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1、 线性代数线性代数 新教材精彩案例新教材精彩案例 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 图珐莽宜踢膜子恰涪舟爸卫炉梨彬第亩庐型欧呛钒刁拧诈扇蛆北硼攘尸鲤线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例一、一、 指导思想指导思想1 1、主题、主题文学文学: : 永恒主题永恒主题 = = 爱爱 + + 死死 ? ?数学数学: : 重要主题重要主题 = = 方程方程+ +函数函数微积分微积分: : 非线性非线性线性线性线线性性代代数数: : 多多元元一一次次方方程程组组+ +多元一次函数组多元一次函数组杀缴建艰使社弓坟悲执瞻摔寐铣宝讽绪轻侵分榜捞闰亮棠钦地淹眉正猾拓线代数新教材精彩案例线代数新教材
2、精彩案例7/27/2024空间解析几何空间解析几何 = 3 = 3 维线性代数维线性代数 线性代数线性代数 = n = n 维解析几何维解析几何空间为体，矩阵为用空间为体，矩阵为用几何问题几何问题矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 几何解几何解方程组方程组几何描述几何描述代数语言描述代数语言描述 矩阵运算求解矩阵运算求解2 2、代数几何熔一炉、代数几何熔一炉差湛叛八峙法蔚鳞陨罗萝识超芳却乎奠筷斋写慨晴跨袒铱豺扫凳垛谷姐谚线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024几何几何 PK PK 代数代数几何好看不好算几何好看不好算代数好算不好看代数好算不好看几何几何代数代数
3、: : 帮助计算帮助计算代数代数几何：帮助理解几何：帮助理解醇助演隧珊嚎摈蚜栗良肚害所啥优疫硷瑟翔碌筛姑徐蓝殷吧河蠕滨呼八辗线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024内容内容: : 最简单最简单的方程的方程 - - 一次方程一次方程 最简单最简单的函数的函数 - - 一次函数一次函数算法少：只有两个算法少：只有两个(1) 矩阵初等变换，矩阵初等变换，(2) 矩阵乘法。矩阵乘法。通过初等矩阵相互转化通过初等矩阵相互转化 1 . 5 1 . 5 个个3 3、线性代数之易、线性代数之易蕾按绘戚恋述鄂候牌峻可块个蝉弥覆件殖铣宅矫抓鱼怒善节厨饮父茁宿扼线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩
4、案例7/27/2024不怪抽象，不怪学生不怪抽象，不怪学生怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题解方程组只会用中学代入法解方程组只会用中学代入法; ; 判定方程判定方程组解的惟一性不会用线性无关组解的惟一性不会用线性无关; ; 算旋转算旋转不会用矩阵乘法不会用矩阵乘法; ; 算旋转轴不会用特征算旋转轴不会用特征向量向量; ; 抽象抽象= =许多不同事物共同点许多不同事物共同点= =难得糊涂难得糊涂= =放之四海皆准放之四海皆准= =无招胜有招无招胜有招4 4、线性代数之难、线性代数之难: :抽象抽象巴潜咋忱路盛亮友绝憨肛衬叠仔刚玲斧鼻茨肛肌叼吼尿就扮咖嗜康兵苍吊线
5、代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024学会少量算法，解决大量问题学会少量算法，解决大量问题各种问题各种问题转化转化(凌波微步凌波微步)少量算法少量算法无招胜有招无招胜有招如何实现：通过有招学无招如何实现：通过有招学无招积累案例，使用案例积累案例，使用案例案例：阳春白雪案例：阳春白雪下里巴人下里巴人抽象数学抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用贴近生活，喜闻乐见，易学易用5 5、线性代数之教学任务、线性代数之教学任务淆欣纪例踢蔚粮椿卢舵赔画论滨胶拈臃奔辈启菠板忌汁磋蛮颗惊肃亦裂伤线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024 博客与视频博客与视频 http:/ htt
6、p:/ 比梦更美好比梦更美好, , 名师培养了我名师培养了我 数学家的文学故事数学家的文学故事 数学聊斋数学聊斋, , 数学诗选数学诗选视频视频: 李尚志李尚志访谈访谈: :教育人生教育人生数学的草根本色数学的草根本色 CCTV1 CCTV1见证与亲历见证与亲历: :首博诞生记首博诞生记陪蛹哼攘并柄臆皮厂琼鲍与逢恳迭谨署翔免鞍芬国驹朗剁植咕邮雪聪哗俯线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例 网上资源网上资源 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学实验数学实验(2003),(2003),线性代数线性代数(2004)(2004) http:/教育部教育部 线性代数线性代数( (非数学
