物理实验基本知识

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1、 前言前言物理学是一门实验科学。物理实验是物理学物理学是一门实验科学。物理实验是物理学发展的基础。对于工科学生而言，物理实验发展的基础。对于工科学生而言，物理实验是提高同学们从事科学实验、科学研究、开是提高同学们从事科学实验、科学研究、开拓创新能力拓创新能力不可或缺不可或缺的教学环节。的教学环节。 80%的诺的诺贝尔物理学奖授予了实验物理学家。贝尔物理学奖授予了实验物理学家。物理实验室是高校内唯一集力学、电学、光物理实验室是高校内唯一集力学、电学、光学、磁学、电子学等仪器之大全的实验室。学、磁学、电子学等仪器之大全的实验室。同学们通过做实验同学们通过做实验, 接触、使用这些仪器，接触、使用这些

2、仪器，可以提高自己的科学实验能力，培养科学实可以提高自己的科学实验能力，培养科学实验素养，帮助自己成为高理论水平、高实验验素养，帮助自己成为高理论水平、高实验技能的综合性创新人才。技能的综合性创新人才。 物理实验基本知识物理实验基本知识1.系统了解实验的基本理论系统了解实验的基本理论 测量及有效数字测量及有效数字 误差理论的基本知识误差理论的基本知识 数据处理的基本方法数据处理的基本方法2.培养实验的基本技能培养实验的基本技能 掌握基本仪器的调整与使用掌握基本仪器的调整与使用 培养独立分析解决问题的能力培养独立分析解决问题的能力 正确完整写出合格的实验报告正确完整写出合格的实验报告3.结合操作

3、掌握实验的基本方法和特点结合操作掌握实验的基本方法和特点一、测量及有效数字一、测量及有效数字 （一）测量的分类测量的分类测量的种类测量的种类: 直接测量直接测量;间接测量间接测量;组合测量。组合测量。直接测量直接测量 通过测量仪器直接读出测量结果的测量。通过测量仪器直接读出测量结果的测量。如测长度、测质量等。相应的物理量称直接测量量如测长度、测质量等。相应的物理量称直接测量量。间接测量间接测量 由直接测量量代入公式经计算得出测量结由直接测量量代入公式经计算得出测量结果的测量。如测面积、测速度等。相应的物理量称果的测量。如测面积、测速度等。相应的物理量称间接测量量间接测量量。*两者两者不是绝对的

4、不是绝对的, ,取决于实验仪器与实验方法取决于实验仪器与实验方法。组合测量组合测量 由测得的一一对应的实验数据列，应用数学由测得的一一对应的实验数据列，应用数学方法求出物理量或找出物理规律的测量。如元件的伏方法求出物理量或找出物理规律的测量。如元件的伏安特性、钢丝伸长与所加外力的关系等。安特性、钢丝伸长与所加外力的关系等。（二）测量的精密度、准确度、精确度（二）测量的精密度、准确度、精确度1.1.精密度：精密度：表示重复测量所得数据的相互接近程度（离表示重复测量所得数据的相互接近程度（离散程度）。散程度）。2.2.准确度：准确度：表示测量数据的平均值与真值的接近程度。表示测量数据的平均值与真值

5、的接近程度。3.3.精确度：精确度：是对测量数据的精密度和准确度的综合评定。是对测量数据的精密度和准确度的综合评定。4.4.精密度和准确度的关系：精密度和准确度的关系：（1 1）精密度是保证准确度的先决条件。）精密度是保证准确度的先决条件。（2 2）高精密度不一定保证高准确度。）高精密度不一定保证高准确度。 以以打打靶靶为为例例来来比比较较说说明明精精密密度度、准准确确度度、精精确确度度三三者者之之间间的的关关系系。图图中中靶靶心心为为射射击击目目标标，相相当当于于真真值值，每次每次测量测量相当于一次射击。相当于一次射击。（a a）准确度高、准确度高、 （b b）精密度高、精密度高、 （c c

6、）精密度、精密度、 精密度低精密度低 准确度低准确度低 准确度均高准确度均高 （枪好射手不好）（枪好射手不好） （枪不好射手好（枪不好射手好 ） （枪好射手也好）（枪好射手也好） 偶然误差大偶然误差大 系统误差大系统误差大 偶然误差、偶然误差、 系统误差都小系统误差都小（三）测量的基本方法（三）测量的基本方法: 比较法比较法 放大法放大法 模拟法模拟法 补偿法补偿法 转换法转换法 干涉计量法干涉计量法 比较法比较法 用相应的标准量具或仪器和待测量进行比用相应的标准量具或仪器和待测量进行比较，得到待测量的大小和单位的方法。如测身高、测较，得到待测量的大小和单位的方法。如测身高、测电压等。电压等。

7、 放大法放大法 通过某种方法将被测量放大后再进行测量通过某种方法将被测量放大后再进行测量的方法。如的方法。如螺旋放大法螺旋放大法-螺旋测微计螺旋测微计;光学放大法光学放大法-光杠杆，放大镜，显微镜等。光杠杆，放大镜，显微镜等。 模拟法模拟法 有些量无法测量（如静电场的分布）或不有些量无法测量（如静电场的分布）或不易测量（高速飞行器表面应力分布）时，可根据相同易测量（高速飞行器表面应力分布）时，可根据相同的物理规律或数学模型，有相似结果的特点。通过对的物理规律或数学模型，有相似结果的特点。通过对模型的测量，实现对该物理量进行测量的方法。如用模型的测量，实现对该物理量进行测量的方法。如用稳恒电流场

