椭圆型方程的差分方法

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1、第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法(3.1) 其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足(3.2) 对应方程(3.1)的定解问题有下面三类： 第一边值问题，或称Drichlet问题 设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章考虑如下椭圆型方程的差分解法： 第二边值问题，或称Neumann问题 第三边值问题，或称Robin问题其中3.13.1 正方形区域中的正方形区域中的Laplace方程方程Dirichlet边边值问题的差分模拟值问题的差分模拟 设为正方形区域，0x1，0y1，求方程(3.3)满足边值条件的解。(3.4)(3.3) 考虑Laplace方程因此La

2、place方程的五点差分格式为（3.6）它具有截断误差:我们引进记号，有(3.7)因此差分方程(3.6)即。如图3.1所示定义向量建立差分方程，由此在区域内部 个点上建立 个方程。在区域的每一内部结点(l,m)上（3.8） 单位正方形中的内部结点上的 个线性方程(3.8)写成矩阵形式为 AU=K （3.9） I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。其中，A是 阶方阵3.2 3.2 Neumann边值问题的差分模拟边值问题的差分模拟现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即(3.10) 表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,

3、y)在那里将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定义。且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如果u(x,y)是式(3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域中某一点上的值。Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当Neumann边值问题的差分模拟 先在区域中给定一个正方形网格区域，步长为h，Mh=1,于是必须确定解的结点为 个，结点上的差分方程的解为 （3.12） 在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：在x=0上的导数边值条件的差分模拟为（3.13）这里。 在五点差分格式(3.12)中令l=0，

4、于是有代入式(3.13)，则即（3.14）同理，在x=1,y=0,y=1时分别有（3.15）（3.16）（3.17）在四个顶点上，有 由此，正方形 区域的 个结点上差分方程解 满足线性方程组这里A是 阶方阵I是(M+1)阶单位方阵； 是如下(M+1)的阶方阵：AU=2hg (3.18)方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：例例 3.1 3.1 在单位正方形区域上解Laplace方程Neumann 问题解解 令h=1/2，应用图3.2中结点次序，则方程(3.18)为(3.19)或简写成 AU=2hg。显然A是一奇异矩阵。3.3 3.3 混合边值问题混合边值问题 在xy平面的某区域中，未知函

5、数u满足Laplace方程，将边界 分成若干弧段，要求u在每一弧段上满足不同类型的边界条件。讨论此类定解问题的差分模拟。例如，求解如下定解问题：是给定的函数。（3.21）在求解区域内由逼近Laplace方程的五点差分公式给出函数u在结点(lh,mh)的近似值 所满足的差分方程。对于在x=0上的结点(0,mh)，应用边值条件的差分模拟和五点差分公式，即（3.22）消去 ，得相似地对于y=0上的结点(lh,0)，我们有(3.23)其中，。在原点(0,0)上，两边值条件相遇，则消去 和 ,则(3.24)且对l=0和m=0上成立的方程(3.22)，(3.23)用1/2乘之，对l=m=0上的方程(3.2

6、4)用1/4乘之。 这样在整个计算区域及相应边界网格点上建立了差分方程：下面把所有差分方程写成矩阵形式，于是U满足方程AU=hg(3.25)令其中矩阵A为 阶对称方阵。是M阶方阵。其中而g依赖于函数 , 和g在边界结点上的值。3.4 3.4 非矩形区域非矩形区域 当区域为具有边平行于网格线的矩形，则在所有区域内部结点上，可以采用同样的差分格式逼近椭圆型问题。当是非矩形区域，则在如图3.3所示的邻接边界的内部结点(l.m)上，需采取特别的处理方法。由解u在结点(l,m)上的Taylor展开可得 为了获得Laplace方程的差分逼近，在上面四个式子中消去一阶偏导数 项，则分别给出因此Laplace

7、方程的五点差分格式为(3.26)其中显然，当 时，式(3.26)化为五点差分格式(3.6)。3.5 3.5 极坐标形式的差分格式极坐标形式的差分格式 如果求解区域是圆域、环形域或扇形域，采用极坐标是方便的。由得到：将Poisson方程由直角坐标系变换到极坐标下为(3.27)这样可以将所求解区域映射为平面上的半条形区域。 方程(3.27)的系数当r=0时具有奇异性，因此，为了选出我们感兴趣的解，需补充附加条件，令 为了建立差分方程，在半条形区域中引进网格，如图3.4所示。即其中，。分别为r和方向的步长。为正整数。 注：网格中除去了。产生了当时格式的构造问题。且设，则有 用中心差商代替方程中的导数

