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1、10.3 平面与直线平面与直线1 1 平面方程平面方程经过一点经过一点 及垂直于一个方向及垂直于一个方向有唯一的一个平面有唯一的一个平面 . 与平面与平面 垂直的方向称为该平面的垂直的方向称为该平面的法向法向 .平面方程平面方程: 空间中的点空间中的点在平面在平面 上应满足的关系式上应满足的关系式 , 称为称为平面平面 的方程的方程 .平面方程的建立平面方程的建立:设平面设平面 的法向为的法向为 , 且经过点且经过点在在 上任取一点上任取一点 ,则有则有(1)式式 (1) 称为平面称为平面 的的向量式方程向量式方程由由, 则有则有(2)式式 (2) 称为平面称为平面 的的点法式方程点法式方程(
2、2) 式可表示为式可表示为:(3)即平面方程即平面方程 的方程是一三元一次方程的方程是一三元一次方程问题问题:任意一个三元方程任意一个三元方程 (3) 是否表示一平面是否表示一平面 ?设设 中至少有一不为零中至少有一不为零 , 不妨设不妨设 取定取定 , 代入代入 (3) 有有所以所以 满足方程满足方程 (3) , 而且而且 方程方程 (3)可以等价地表示为可以等价地表示为可知可知: 方程方程 (3) 表示一以表示一以 为法向为法向 ,经过经过 点的平面方程点的平面方程结论结论: 任意一三元一次方程任意一三元一次方程 都表示一平面方程都表示一平面方程 , 且其系数且其系数 构成的向量构成的向量
3、 即为其法向量即为其法向量 (4)我们称三元一次方程我们称三元一次方程 (3) 为为平面的一般方程平面的一般方程从从 (4) 式可进一步得知式可进一步得知:(1) 若若 A = 0 , (4) 式为式为(5)由于其法向量由于其法向量 在在 yz 平面上平面上 , 平面平面 x 轴轴 同理可知同理可知:表示一平行于表示一平行于 y 轴的平面轴的平面表示一平行于表示一平行于 z 轴的平面轴的平面(2) 若若 (4) 式中的式中的 A , B , C 0 (a) 若若 D = 0 , 则则 平面平面 经过原点经过原点(b) 若若 D 0 , 则则 (4) 式可以表示为式可以表示为(6)其中其中 即为
4、平面即为平面 在在 x , y ,z 轴上的截距轴上的截距 . 所以所以 (6) 称为平面称为平面 (4) 的的截距式方程截距式方程(3) 若在若在 (4) 式两边同式两边同乘乘则有则有由于由于上式可表为上式可表为(7)(7)故知故知 (7) 式中的式中的 |p| 表示表示平面平面 到原点到原点 O 的距离的距离 式式 (7) 称为平面称为平面 (4) 的的法式方法式方程程综上所述可知综上所述可知: 对于平面的一般方程对于平面的一般方程 (4) 可分别化为可分别化为(1) 点法式方程点法式方程 (2) (反映法向反映法向 , 经过的点经过的点 P0 )(2) 截距式方程截距式方程 (6) (
5、反映平面与各坐标轴的截距反映平面与各坐标轴的截距 )(3) 法式方程法式方程 (7) ( 反映平面与原点反映平面与原点 O 的距离的距离 )它们都分别刻画了平面它们都分别刻画了平面 (4) 的一些重要特征的一些重要特征 .例例试求经过点试求经过点 P1=(1 , 2 , 1) , P2=( 2 , 3 , 1 ) , P3=( 1 , 0 , 4 ) 的平面的平面 的方程的方程 解解 经过的点经过的点 P3=( 1 , 0 , 4 )构造构造取取所以平面所以平面 的方程为的方程为即即解二解二:将将 P1 , P2 , P3 代入方程代入方程 (4)式中式中 , 解线性方程组求解解线性方程组求解