8、分布模拟相似的静电场分布进行的测量，稳恒电流场分布模拟相似的静电场分布进行的测量，用计算机仿真技术对地质、天气等进行论证与测量等。用计算机仿真技术对地质、天气等进行论证与测量等。 补偿法补偿法 用在标准量具上产生的某种效应，去补用在标准量具上产生的某种效应，去补偿待测量产生的同种效应，从而得到待测量的方法。偿待测量产生的同种效应，从而得到待测量的方法。如用电压表测电池电动势时，内阻压降的存在使得端如用电压表测电池电动势时，内阻压降的存在使得端电压总小于电动势。为实现精确测量，我们可在下面电压总小于电动势。为实现精确测量，我们可在下面回路中进行。回路中进行。 E0EXG 调整调整EO的大小，使回

9、路中的大小，使回路中检流计检流计G指针为指针为0，根据全电，根据全电路欧姆定律知路欧姆定律知EO=Ex。 还有常用来补偿某些未知成还有常用来补偿某些未知成分的影响。（温度补偿、环分的影响。（温度补偿、环境补偿等）境补偿等） 转换法转换法 有些物理量不易或无法测量时，可转化为有些物理量不易或无法测量时，可转化为对该量产生的某种效应的测量。常见的有非电量的电测对该量产生的某种效应的测量。常见的有非电量的电测和非光量的光测两种。例如，压电晶体在外力作用下会和非光量的光测两种。例如，压电晶体在外力作用下会产生与外力有关的电压，可用来测力、测应力分布、测产生与外力有关的电压，可用来测力、测应力分布、测振

10、动等；当在其两端加电压时会产生电致伸缩（逆压电振动等；当在其两端加电压时会产生电致伸缩（逆压电效应）在用于微驱动领域时（比如在扫描隧道显微镜中效应）在用于微驱动领域时（比如在扫描隧道显微镜中用来驱动收集隧道电流的探针），其扫描范围仅为纳米用来驱动收集隧道电流的探针），其扫描范围仅为纳米数量级。在非接触测量中常采用的根据物质吸收光谱来数量级。在非接触测量中常采用的根据物质吸收光谱来测物质含量，都是转换法的具体体现。测物质含量，都是转换法的具体体现。 干涉计量法干涉计量法 以可见光为例，由于其波长仅为零点几以可见光为例，由于其波长仅为零点几微米，我们可以利用干涉条纹的分布与变化，测量微小微米，我们

11、可以利用干涉条纹的分布与变化，测量微小长度、角度、光学面的光洁度等等长度、角度、光学面的光洁度等等, 使测量精度大大提使测量精度大大提高。是现代精密计量的重要组成部分。高。是现代精密计量的重要组成部分。（四）测量过程的分类：（四）测量过程的分类：等精度测量：等精度测量：指方法、环境、测量人员等条件均指方法、环境、测量人员等条件均不变的测量。不变的测量。 我们实验中进行的测量都是等精度测量我们实验中进行的测量都是等精度测量。非等精度测量：非等精度测量：指上述测量条件变化的测量。指上述测量条件变化的测量。数据处理的种类与方法数据处理的种类与方法: 1 直接测量量的数据处理直接测量量的数据处理。 2

12、 间接测量量的数据处理间接测量量的数据处理。 3 组合测量量的数据处理，包括组合测量量的数据处理，包括: 1 ）列表法）列表法 2 ）作图法）作图法 3 ）逐差法）逐差法 4 ）最小二乘法）最小二乘法。（五）有效数字有效数字 有效数字是测量结果的客观描述。有效数字的位有效数字是测量结果的客观描述。有效数字的位数是由具体的测量手段、测量方法、测量理论、测量数是由具体的测量手段、测量方法、测量理论、测量环境等因素决定的。人为地改变有效数字的位数，将环境等因素决定的。人为地改变有效数字的位数，将失去客观描述的意义。失去客观描述的意义。1、有效数字的定义有效数字的定义 如：如：0. 00786 是三位

13、有效数字是三位有效数字,而不是六位。而不是六位。 9.1 1019是两位有效数字，是两位有效数字， 1000mm不等于不等于1.0 103mm，分别是四位和两位分别是四位和两位有效数字。有效数字。 能够传递被测量量大小的全部信息的数字。能够传递被测量量大小的全部信息的数字。由左起第一个非零数字起，到第一位欠准数字止的全由左起第一个非零数字起，到第一位欠准数字止的全部数字组成。部数字组成。2、有效数字的来源有效数字的来源测量过程中各类因素产生的误差，使测量过程中各类因素产生的误差，使测量值测量值分为分为从仪器上准确读出的从仪器上准确读出的部分部分-准确数字准确数字和由于仪器最小和由于仪器最小刻度

14、（或读数）限制只能估计其大小的刻度（或读数）限制只能估计其大小的部分部分-欠准数欠准数字字（通常只保留一位，故称为欠准数位）。（通常只保留一位，故称为欠准数位）。15.2mm15.0mm有效数字有效数字= =准确数字准确数字+1+1位欠准数字位欠准数字 3 3、有效数字的读取、有效数字的读取1)直读的有效数字：读到最小分度值的下一位。直读的有效数字：读到最小分度值的下一位。 米尺：读到米尺：读到1/10mm位；千分尺：读到位；千分尺：读到1/1000mm位。位。如：如：6.8mm，12.7mm; 2.143mm，5.687mm。2)电表的有效数字：由极限误差电表的有效数字：由极限误差(量程量程