8、，对，得差分方程当时用矩形公式近似上述积分，则 再用中心差商代替微商，就得出点(r0,m)的差分方程或者注：此处没有给出边界条件，因此也没有边界处点值的确定方法。3.6 3.6 矩形区域上的矩形区域上的PoissonPoisson方程的五点差分逼近方程的五点差分逼近的敛速分析的敛速分析考虑泊松方程的第一边值问题（3.31）其中中的网格点集合为，而边界上网格点集合为，而网格点 (记为 ) 上的五点差分逼近是 在边界网格点(l,m)上 满足边值条件(3.33)为了讨论差分方程解 与微分方程解 之间的逼近程度，令于是写成(3.32)则(3.34) 为了估计，建立它和之间的关系。由Taylor展开，设

9、，于是其中,令 定理定理 3.13.1 如果是定义在矩形区域上的网格点集上的函数，则有其中， 定理定理 3.2(3.2(极值原理极值原理) ) 假设（1）为定义在网格点区域上的一组值，（2）不恒为常数，（3）,则 不可能在内部结点即 上达到最大值。同样，如果 ，则不可能 在 上达到最小值。 应用定理3.1的结论，则差分方程解与微分方程解之差满足它证明了当网距 ，差分方程解收敛到微分方程解，式(3.35)是敛速估计，我们有定理在边界网格点上，于是由(3.34)得到(3.35) 定理定理 3.33.3 若Poisson方程的第一边值问题(3.31)的解 ，则五点差分公式(3.32)，(3.33)的

10、解一致收敛到u(x,y)，且有敛速估计其中 为与h无关的常数。3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究 考虑线性椭圆型方程第一边值问题(3.36)其中。设在区域上为连续函数，且满足 。在网格结点上，我们分别用如下中心差商代替一阶导数和二阶导数，即代入微分方程(3.36)，则有差分格式其中经整理，则有(3.38)其中 显然，如果适当选取h，使其满足(3.38)则对所有为正(i=1,2,3,4)。因为对矩形域内的所有网格点，令又由于，因此(3.39) 则在区域的内部结点上将个差分方程写成如下矩阵形式 AU=K (3.40) 其中，A为阶方

11、阵，K是维列向量，其元素由边值构成。条件及方程(3.37)的非齐次项记，显然具有如下特征：(1)矩阵A中零元素占绝大多数，非零元素则很少，即(2) 为稀疏矩阵；(2) 矩阵A为（M-1）维块三对角矩阵(或简称块状三对 角矩阵)；(3) 矩阵A的主对角线元素为 ，非对角线元素为 ，当椭圆型方程(3.36)中 为常数，时，矩阵A为对称矩阵；(4)(5),且对某一i成立严格不等式；(6) A是不可约矩阵。根据具有严格对角优势的矩阵是非奇异的， 具有对角优势的不可约矩阵是非奇异的， 具有对角优势和正的对角元的不可约对称矩阵 的特征值全是正数，即为对称正定阵。 这样我们得到这样我们得到 AU=K存在唯一

12、解。存在唯一解。3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究例例 3.23.2 考虑Laplace方程第一边值问题这里 。采用步长为1/4的正方形网格，差分公式为结点编号如图3.6所示，则按前法所得方程组AU=K的系数矩阵为3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究这是一个对称、不可约对角占优矩阵，对角元为正，因此它非奇异，且为对称正定阵。3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究例例 3.33.3 考虑椭圆型方程第一边值问

13、题这时采用步长为h=1/3的正方形网格，因此有四个网格内点(如图3.7所示)。差分格式为上式中3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究则得四阶线性方程组 AU=K其中系数矩阵3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究经具体计算，得A为严格对角优势，非对称矩阵。3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究例例 3.4 3.4 自伴线性椭圆型方程第一边值问题用中心差商近似导数，则差分方程为3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程

14、差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究即令格式可写为3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究网格区域如图3.7所示，则系数矩阵A为它是对角优势、不可约对称矩阵。3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究例例 3.53.5 考虑区域中椭圆型方程 (3.41)其中 。为了建立差分格式，在中覆盖一正方形网格区域，步长为h，在区域内点(l,m)上，有而混合偏导数 一开始用下式3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近

15、及其性质研究代替。这里 。在(l,m)点Taylor展开，则 (3.42)3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究由此，(3.42)为3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究如果 （3.43）则 项消失，因此，选择满足式(3.43)，于是逼近微分方程(3.41)的差分方程能具有截断误差阶 ，这时差分方程为3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究令格式为因此(1) 若 ，则选择 3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究这时差分方程为 （3.44.1）显然，若 ，则式(3.44.1)中 都为正。(2) 若 ，可令 ，则3.7 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究分逼近及其性质研究差分方程为 (3.44.2)如果 ，则格式(3.44.2)中 都为正。上面就不同情况，在个结点上列出了差分方程，设结点按自然次序排列，联立它们得到线性代数方程组 AU=KAU=KA为不可约对角优势矩阵。