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1、第十节第十节 多元多项式多元多项式 在前面我们讨论了一元多项式的基本性质在前面我们讨论了一元多项式的基本性质 . 但是除去一元多项式外，还有但是除去一元多项式外，还有含有多个文字的多含有多个文字的多项式项式，即，即多元多项式多元多项式，如，如等等. 现在我们就来现在我们就来简单地介绍简单地介绍一下有关多元多项一下有关多元多项式的一些概念式的一些概念.上页上页下页下页返回返回 设设P是一个数域，是一个数域，x1 ,x2, , xn 是是 n 个文字个文字. 形形式为式为 如果如果两个单项式两个单项式中中相同文字的幂全一样相同文字的幂全一样，那，那么么这两个单项式这两个单项式就称为就称为同类项同类
2、项.上页上页下页下页返回返回的式子，其中的式子，其中a 属于属于P， k1 ,k2, , kn是非负整数，称是非负整数，称为一个为一个单项式单项式.(1) 一些单项式的和一些单项式的和(2)就称为就称为n元多项式元多项式，或者简称，或者简称多项式多项式. 和一元多项式一样，和一元多项式一样，n元多项式也可以定义元多项式也可以定义相相等等、相加相加、相减相减、相乘相乘. 例如，例如，上页上页下页下页返回返回定义定义10 所有系数在数域所有系数在数域P 中的中的n元多项式的全体，元多项式的全体，称为称为数域数域P上的上的n元多项式环元多项式环，记为，记为与一元多项式的情况相仿，我们有与一元多项式的
3、情况相仿，我们有上页上页下页下页返回返回 P x1,x2, , xn . k1+k2+kn称为单项式（）的称为单项式（）的次数次数. 当一当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多多项式的次数项式的次数 .的次数为的次数为5.例如例如，多项式，多项式 虽然多元多项式也有次数，但是虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项与一元多项式的情况不同式的情况不同，我们，我们并不能对多元多项式（）并不能对多元多项式（）的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为的单项式按次数给出一个
4、自然排列的顺序，因为不同类的单项式可能有相同的次数不同类的单项式可能有相同的次数. 我们看到，我们看到，一元多项式的一元多项式的降幂排法降幂排法（或者（或者升幂排法升幂排法）对于许）对于许多问题的讨论是方便的多问题的讨论是方便的.上页上页下页下页返回返回 同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元多项式也多项式也引入一种排列顺序的方法引入一种排列顺序的方法，这种方法是，这种方法是模模仿字典排列的原则仿字典排列的原则得出的，因而称为得出的，因而称为字典排序法字典排序法. （k1,k2 , ,kn） (3)其中其中ki为非负整数为非负整数. 这个对应是这个对应
5、是的的. 为了给为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对于对于n元数组（）定义一个先后顺序元数组（）定义一个先后顺序就行了就行了.上页上页下页下页返回返回如果数如果数 k1- -l1,k2- -l2 , ,kn- -ln中中第一个不为零的数是正的第一个不为零的数是正的， 也就是说，有也就是说，有in使使每一类单项式每一类单项式 都对应一个都对应一个n元数组元数组那么，我们就称那么，我们就称n元数组（）先于元数组（）先于n元数组元数组上页上页下页下页返回返回并记为并记为 (k1,k2 , , kn)(l1,l2 , , ln) . （l1,l2 ,
6、 , ln） (4)例如例如 (1,3,2)(1,2,4) 由定义立即看出，对于任意两个由定义立即看出，对于任意两个n元数组元数组(3)，(4)，关系关系中有一个且仅有一个成立中有一个且仅有一个成立. 同时，关系同时，关系“”具有具有传递性传递性，即，即，上页上页下页下页返回返回如果如果那么那么事实上事实上，由，由ki- -mi= (ki- -li)+ (li- -mi) 即得上面的结论即得上面的结论. 因之，这样的确给出了因之，这样的确给出了n元数组之间的一个顺序元数组之间的一个顺序. 相应地，单项式之间也就有了一个先后顺序相应地，单项式之间也就有了一个先后顺序.例如例如多项式多项式 按字典