15、 级别级别%)决定。决定。例如：量程例如：量程0.3A；0.75A；1.5A；3.0A；精度；精度1.0级的安级的安培表，当使用培表，当使用1.5A量程时的读数量程时的读数: 由于由于 仪仪=1.5 1.0%=0.015A 0.02A，所以只读到，所以只读到1/100A位。能读到位。能读到1/1000A位也不要读数，没有意义。位也不要读数，没有意义。 如：可以读如：可以读0.84A，1.26A，不能读，不能读0.843A， 1.264A。（4）电桥、电位差计、电阻箱）电桥、电位差计、电阻箱等的有效数字：读等的有效数字：读到所使用旋钮的末位。到所使用旋钮的末位。（5）数字式仪表的数字式仪表的有效

16、数字：读到显示的末位。有效数字：读到显示的末位。（6）最小分度值为最小分度值为0.20.2、0.50.5类仪器的读数只读到类仪器的读数只读到最小分度位。例如，仪器的最小分度值为最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.50.5，则则0.10.10.40.4，0.60.60.90.9都是估计的，不必读到都是估计的，不必读到下一位。如：密度测量实验所使用的天平最小下一位。如：密度测量实验所使用的天平最小分度值为分度值为0.050.05克，则读数读到克，则读数读到1/1001/100克位。如：克位。如：可以读可以读0.140.14克；克；0.370.37克；等等。克；等等。 、关于有效数字的几点说明：

17、、关于有效数字的几点说明： （1）0在有效数字中的作用。在有效数字中的作用。在第一个非在第一个非0数前面的数前面的0不是有效数字，它是单位不同造成的。第一个非不是有效数字，它是单位不同造成的。第一个非0数后数后面的面的0都是有效数字。都是有效数字。 （2）有效数字的科学计数法。有效数字的科学计数法。将有效数字表述成只将有效数字表述成只有一位整数，其余为小数，并乘以有一位整数，其余为小数，并乘以10的若干次幂的形的若干次幂的形式。可使我们方便看出该测量值有几位有效数字，在式。可使我们方便看出该测量值有几位有效数字，在某单位制下它是什么一个数量级。某单位制下它是什么一个数量级。 （3）单位换算不改

18、变有效数字位数。单位换算不改变有效数字位数。2.00V 2000mV =2.00 10mV 5、欠准数字的取舍原则、欠准数字的取舍原则:四舍、六入、四舍、六入、五凑偶五凑偶。如：如：4.4=4 4.6=5 4.5=4 5.5=6 .5= 56、有效数字运算规则：、有效数字运算规则：准准 准准 准准 欠欠 欠欠 欠欠 1）加减运算：）加减运算：（先约简，后运算。）（先约简，后运算。）100.1+10.01+1.001= 100.1+10.01+1.00 =111.1约简到比欠准数位最高者约简到比欠准数位最高者低一位低一位 100.1 10.01结果与参加运算的各量中结果与参加运算的各量中 + 1

19、.001欠准数位欠准数位最高者相同最高者相同 111.1112）乘除运算）乘除运算：（先约简，后运算。）（先约简，后运算。）3.211 1.1 =3.5 3.211约简到比位数最少者多一位约简到比位数最少者多一位 1.13.21 1.1=3.5 321 1结果与位数最少者相同结果与位数最少者相同 3.211 3.532 1 在乘除运算中，积和商的有效数字位数，一般说来在乘除运算中，积和商的有效数字位数，一般说来与运算各量中位数最少者相同。（乘法首位有进位与运算各量中位数最少者相同。（乘法首位有进位时多取一位，除法首位有借位时少取一位）。时多取一位，除法首位有借位时少取一位）。3.10.51.5

20、51.6 2 1.01 1.2110.83 3）初等函数运算：）初等函数运算： y=Sin5213 0.7903333 根据根据高等数学高等数学“微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用”一节内一节内容可证明容可证明:初等函数的计算，不改变有效数字的位数。初等函数的计算，不改变有效数字的位数。证明如下：证明如下： y =（dy/dx） x = Cos52 13 1 = 0.6127 0.0003= 0.0002这说明直接测量量这说明直接测量量X在分位上若有在分位上若有1 的偏差，对函的偏差，对函数的影响为数的影响为0.0002，即函数值有效数字的第四位为欠准，即函数值有效数字的第四位为欠准

21、数字所在位。数字所在位。y = Sin52o13 0.7903又又如：如： 252 = 6.2 102 625 6.25 102 6.3 102 * 常数不参与有效数字运算。常数不参与有效数字运算。4）对数函数：）对数函数：lgX的尾数与的尾数与X的位数相同的位数相同lg100=2.000; lg1.983=0.2973; lg1983=3.2973例题例题（1）98.745+1.3=98.74+1.3=100.04=100.0 （2）76.000/ (40.00-2.0)=76.00 / 38.02.00 （3）4.2572=18.122（首数乘积有进位）（首数乘积有进位） （4）(252+

22、943.0)/479.0 =(6.2+9.43)/4.790 =15.6/4.790=3.26（5）107.58-2.5+3.452=107.58-2.5+3.45 =108.53 =108.5（6）注意：注意：有效数字的运算，应先约简，后计算。有效数字的运算，应先约简，后计算。把下列各数取作把下列各数取作3位有效数字位有效数字 （1）1.075=1.08（5凑偶凑偶） （2）0.86249=0.862 （3）27.05002=27.1（5后面有不为后面有不为0的的数时，一律进位数时，一律进位） （4）3.14159=3.14 =？（不知道）？（不知道）二、误差及不确定度误差及不确定度1.误差