7、专业非数学专业)(2006)(2006) 高等数学高等数学 (2008) ( (2008) (郑志明郑志明) ) 联系办法联系办法: 爽迹央婆睬妊喻鳞均颗隘肆至张茄营疆环蛊敲纷搭四砌氏盗添骋聋蚕野姓线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例 数学的神韵数学的神韵 科学出版社科学出版社 2010.42010.4 新书介绍新书介绍乓锋刹葵舰飞瘪首息桐疽啃茬霞缉盲握话奉和幢般赊米枷甜龄贰掂缩咯筛线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志, , 线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用),), 高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5
8、 寞释窍窥透殖培悠旱钻哭去炕把的常喷吠注绊磋幢妄锰霞砂挫域期臣麦忻线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例 精品课程网页精品课程网页http:/儿申们糠赴腾湃寂险恬枉枣铱耘糟径皱办解峙悠柱彻棘笺悯耳煞蚌园谩夹线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例 邢薯佬勃强挚铸授办炒杆猖抽仙响贼乘簇切天势硷捉护杭夺垣幻肋誊疼茧线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例1.1 解解n n元元一次方程组一次方程组与中学接轨：与中学接轨：加减消去法加减消去法各方程乘常数再相加各方程乘常数再相加 = = 线性组合线性组合原方程组解原方程组解新方程解新方程解原方程解原方程解? ?怎样保证怎样保证: :变形前后互
9、为线性组合变形前后互为线性组合! !怎样实现怎样实现: :初等变换初等变换, ,高斯消去法。高斯消去法。只计算系数只计算系数: :矩阵消元矩阵消元. .只用到加减乘除只用到加减乘除: :数域数域让集缆络袜藏飘啄屋端套宣熙憎离滁肪骏棒减官境追换镍砾啥踏帕啃略晋线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024案例案例2.1 方程组惟一解问题方程组惟一解问题例例1.1.过已知点过已知点的多项式函数曲线的多项式函数曲线方程组的解是否惟一方程组的解是否惟一: :迁婪往框己脯港孜熔劳凯靳锹倪捻玲荷撒靴耪旁让百仰掘语雕铺吞赡伶狙线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024 方程组惟一
10、解问题方程组惟一解问题例例2 2. .已知电压与各电阻已知电压与各电阻, ,求各段电流求各段电流对任意电阻值有惟一解对任意电阻值有惟一解? ? 物理：物理：yes.yes.代数：方程组总有惟一解吗？代数：方程组总有惟一解吗？神滋是探捡勤排救卫对均睛膜速恼钙华焙础缩在硕吟耙删圈谭柔明舟酞祥线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意义写成向量形式写成向量形式惟一解条件惟一解条件: : OA,OB 不共线不共线 , ,组成平面上一组基组成平面上一组基案例案例2.2 n=2,3的几何解法的几何解法幸议哀手柴诊狞政呢驾在魄耶纺腊奠帆畔挺蛹防位
11、藻砧泡茵零堑炙泽蛹饿线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例用各用各aj j 线性组合线性组合 b, ,何时系数惟一？何时系数惟一？案例案例2.3. n元方程组几何解释元方程组几何解释铜汕潦禾獭伦押铆非验蓟疚目募怠栗佛脐秤姜颗瞪孩锯蛛宋履人委营渣尖线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例2.4 共线共面概念推广共线共面概念推广几何概念难推广，用代数运算描述易推广几何概念难推广，用代数运算描述易推广两向量两向量a, ,b共线共线 一个是另一个的实数倍一个是另一个的实数倍 xa+yb=0 有非零解有非零解 (x,y).三向量三向量a,b,c共面共面 一个是另两个的线性组合一个是另两个的线性
12、组合推广到推广到 n n 维向量维向量线性相关线性相关: : 有非零解有非零解线性无关线性无关: : 只有零解只有零解 若有解必惟一若有解必惟一xa+yb+zc=0 有非零解有非零解 (x,y,z)仍俐蹄鞭冲况爹瓜诸铰槛领公傍煞非菜雁让追停冷邹碱郧旦牲距促乌双梆线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024解方程组解方程组OB顺时针方向旋直角顺时针方向旋直角到到 与方程两边作内积消去与方程两边作内积消去y，得得是平行四边形是平行四边形OAPB有向面积有向面积. 称为二阶行列式。称为二阶行列式。 案例案例3.1 二阶行列式二阶行列式: :几何定义几何定义琵厌匆邑舀冉腻性铣岸唱为朝娶让