7、排序法写出来就是按字典排序法写出来就是因为因为 (3,0,0)(2,1,0)(1,2,2). 按字典排序法写出来的第一个系数不为零的按字典排序法写出来的第一个系数不为零的单项式称为单项式称为多项式的多项式的首项首项. 例如，例如， 就是上面这就是上面这个多项式的首项，应该个多项式的首项，应该注意注意，首项不一定具有最首项不一定具有最大的次数大的次数 .当当n=1时时，字典排序法就归结为以前的，字典排序法就归结为以前的降幂排降幂排法法 . 对于字典排序法，我们有：对于字典排序法，我们有：上页上页下页下页返回返回定理定理14 当当f(x1,x2,xn)0, g(x1,x2,xn)0 时，乘积时，乘
8、积 f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn) 的首项的首项等于等于 f(x1,x2,xn)的首项与的首项与g(x1,x2,xn)的首的首项的乘积项的乘积.证明证明 设设f(x1,x2,xn)的的首项首项为为g(x1,x2,xn)的的首项首项为为为了证明它们的积为了证明它们的积为为fg的的首项首项，只要证明，只要证明先先于于乘积中乘积中其他单项式所对应的有序数组其他单项式所对应的有序数组就行了就行了. .上页上页下页下页返回返回事实上，事实上， f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn) 中其他单中其他单项式所对应的有序数组是项式所对应的有序数组是三种情形之一三种情形之一或者或者或者或者其
9、中其中上页上页下页下页返回返回而而同样有同样有由传递性即得由传递性即得上页上页下页下页返回返回与与是显然的是显然的.这就证明了，这就证明了， 不可能与乘不可能与乘积中其他的项同类而相消，且积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项先于其他所有的项，因而它是首项因而它是首项. 证毕证毕.例例按多元多项式的字典排序法改写以下多项式，按多元多项式的字典排序法改写以下多项式，并指出其首项的乘积。并指出其首项的乘积。解解上页上页下页下页返回返回 用数学归纳法立即得出用数学归纳法立即得出推论推论1 如果如果fi0 ，i=1,2, ,m ，那么乘积，那么乘积f1 f2 fm的首项等于每个的首项等于每个fi的
10、首项的乘积的首项的乘积.上页上页下页下页返回返回 定理定理14的结论显然包含着的结论显然包含着推论推论2 如果如果 f(x1,x2,xn)0, g(x1,x2,xn)0 ，那么，那么 f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)0 .如果多项式如果多项式 上页上页下页下页返回返回中中每个单项式全是每个单项式全是m次的次的 ，这个多项式就称为，这个多项式就称为m次次齐次多项式齐次多项式.例如例如就是一个就是一个4次齐次多项式次齐次多项式 . 显然显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和它的次数就等于这两个多项式的次数之和 .
11、 任何一个任何一个m次多项式次多项式f(x1,x2,xn)都可以都可以唯一唯一地表示成地表示成其中其中fi(x1,x2,xn)是是 i 次齐次多项式次齐次多项式. fi(x1,x2,xn)称为称为f(x1,x2,xn)的的 i次齐次成分次齐次成分.上页上页下页下页返回返回如果如果是一个是一个 l 次多项式，那么乘积次多项式，那么乘积的的 k 次齐次成分次齐次成分hk(x1 ,x2,xn) 为为由此可知，对于多元多项式，也有由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于乘积的次数等于因子次数的和因子次数的和 . 最后我们指出，与一元多项式一样，最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项多元多项式也可以看作函数的表达式式也可以看作函数的表达式. 设设上页上页下页下页返回返回并设并设 c1 ,c2,cn是数域是数域 P中的数，我们称中的数，我们称为为f(x1,x2,xn)在在 x1=c1 , x2=c2, , xn=cn处的值处的值.显然，当显然，当时，我们有时，我们有上页上页下页下页返回返回