23、的基本知识误差的基本知识误差定义：误差定义： =| -x| 或或 r = | -x| / 测量值测量值x与与真值真值 之差称为误差。由于真值不可知之差称为误差。由于真值不可知, 故故误差不可知，所以测量都是对真值的近似描述。多用相误差不可知，所以测量都是对真值的近似描述。多用相对真值（理论值、约定真值、算术平均值）代替真值，对真值（理论值、约定真值、算术平均值）代替真值，并从统计的角度估算误差的大小。并从统计的角度估算误差的大小。*误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的认识接近客观真实的程度。认识接近客观真实的程度。误差来源：误差来源：由系统误差和

24、偶然误差两部分组成。由系统误差和偶然误差两部分组成。系统误差：系统误差：来源于测量系统的不完善来源于测量系统的不完善(如如:仪器、方法、仪器、方法、环境等环境等)，使，使x 偏离偏离 。 特点特点:以恒定偏大（小）或周期性形式出现。以恒定偏大（小）或周期性形式出现。 消除方法消除方法:真对产生的原因加以消除。真对产生的原因加以消除。偶然误差偶然误差：来源于大量微小干扰因素，使来源于大量微小干扰因素，使x 偏离偏离 。如让如让n个同学依次测某人身高个同学依次测某人身高X，得，得(X1、X2、 Xn )，但不能保证但不能保证X1 X2 Xn 。再次测量再次测量得得(X1、 X2、 Xn )，除不能

25、保证除不能保证X1 X2 Xn 外，还不能保证外，还不能保证X1= X1、 X2= X2 Xn =Xn。若若X1 = + X1， ， Xn = + Xn 。因因 X可正，可正，可负，可为零。这表明：可负，可为零。这表明：偶然误差的特点：随机性。偶然误差的特点：随机性。多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。消除方法：多次测量可以减小消除方法：多次测量可以减小偶然误差。偶然误差。当测量次数趋于无当测量次数趋于无穷时，偶然误差的穷时，偶然误差的存在，使测量的分存在，使

26、测量的分布具有单峰、有界、布具有单峰、有界、严格对称的特点。严格对称的特点。 正态分布函正态分布函数数f(x)描述了测量描述了测量值单峰、有界、对值单峰、有界、对称的分布特点。称的分布特点。f(x) X 23 其几何意义为分布曲线的宽度。曲线的总面积为其几何意义为分布曲线的宽度。曲线的总面积为1，在在范围内包含范围内包含68.3%的面积；的面积； 2 范围内包含范围内包含95.4%的面积；的面积； 3 范围内包含范围内包含99.7%的面积；而的面积；而 3 范围以范围以外，仅包含了外，仅包含了0.3%的面积。的面积。f(x) X 任意一次测量值落入区间任意一次测量值落入区间 的概率为的概率为

27、这个概率叫这个概率叫置信概率，置信概率，也也称为称为置信度。置信度。对应的区间叫对应的区间叫置置信区间，信区间，表示为。表示为。 扩大置信区间，可增加置信概率扩大置信区间，可增加置信概率在测量次数在测量次数n n较小的情况下，测量将呈较小的情况下，测量将呈t t分布分布。 n n 较小时较小时, , 偏离正态分布较多，偏离正态分布较多，n n 较大时较大时, , 趋于正态分布。趋于正态分布。 t t分分布布时时，置置信信区区间间和和置置信信度度的的计计算算需需要要对对特特殊殊函函数数积积分分，且不同的测量次数对应不同的值，计算很繁。且不同的测量次数对应不同的值，计算很繁。t t分布有如下特征：

28、分布有如下特征：1 1以以0 0为中心，左右对称的单峰分布；为中心，左右对称的单峰分布；2 2t t分布是一簇曲线，其形态变分布是一簇曲线，其形态变 化与化与n n（确切地说与自由度（确切地说与自由度） 大小有关。自由度大小有关。自由度越小，越小，t t分分 布曲线越低平；自由度布曲线越低平；自由度越大，越大， t t分布曲线越接近标准正态分布分布曲线越接近标准正态分布 （u u分布）曲线，如图分布）曲线，如图 自由度自由度 为为1 1、5 5、的的t t分布。分布。我们实验均按正态分布处理。我们实验均按正态分布处理。 不同，表明偶然误差不同，表明偶然误差的影响不同。的影响不同。 分布为分布为

29、 1的曲线其测的曲线其测量值离散性大些，分布为量值离散性大些，分布为 2的曲线测量值相对集中些，的曲线测量值相对集中些，表明前者偶然误差的影响要表明前者偶然误差的影响要大。可用来描述偶然大。可用来描述偶然误差的误差的大小。大小。 但在实际中，我们对物理但在实际中，我们对物理量的测量都是有限次测量，量的测量都是有限次测量，偶然误差对测量值的影响，偶然误差对测量值的影响，是由标准偏差来估算的。是由标准偏差来估算的。 偏差偏差=|平均值平均值 测量值测量值|f(x) 2 X偶然误差的估算偶然误差的估算： 在有限次测量条件下，我们可用在有限次测量条件下，我们可用S 对偶然误差进行对偶然误差进行估算。由

30、公式知，估算。由公式知， S 从统计的角度反映了平均值从统计的角度反映了平均值 和和某一次测量值某一次测量值X 之间的偏离程度，称为测量列的标准之间的偏离程度，称为测量列的标准偏差，简称测量列的标准差。偏差，简称测量列的标准差。统计解释：统计解释：数据列中任一数据列中任一值值X 出现在（出现在（ S ）区间的概率为区间的概率为68.3%。 可证明：当可证明：当n 时，时， S 作任作任一次测量，随机误差落在区一次测量，随机误差落在区间间 的概率为的概率为 。 小，小误差占优，数据集中，重复性好。小，小误差占优，数据集中，重复性好。大，数据分散，随机误差大，重复性差。大，数据分散，随机误差大，重