6、解三解三: 任取任取 P = ( x , y , z ) R3 , P P1 , P2 , P3 ,则则 共面共面例例试求经过点试求经过点 P1=(3 , 2 , 4) , P2=( 1 , 0 , 3 ) , 且垂直于平面且垂直于平面 2x + 5y + z +1=0 的平面的平面 的方程的方程 .解解平面平面 2x + 5y + z +1=0 的法向的法向:由由 垂直于垂直于 2x + 5y + z +1=0 知知: 可平移到可平移到 上上又又 也在也在 上上 , 故可取故可取 的法向的法向即可取即可取 , 取取 P2 = ( 1 , 0 , 3 )所以平面所以平面 的方程为的方程为即即2
7、 两平面的交角两平面的交角, ,点到平面的距离点到平面的距离(1) 两平面的交角两平面的交角设设可以看到可以看到: 两平面的交角两平面的交角 可用可用 1 , 2 的的法向的夹角法向的夹角 来计算来计算由于由于则有则有说明说明: (1) 1 2 特别当特别当 时时 , 1 与与 2 重合重合(2) 1 2 (2) 点到平面的距离点到平面的距离设平面设平面 : Ax +By +Cz +D =0则则M0 到到 的的距离距离: 在在 上任取一点上任取一点 , 则则构造构造则则即即说明说明:从图中可以看出从图中可以看出:点点 M0 到平面到平面 的距离的距离d 的另一表达式为的另一表达式为其中其中 p
8、 为为 上任一点上任一点M的位置向量的位置向量 上的上的投影量投影量.3 直线直线经过一点经过一点 P0 = ( x0 , y0 , z0 ) ,平行于平行于 唯一确定一条直线唯一确定一条直线 L ,这就是确定直线的这就是确定直线的两个要素两个要素 .任取任取 P = ( x , y , z ) L ,则有则有 若记若记则可得则可得(1)(1) 式称为直线式称为直线 L 的的向量式方程向量式方程 .若设若设则由则由(1) 式可表为分量形式式可表为分量形式(2) (2) 式称为直线式称为直线 L 的的参数方程参数方程 . (2) 式进一步可写成式进一步可写成(3)上式称为直线上式称为直线 L 的
9、的点向式方程点向式方程 .说明说明: (1) 若若 中有一为零中有一为零 , 则则 (3) 按按 (2)来理解来理解(2) 也称为直线的一个也称为直线的一个方向数方向数 .例例 (两点决定一直线两点决定一直线)试求经试求经 M1 = (x1 , y1 , z1 ) , M2 = (x2 , y2 , z2 ) 的直线的直线 L 方程方程 解解 只需求出此直线的方向只需求出此直线的方向 构造构造则则 , P0 = M1 = (x1 , y1 , z1 ) , 故取故取据直线的点向式方程据直线的点向式方程 ,知直线知直线 L 的方程为的方程为（两点式方程）（两点式方程）解解例例 试求经试求经 P0
10、 = (1 , 0 , 2 ) 与平面与平面 3x y + 2z +1=0 平行平行, 且与直线且与直线 相交的直线方程相交的直线方程 直线直线 L1 :经过点经过点:方向方向:平面平面 : 3x y + 2z +1 = 0 的法向的法向:设所求直线的方向设所求直线的方向 则由则由又又 L 与与 L1 相交相交 共面共面解解 , 得得 所以取直线所以取直线 L 的方向的方向:所以所求直线的方程所以所求直线的方程解解例例 试求点试求点 P0 = (1 , 1 , 2 ) 与平面与平面 上的垂足上的垂足 N , 并求出并求出 P0 到该平面的距离到该平面的距离 过点过点 P0 作平面作平面 的垂线
11、的垂线 L , 则则 L 的方程的方程其参数方程其参数方程 : x = 1+t , y = 1+t , z = 2+t代入代入 的方程的方程 , 解得解得 , 所以所以距离距离:直线的点向式方程直线的点向式方程 (3) 可等价地表为可等价地表为( 两平面的交线两平面的交线 )于是直线也可以表示为于是直线也可以表示为(4)(4) 式称为直线的式称为直线的一般方程一般方程 .直线的一般方程直线的一般方程 (4) 可化为点向式方程可化为点向式方程 (3)直线的一般方程直线的一般方程 (4) 可化为点向式方程可化为点向式方程 (3)可以看出可以看出 :其中其中由于由于 1 不平行于不平行于 2 , 可
