求解模型求解模型求解模型求解 令令 ，得惟一，得惟一驻点点 ，又，又 ，所以惟，所以惟一的一的驻点就是最小点就是最小值点故当每次点故当每次进货数量数量为 时，库存保管存保管费、进货费之和最省之和最省经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7

21、72 2 2 22 2 2 2库存问题库存问题库存问题库存问题7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.25. 5.解解解解释释和和和和讨论讨论 从上述从上述结果可以看出，每次果可以看出，每次进货数量数量 与每次与每次进货费用用 和和需求量需求量Q成正比成正比,与每件与每件货物物贮存存单位位时间的的贮存存费用用 越大与越大与计划期划期T成反比当每次成反比当每次进货费用用 与需求量与需求量 Q较大大时，每次，每次进货数量数量 就要多；当每件就要多；当每件货物物贮存存单位位时间的的贮存存费用用 较大与大与计划期划期T较长时，每次每次进货数量数量 要少要少经济数学经济数学经

22、济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.31. 1.提出提出提出提出问题问题 一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售他们都希望一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售他们都希望 产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货如何产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货如何 用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果

23、，以指导生产与 销售销售经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.32. 2.模型假模型假模型假模型假设设 （1 1）假）假设该产品是耐用品，可以品是耐用品，可以长期使用，一般不会期使用，一般不会废弃和重复弃和重复购置，价置，价 格相格相对稳定定 （2 2）该产品品刚进入市入市场，人，人们对其功能尚不熟悉，所以其功能尚不熟悉，所以销售速度售速度较慢随慢随 着着销售数量的增加，人售数量的增加，人们对于它的熟悉程度就会增加，于它的熟悉程度就会增

24、加，销售速度也会售速度也会 增加，但增加，但这类产品品销售一定数量售一定数量时，因，因为人人们不会重复不会重复购置，而使置，而使销 售速度减慢假售速度减慢假设需求量有一个上界需求量有一个上界M M，用，用 表示表示时间t t已售出的已售出的产品品 量，尚未量，尚未购置的人数大置的人数大约为 M M （3 3）设销售速度售速度 与与销售量售量 和和 M M 的的积成正比，比例系数成正比，比例系数 为k k 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7

25、.2.33. 3.模型建立模型建立模型建立模型建立 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.34. 4.模型求解模型求解模型求解模型求解 或或 C是任意常数是任意常数 经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.2.35. 5.模型分析和模型分析和模型分析和模型分析和讨论讨论 因为因为显然，

26、当显然，当 时时, =0,从而求得从而求得 ,使使 由此我们可做如下分析：由此我们可做如下分析： （1）当时）当时 ， 0，因此，因此 单调上升单调上升 (2）当时）当时 ， 0，因此，因此 单调上升单调上升经济数学经济数学经济数学经济数学7 7 7 72 2 2 23 3 3 3新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型新产品销售模型7 72 2数学模型案例数学模型案例数学模型案例数学模型案例7.25. 5.模型分析和模型分析和模型分析和模型分析和讨论讨论 因此因此 , 在在 时达到最大值这表明销售量小于最大销售量的一时达到最大值这表明销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降销，其后销售速度开始下降