31、复性差。标准偏差的物理意义：标准偏差的物理意义：但在测量时，我们更关心、且经常利用但在测量时，我们更关心、且经常利用测量列平均值测量列平均值X的的标准差标准差S 来估算平均值与真实值之间的偶然误差。来估算平均值与真实值之间的偶然误差。 在在X S 范围内有范围内有68.3% 的可能包含了真值的可能包含了真值; 在在X 2S 范围内有范围内有95%的可能包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范围内有范围内有99.7%的可能包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范围外范围外,仅有仅有0.3% 的可能包含了真值。的可能包含了真值。3S 称为误差的极限，也叫坏值剔除的标准。称为误差的极限，也叫

32、坏值剔除的标准。标准偏差公式推导标准偏差公式推导: :有一组测量值有一组测量值, , ，各次测量，各次测量值的误差为值的误差为 两边求和取平均得：两边求和取平均得：或或代入代入偏差定义式，得：偏差定义式，得：两边平方求和得：两边平方求和得：因为在测量中正负误差出现的概率接近相等，故因为在测量中正负误差出现的概率接近相等，故 展开后，交叉项展开后，交叉项 为正为负的数目接近相等，为正为负的数目接近相等，彼此相消，故得：彼此相消，故得：因而因而即即等式右边若取等式右边若取n n 时的极限，即是标准误差时的极限，即是标准误差的定义式。的定义式。等式左边是任意一次测量值的标准偏差，记作等式左边是任意一

33、次测量值的标准偏差，记作x x即即 它表示测量次数有限多时，标准误差它表示测量次数有限多时，标准误差的一个估算值。的一个估算值。 物理意义：如果多次测量的偶然误差遵从正态分布，则任物理意义：如果多次测量的偶然误差遵从正态分布，则任意一次测量的误差落在意一次测量的误差落在- -x x到到+ +x x区域之间的可能性（概率）区域之间的可能性（概率）为为68.3%68.3%。或者说，它表示这组数据的误差有。或者说，它表示这组数据的误差有68.3%68.3%的概率出现的概率出现在在- -x x到到+ +x x的的区间内。又称测量列的标准偏差。区间内。又称测量列的标准偏差。 同样可以得到算术平均值的标准

34、偏差同样可以得到算术平均值的标准偏差即即 物理意义：真值处于物理意义：真值处于 区间内的概率为区间内的概率为68.368.3% %。系统误差的估算系统误差的估算(只考虑仪器产生的系统误差只考虑仪器产生的系统误差)：由仪器的极限误差来估算系统误差。由仪器的极限误差来估算系统误差。 极极仪器在使用时所能产生的最大误差范围。可仪器在使用时所能产生的最大误差范围。可由如下三种途径获取：由如下三种途径获取： 1、由仪器说明书查询、由仪器说明书查询 2、无法查询时可按最小刻度一半考虑、无法查询时可按最小刻度一半考虑 3、指针式电表：、指针式电表： 极极量程量程 等级等级%系统误差的估算：系统误差的估算：U

35、仪仪= 极极/C C为置信系数为置信系数对误差均匀分布的仪器，对误差均匀分布的仪器，C取取 ，通常等刻度仪器、，通常等刻度仪器、仪表均是这种情况仪表均是这种情况;对误差服从正态分布的仪器（如数显表）对误差服从正态分布的仪器（如数显表）C取取3。等差细分类仪器等差细分类仪器: : U仪卡尺仪卡尺= = 0.02mm; U仪分光计仪分光计=1指针式电表：指针式电表：U仪电表仪电表= = 仪电表仪电表 = =（量程量程 等级等级%） U仪米尺仪米尺 U仪千分尺仪千分尺 秒表：秒表： U仪秒表仪秒表= 0.01s= 0.01s 数显仪器：数显仪器： U仪数显仪数显= = 1 1( (末位末位) )原始

36、数据的获得：原始数据的获得：1 1、明确实验的测量内容；、明确实验的测量内容；2 2、选定仪器及使用的量程；、选定仪器及使用的量程；3 3、计算仪器的系统误差即、计算仪器的系统误差即B B类不确定度类不确定度U仪仪，进而，进而 确定读数的有效数字位数；确定读数的有效数字位数；4 4、正确使用仪器，记录实验数据，完成测量内容。、正确使用仪器，记录实验数据，完成测量内容。数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器2.不确定度的计算不确定度的计算 由于误差仅仅是对测量过程的理想描述，为由于误差仅仅是对测量过程的理

37、想描述，为此，国际度量衡局于上个世纪此，国际度量衡局于上个世纪80年代提出用不确年代提出用不确定度一词取代误差来评价测量结果的建议，得到定度一词取代误差来评价测量结果的建议，得到了各国的采纳。了各国的采纳。概念：不确定度概念：不确定度U是由于测量误差存在而对是由于测量误差存在而对 被测量值不能确定的程度。被测量值不能确定的程度。意义：不确定度是一定意义：不确定度是一定置信概率置信概率下的下的误差误差 限值限值, , 反映了可能存在的误差分布范围。反映了可能存在的误差分布范围。 不确定度存在于实验的各个环节之中不确定度存在于实验的各个环节之中. 方法方法 人人 仪器仪器 ； 环境环境 理论理论即

