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1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 第一章 第一章 习题课NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率一、预备知识一、预备知识1.加法原理与乘法原理 那么完成该件事共有种不同的方法,有种不同的方法.(1).加法原理:如果完成某件事有m 种途径,而每种途径如果完成某件
2、事必须经过 m 个步骤,(2).乘法原理:完成每个步骤分别有种不同的方法, 那么完成该件事共有种不同的方法.NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率(1).选排列:从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(2).全排列:且有(1rn)记为元素按照一定顺序不重复地排成一列,称为从 n 个元素中取出r 个元素的选排列.且有r = n 的选排列称为全排列,记为2.排列与组合 (3).重复排列:称为从 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个
3、元素(1rn),按照一定顺序允许重复出现排成一列,NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率显然有且有排列总数为 n 个元素取出 r 个元素的重复排列,(4).组合:从 n 个不同的元素中任意取出 r 个记为(0rn)元素组成一组,称为从 n 个元素中取出 r 个元素的一个 组合.由于所以例如:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计
4、 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率内容小结内容小结条件概率、独立性1. 六个概念: 随机试验、样本空间、事件、概率、2.四个公式: 加法公式、乘法公式、全概率公式、3.两个概型: 古典概型、几何概型贝叶斯公式NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率例例1.设事件表示第k次取到了合格品(k =1,2,3), 三次都取到了合格品;试用符号表示下列事件:三次中至少三次中恰有两次取到合格品;三次中解解:三次
5、都取到了合格品:三次中至少有一次取到合格品:有一次取到合格品;或三次中恰有两次取到合格品:至多有一次取到合格品.三次中至多有一次取到合格品:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率这是样本空间所含基本事件的总数.而在8件正品中任取4件,因此所求概率为:在12件产品中任取6件,又由于在4件次品中取2件,根据乘法原理,的取法为解：解：其中恰设有12件产品,例例2其中4件次品,从中任取6件，所有可能的取法为所有可能的取法为所有可能的取法
6、为在12件产品中任取6件其中恰有2件次品有2件次品的概率是多少？NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率将n只球随机地放入故共有种不同的放法,至多一只球,而每个盒子中有许多问题和本例具有相同的数学模型.因而所求概率为:种不同的放法,每个盒子至多有一只球的概率个盒子中的任一个盒子,个盒子中去,解解: :个盒子中去,事件.将n只球放入例例3试求每一种放法是一个基本由于每只球都可以放入共有例如,假设(设盒子的容积不限).NORTH UN
7、IVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率都等于每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,个人,那么随机选取各不相同的概率为:因而这n个人中至少有两人生日相同的概率为：经计算可得下述结果：从上表可看出,两人生日相同几乎是必然事件.即他们的生日在一个有100人的合堂教室里,至少有nP200.4113040501000.7060.8910.9700.9999997NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学
8、院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率他至少订有一种报纸的概率.例例4.某市有甲、乙、丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的5%,1%,0.5%,其中有0.3%的人同时订甲乙两种报纸,没有人同时订甲丙或乙丙两种或甲乙丙求从该市任选一人,解解:例如:甲为太原广播节目报, 乙为太原晚报, 丙为太原日报.三种报纸.则有:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率
9、随机事件与概率例例5. 一盒中有12只晶体管, 其中4只是坏的,8只是好的，在盒中任取两次,第一次取出的不再放回, 已发现第一只是好的,求第二只也是好的概率.每次取一只,若 NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率例例6. 甲、乙、丙三台车床加工同样的零件, 它们出废品的概率分别为0.03 , 0.04 , 0.02 , 加工出来的零件放在一起,并且已知各车床的产量分别占总量的50%, 25%,25%,求:(1)任意取1件产品它是
10、合格品的概率;(2) 若任取一件产品是合格品,它是乙车床加工的概率.NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率解解:加工的,设分别表示取出的零件是甲、乙、丙车床B 表示取出的零件是合格品, 依题意知是样本空间的一个完备事件组.(1) 由全概率公式(2) 由贝叶斯公式NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章
11、第一章 随机事件与概率随机事件与概率例例7. 加工某一零件需经过三道工序, 设第一, 二, 三道记如果各道工序互不解解:=第i 道工序得到次品, (i =1, 2 , 3 )工序的次品率分别为2% , 3% , 5% ,影响, 问加工出的零件的次品率是多少?A = 加工出来的零件为次品.则上式中每一项是三个独立事件的积,可求出它们的概率;又由于每一项又是互不相容的,按加法原理可求出P(A).NORTH UNIVERSITY OF CHINA中中 北北 大大 学学 理理 学学 院院 数数 学学 系系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率但这样计算较繁. 以下考虑对立事件由于显然有(加工的零件是而所以所求概率为经三道工序加工的零件的次品率为0.0969.合格品)的概率.