12、知可知中至少有一不为零中至少有一不为零 , 1 , 2 不相交或不相交或 1 = 2 否则否则不妨设不妨设任取任取 z = z0 R , 解方程组解方程组得直线得直线 L 上的点上的点 P0 ( x0 , y0 , z0 )所以直线所以直线 L 的方向的方向: L 经过的点经过的点: P0 ( x0 , y0 , z0 ) 从而可将直线从而可将直线 (4) 化为点向式方程化为点向式方程 (3)例例将直线将直线 化为点向式方程化为点向式方程 解解 令令 z = 0 , 解解 得得记记则则所以直线的点向式方程所以直线的点向式方程 :4 几个问题几个问题(1) 两直线间的最短距离两直线间的最短距离直
13、线直线 L1 : 经点经点 P1 , 方向方向 直线直线 L2 : 经点经点 P2 , 方向方向 设设 T1 L1 , T2 L2 使使 , 则则 且且 , 求求 间的间的 最短距离最短距离 d . 由于由于 L1 L2 , 于是有于是有即即 (1) d 即为以即为以 为边的平行六面体的高为边的平行六面体的高 (2) 两不平行直线相交两不平行直线相交 d = 0共面共面 说明说明:解解例例求直线求直线间的最短距离间的最短距离 (2) 直线在平面上的投影直线在平面上的投影 , 平面束平面束设给定直线设给定直线 L :及平面及平面 可以看出可以看出 : 在在 上的投影直上的投影直线线 .平面平面
14、上的直上的直线线 称称为为直直线线 L 的的投影平面投影平面 ) , 则则 即即为为 与与 的交线的交线.若若 是是经过经过 L 且与且与 垂直的平面垂直的平面 ( 称称为为 L关于关于下面考下面考虑虑 L 关于关于 的投影平面的投影平面 的计算的计算. 过直线过直线的平面束的平面束方程方程平面束方程（平面束方程（严严格意格意义义上的）上的）:过过 L 的平面束方程的平面束方程:(5)说明说明:平面平面 是是经过经过直直线线 L 的的 , 其中其中 ,而且而且 包含了经过包含了经过 L 的所有平面的所有平面 于是在于是在 中寻找一使中寻找一使 的平面即为的平面即为L关于平面关于平面 的投影平面
15、的投影平面 , 即求即求 使使过过 L 的平面束方程的平面束方程 即即又又 ,由由上的上的投影直投影直线线 的方程的方程 求直线求直线 L : 在平面在平面例例解解当当 时时,过过 L 且与且与 垂直垂直 所以投影直线所以投影直线 的方程的方程过过 L 的平面束方程的平面束方程即即求过直线求过直线 L : 而且在而且在 y , z轴上具有相同的非零截距的平面轴上具有相同的非零截距的平面方程方程 例例解解可得可得为使为使 ( ) 在在 y , z 轴轴上上具有相同的非零截距具有相同的非零截距(3)直线与平面的夹直线与平面的夹角角若记若记 与与 间的夹角为间的夹角为 , 方向为方向为 的直线的直线
16、 L 与法向为与法向为 的平面的平面 之间的夹角之间的夹角 , 我们将其定义为我们将其定义为: L 在在 上的投影直上的投影直线线 的方向的方向与与 间的夹角间的夹角 则有则有 设设 L 的方向的方向 ,又又的的过点过点 A=( 1 , 2 , 3)作直线作直线 L , 使它平行于平面使它平行于平面且与另一平面且与另一平面 例例夹角为夹角为解解因为因为将将 l1 = l 2 代入得代入得所以所以所求直线所求直线到直线的距离为(4) 点d例例. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为过已知点且垂直于已知直线思路: 先求交点例例. 求过点且与两直线都相交的直线 L.提示提示:的方程化为参数方程设 L 与它们的交点分别为 再写直线方程.三点共线