38、即U由由U方、方、U理、理、U仪、仪、U环、环、U人人等部分组成。分别介绍如下等部分组成。分别介绍如下1、由方法产生的不确定度由方法产生的不确定度U方方。 伏安法测电阻实验中，因电流表内接分得一部分伏安法测电阻实验中，因电流表内接分得一部分电压，使电压表读数值较真实值偏大；若电流表外接，电压，使电压表读数值较真实值偏大；若电流表外接，又因电压表分得一部分电流，而使电流表读数值较真又因电压表分得一部分电流，而使电流表读数值较真实值偏大。这显然是由实验方法这一环节引起的，表实值偏大。这显然是由实验方法这一环节引起的，表明明:任何实验方法都会对测量产生或大或小的影响。任何实验方法都会对测量产生或大或

39、小的影响。 2、由理论产生的不确定度、由理论产生的不确定度 U理理 以自由落体运动公式为例以自由落体运动公式为例 h=gt /2 可以精确地描可以精确地描述两个铁球同时落地，但不能解释高空特技跳伞员从机述两个铁球同时落地，但不能解释高空特技跳伞员从机舱鱼贯而出，但能同时落地的事实。这是因为公式本身舱鱼贯而出，但能同时落地的事实。这是因为公式本身做了忽略空气阻力的近似！这就使得用该公式描述下落做了忽略空气阻力的近似！这就使得用该公式描述下落物体运动距离时实际值永远小于等于理论值。可见，由物体运动距离时实际值永远小于等于理论值。可见，由于任何理论都是对真实过程的近似描述，理论对测量产于任何理论都是

40、对真实过程的近似描述，理论对测量产生影响，就不足为奇了。生影响，就不足为奇了。3、由仪器产生的不确定度、由仪器产生的不确定度 U仪仪 任何仪器在它所能提供的最小读数以下，都无法提任何仪器在它所能提供的最小读数以下，都无法提供更准确的信息。比如照相机在拍摄人物时，由于镜头供更准确的信息。比如照相机在拍摄人物时，由于镜头本身是一个有限大小的孔径，人物发出的光经过镜头产本身是一个有限大小的孔径，人物发出的光经过镜头产生衍射，使得形成的人物像无法很清晰（比如不能清晰生衍射，使得形成的人物像无法很清晰（比如不能清晰分辨出每一根眼睫毛）分辨出每一根眼睫毛） 。4、由环境产生的不确定度、由环境产生的不确定度

41、 U环环 许多仪器对其工作环境都有一定的要求，环境的许多仪器对其工作环境都有一定的要求，环境的变化对测量结果有着直接的影响。比如收音机接受短变化对测量结果有着直接的影响。比如收音机接受短波信号时波信号时,其周围电磁辐射会产生噪音的影响；其周围电磁辐射会产生噪音的影响；5、由人自身产生的不确定度、由人自身产生的不确定度 U人人 视觉的影响：由于两眼存在着主辅视力现象，使视觉的影响：由于两眼存在着主辅视力现象，使得两眼接受的信息在大脑中产生的视觉有差异。比如，得两眼接受的信息在大脑中产生的视觉有差异。比如，带眼镜的同学眼镜片反射的身后的光线往往会被主视带眼镜的同学眼镜片反射的身后的光线往往会被主视

42、力一侧的眼睛感知。所以为避免视觉的影响，在一些力一侧的眼睛感知。所以为避免视觉的影响，在一些测量、读数时，会要求用一只眼睛来进行。测量、读数时，会要求用一只眼睛来进行。 色觉的影响：人眼能识别的光约在色觉的影响：人眼能识别的光约在400700nm范围内。我们对这些光范围内。我们对这些光“亮亮”、“暗暗”的判断并不是的判断并不是客观的。客观的。比如，你面前有比如，你面前有7盏盏100W的灯，分别是红、橙、黄、的灯，分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫，白天看来似乎黄、绿两灯亮些；晚绿、青、蓝、紫，白天看来似乎黄、绿两灯亮些；晚上看来似乎蓝、绿两灯亮些。这表明主观亮度和客观上看来似乎蓝、绿两灯亮些。这

43、表明主观亮度和客观亮度是有差别的。亮度是有差别的。 听觉的影响：人们能感知的声波频率范围约为听觉的影响：人们能感知的声波频率范围约为2020KHz，小孩能听到电视在小孩能听到电视在2224KHz范围的高频范围的高频振荡噪声；老人只能识别声音中的高频成分；某某同振荡噪声；老人只能识别声音中的高频成分；某某同学耳音好、坏等等，都是听觉方面的差异造成的。学耳音好、坏等等，都是听觉方面的差异造成的。 还有嗅觉、触觉还有嗅觉、触觉 不不一一举例。一一举例。 说这些的目的是，人在接受信息时除了心理因素说这些的目的是，人在接受信息时除了心理因素的影响外，其生理感官各环节上也存在着或大或小的的影响外，其生理感

44、官各环节上也存在着或大或小的影响，使你描述的信息偏离客观。影响，使你描述的信息偏离客观。 只有客观地认识自己，才能客观地描述世界。只有客观地认识自己，才能客观地描述世界。上述不确定度共分两类上述不确定度共分两类:A类类:上述各部分中上述各部分中满足统计分布满足统计分布的成分的成分,构成构成A类不确类不确定度的各个分量用定度的各个分量用Si来来表示。表示。(对应估算偶然误差对应估算偶然误差)B类类:不满足统计分布不满足统计分布的各不确定度成分用的各不确定度成分用UB i 表示。表示。 （对应估算系统误差对应估算系统误差） 不确定度的不确定度的合成遵从矢量相加的原则。合成遵从矢量相加的原则。不确定

45、度与误差的区别和联系：不确定度与误差的区别和联系： 不确定度恒大于零；误差不确定度恒大于零；误差可正，可负，可可正，可负，可为零。前者从统计的角度评价测量的好坏；后为零。前者从统计的角度评价测量的好坏；后者从理论的角度评价测量的好坏。者从理论的角度评价测量的好坏。不确定度的意义：不确定度的意义：1.1.实验前实验前, , 根据事先要求的不确定度的大小，根据事先要求的不确定度的大小，选择精度合适的仪器；得当的实验方法等，选择精度合适的仪器；得当的实验方法等，是确定实验方案的依据是确定实验方案的依据。2.实验中，检验测量数据的可靠性，检查实验实验中，检验测量数据的可靠性，检查实验方法，修正实验方案

46、的依据。方法，修正实验方案的依据。3.实验后，对实验结果的可靠性进行评价。以实验后，对实验结果的可靠性进行评价。以及是否需要改进实验方法、装置，重新实验及是否需要改进实验方法、装置，重新实验的依据。的依据。三、数据处理三、数据处理1、直接测量量的数据处理、直接测量量的数据处理 对直接测量得到的数据（对直接测量得到的数据（X1、X2、 Xn）的处理的处理应有以下三个步骤：应有以下三个步骤：（1）X平均值平均值 的计算的计算（2）不确定度的计算。）不确定度的计算。（3）结果的表示）结果的表示由由 决定决定 的有效数字位数。的有效数字位数。 保留保留一一位有效数字。位有效数字。表明真值表明真值X有有

47、68.3%的可能出现在的可能出现在 的范围内。的范围内。 例如：测量球体的直径例如：测量球体的直径:D=11.4, 11.5, 11.6, 11.3, 11.5, 11.4（mm） ，求不确定度，结果表示：求不确定度，结果表示：D=D UD 解：解： D=（ 11.4+ 11.5+ 11.6+ 11.3+ 11.5+ 11.4 ）/6 =11.4 mm (根据加法运算规则，不要写成根据加法运算规则，不要写成11.45 ) SD = UB = = 0.3mm U D = 或或UB SD 所以所以 UDUB=0.3mm D=D UD = （11.4 0.3 ）mm 不能写成不能写成11.4 0.2

48、3 ， 11.45 0.3 ， 11.45 0.23。2、间接测量量的数据处理、间接测量量的数据处理 若若y = f(X1、X2、 Xn ) ) 则有则有： (1) y = f( X1 , X2, Xn) (2) 不确定度不确定度 ( ( 保留保留一一位有效数字位有效数字) ) (3)结果结果: ( ( 决定决定 的有效数字位数的有效数字位数) )例例1：求一圆柱体的密度。已知：求一圆柱体的密度。已知M236.124 0.002（g）；）； D2.345 0.005（cm）；）；H8.21 0.01（ cm ） 要求根据不确定度专递公式，写出最终表达式。要求根据不确定度专递公式，写出最终表达式

49、。(1)求平均值求平均值 6.67（ ）(2)不确定度不确定度 例例2 2：长方体体积的测量及不确定度的计算。：长方体体积的测量及不确定度的计算。 实验数据实验数据: : a (mm) 149.5 149.8 149.4 149.6 149.4 b (mm) 25.36 25.34 25.30 25.34 25.32 c (mm) 2.899 2.901 2.896 2.894 2.903 数据处理数据处理: : 3、单次测量量不确定度的估算单次测量量不确定度的估算 当测量精度要求不高或系统误差远远大于偶然当测量精度要求不高或系统误差远远大于偶然误差时，即多次测量值都相同，这时多次测量没误差时

50、，即多次测量值都相同，这时多次测量没有意义，只做单次测量。有意义，只做单次测量。 单次测量量的不确定度只考虑仪器产生的系统单次测量量的不确定度只考虑仪器产生的系统误差即误差即B B类不确定度。类不确定度。 单次测量量的不确定度：单次测量量的不确定度： U仪仪= = 极极 C*由上两例可以看出：由上两例可以看出：积商运算先求相对不确定度，积商运算先求相对不确定度，再求绝对不确定度比较简单。再求绝对不确定度比较简单。不确定度的应用不确定度的应用 1）由直接量的误差计算间接量的误差；）由直接量的误差计算间接量的误差； 2）根据间接量的误差要求，计算直接量的误差，进）根据间接量的误差要求，计算直接量的

51、误差，进 而确定测量仪器和测量方法。而确定测量仪器和测量方法。 3）判断测量数据是否合理。）判断测量数据是否合理。 4）判断实验中是否存在系统误差。）判断实验中是否存在系统误差。 5）评价测量结果的优劣。）评价测量结果的优劣。 3、组合测量量的数据处理、组合测量量的数据处理在一定范围内，以组合测量的形式完成对物体及运在一定范围内，以组合测量的形式完成对物体及运动规律的描述过程，称为组合测量。其数据形式为：动规律的描述过程，称为组合测量。其数据形式为：组合数据处理的方法有以下几种：组合数据处理的方法有以下几种：（1）列表法：）列表法：以表格形式展示数据，使之了解以表格形式展示数据，使之了解x、

52、y之间的大致规之间的大致规律。要求直尺画线，数据工整规范，不要涂改，并律。要求直尺画线，数据工整规范，不要涂改，并说明说明x、 y各自表示的内容与单位。各自表示的内容与单位。X（单位）单位） X1X2 XnY（单位单位） Y1Y2 Yn（2）作图法：）作图法： 用坐标纸对用坐标纸对x 、y之间的规律作定性或定量描述的之间的规律作定性或定量描述的方法。若方法。若x 、y之间为线性关系，可从图中得到截距之间为线性关系，可从图中得到截距a和和斜率斜率b，从而可求得函数：从而可求得函数：y=a+bx。要求：要求：A、用坐标纸作图，坐标纸至少为用坐标纸作图，坐标纸至少为10cm10cm 。B、建立坐标系

53、，纵横轴分度都可以建立坐标系，纵横轴分度都可以不从原点起不从原点起。 用用有效数字有效数字标出单位长度，标出单位长度，并标出图名。并标出图名。 C、将实验数据点标在坐标纸上，并连成一光滑曲将实验数据点标在坐标纸上，并连成一光滑曲 线。用铅笔作图。线。用铅笔作图。D、若得到的为一直线，一定要从直线上选相距较远若得到的为一直线，一定要从直线上选相距较远的的两新点两新点A、B，标出其位置坐标，并由坐标值标出其位置坐标，并由坐标值求得求得 a、b。用。用实验数据点实验数据点求求a、b是是概念性错误。概念性错误。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值

54、的选取应能基本反映测量值的准确度或精坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表数据密度。根据表数据U 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10 V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10 mA，并可定并可定坐标纸的大小（略大于坐标范坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）围、数据范围） 约为约为130 mm130 m m。下面两个图中：下面两个图中：U 轴轴1mm对应对应的是的是0.0 V， I 轴轴1mm对应对应的是的是0.0 mA，所以纵横轴分度都，所以纵横轴分度都不对不对。表表1 1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据 例例3 3： 2.2.标明坐标轴：标明坐标

55、轴： 用粗实线画坐标用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单坐标轴的名称或符号、单位位, ,再按顺序标出坐标轴再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。整分格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 4. 连成图线：连成图线： 用直尺、曲线板用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使线通过每个实验点，应使两边

56、的实验点与图线最为接近且分布大体均匀两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。3.3.标实验点标实验点： 实验点可用实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标出（在同一坐标等符号标出（在同一坐标系下不同的曲线用不同的系下不同的曲线用不同的符号符号）。）。 5.标出图线特征：标出图线特征： 在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从所绘直线上读取两点从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.00

57、16.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.006.6.标出图名：标出图名： 在图线下方或空白位置在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要写出图线的名称及某些必要的说明。的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成至此一张图才算完成电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线作者：作者：xxxx（3）逐差法：）逐差法： 方法：将所得数据从中间分成两组，逐项作差方法：将所得数据从中间分成两组，逐项作差。 条件：函数满足线性关系；自变量

58、等间距变化。条件：函数满足线性关系；自变量等间距变化。 优点：充分利用测量数据，有对数据取平均的效果；可绕过具优点：充分利用测量数据，有对数据取平均的效果；可绕过具有定数的未知量，而求出所需要的实验结果。有定数的未知量，而求出所需要的实验结果。例如，由下表已知时间例如，由下表已知时间t和位移和位移s，求速度：求速度： t（s）1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00S（cm） 16.8 22.8 29.0 34.9 40.8 46.3 52.4 58.6S8S4=23.7 S7S3=23.4 S6S2=23.5 S5S1=24.0 S=23.6 t=4.0

59、0 S 37.7 t4.50 （中值中值）斜率斜率b S/ t 5.90(cm /s) a= S b t11.2(cm)则运动方程为则运动方程为S=11.2+5.90 t砝码质量砝码质量(Kg) 1.0002.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000弹簧伸长位置弹簧伸长位置(cm) x1x2x3x4x5x6x7x8（4）最小二乘法：）最小二乘法： 由于实验点存在测量偏差，所以实验点一般都不由于实验点存在测量偏差，所以实验点一般都不在所求直线上，点到直线的距离为实验偏差在所求直线上，点到直线的距离为实验偏差v 。若所。若所求得直线，能使求得直线，能使所有实验

60、点到该直线距离的平方和有所有实验点到该直线距离的平方和有最小值最小值（从统计意义上看，总的实验偏差有最小值）（从统计意义上看，总的实验偏差有最小值）则该方法叫最小二乘法。则该方法叫最小二乘法。YXv1 =y1-(a+bx1)vn =yn-(a+bxn)由于每次测量均有误差，使由于每次测量均有误差，使 在所有误差平方和在所有误差平方和( (称为称为残差残差) )： 为最小的条件下，得到的方程为最小的条件下，得到的方程y=a+bx的方法叫的方法叫最小二乘法。最小二乘法。满足线性关系满足线性关系 y=a+bx 若若假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=a0+b0x，其中其中a0和和b0是是最佳系数。残

61、差方程组为：最佳系数。残差方程组为：根根据据上上式式计计算算出出最最佳佳系系数数a0和和b0，得得到到最最佳方程为：佳方程为：y=a0+b0x最小二乘法应用举例最小二乘法应用举例为为确确定定电电阻阻随随温温度度变变化化的的关关系系式式，测测得得不不同同温温度度下下的的电电阻阻如如表表一一。试试用用最最小小二二乘乘法法确确定定关关系系式式：R = a + b t。 表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.80 82.3583.9085.10解：解：1. 1. 列表算出：列表算出：2. 2. 写出写出a a、b b的最佳值满足方程的最佳值满足方程nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =200443. 3. 写出待求关系式：写出待求关系式：