13、栖罢贰衍唐旁怪晶赌洗邢措褪圭躯择滋线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例利用基本性质计算利用基本性质计算 2 阶行列式阶行列式狞畸祈税泌嗽页廷椎钙僻糯绣溪辨锣歧迸纬旋妮滋吵牵白肘韶帐哩淀辟电线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例利用基本性质计算：利用基本性质计算：= 案例案例3.2 三阶行列式三阶行列式几何定义：几何定义：D D=a (bc) 平行六面体有向体积平行六面体有向体积耽撰德轨婪吁播篡剁乘侮丙匈蔗薄征姆建诽愚桨黄蹋酒忠始泥琢祝辉勒纹线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例3.3 n n阶行列式定义阶行列式定义3 3阶算法：阶算法：各列取不同行元素各列取不同行元素ai,bj
14、,ck相乘再乘相乘再乘d d(ijk) = =(-1)(-1)s s. . d d(ijk)是自然基列向量是自然基列向量e ei,e,ej,e,ek排成排成的行列式的行列式, ,经经s次两列互换为次两列互换为d d (123)=1. .n 阶行列式阶行列式 D D= =排列排列 经经s次对换变成次对换变成则则在在 中将中将1,2,依次往前一步步换依次往前一步步换到第到第1,2, 位位. .则则 s = = 逆序数逆序数畸款踏泪沂促幂宏乖萄睫里狐嘲独归吏崇稍锁袋璃颇恿涎简逊草普奇展囊线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024案例案例3.4 行列式判定线性无关行列式判定线性无关方阵
15、方阵A的行列式的行列式(n(n维体积维体积) ) D D 0 0 各列线性无关各列线性无关方程组方程组Ax=b有惟一解有惟一解。证明证明: : A 的各列的各列 a1 1, , ,an n 线性相关线性相关某列某列 ai 是其余各列的线性组合是其余各列的线性组合将各列将各列aj的的l lj 倍加到第倍加到第i i列列 A的第的第i列化为零列化为零 D D=0. 可见：可见：D D 0 各列线性无关各列线性无关. 反过来反过来: D D= =0 初等行变换化成阶梯形初等行变换化成阶梯形, , 最后一行为零最后一行为零 各列线性相关各列线性相关. 噶焚判滇谊烂沽后崇哭泵瞻烟珐助嘴迈掖泛泻聚唉砚来会
16、沙因蔑溃唯鸡迢线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024案例案例3.5 惟一解公式惟一解公式(Crammer)(Crammer)以以n=3为例为例: :左边第左边第2 2列乘列乘-y,-y,第第3 3列乘列乘-z,-z,各加到第各加到第1 1列列再提取公因子再提取公因子x,x,得得 x xD D= =D D1 1 x= x=D D1 1/ /D D.类似可得类似可得 y=y=D D2 2/ /D D, z=z=D D3 3/ /D D.现钥忙隧宅黄倔江饼屑缄渍溃席腻志垣汗烯偷钻虹仟迷塑崩荷洽蔷运涸嫉线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例7/27/2024案例4.1 秩与维数的
17、惟一性向量组向量组 A= A=(a1, am) 的线性组合的线性组合 B= =(b1,bk) . km B 线性相关线性相关. . 记记A的线性组合的线性组合 b 为乘积形式为乘积形式则则(3)(3)k k个个m维数组维数组X Xj j线性相关线性相关 b bj j线性线性相关相关A,BA,B互为线性组合且线性无关互为线性组合且线性无关 m=km=k鹏拈瓷风娩辨抠肛绕喧搞白坊赛也铺伊煞捐有怎阵咏哮散凸继深淫秋写咏线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例4.2 矩阵乘法的引入矩阵矩阵 A= A=(a1, am) 看成列向量组看成列向量组线性组合线性组合 a1x1+anxn 写成写成“行向量行
18、向量”A A乘乘 列向量列向量 XA A与矩阵与矩阵X=(X1 1, , , Xk k)的乘积的乘积: A: A乘各乘各列列AX=A(XAX=A(X1 1, ,X,Xk k)=(AX)=(AX1 1, ,AX,AXk k) )实际上是利用分块运算引入矩阵乘法实际上是利用分块运算引入矩阵乘法饵酶权钧鹤幌欧敖鸥买僳参姆颂逗质膜琴确遮花赤氮昧稼寓呈旁浴湍矿宵线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例4.3 矩阵乘法运算律乘法法则乘法法则对角阵对角阵纯量阵与单位阵纯量阵与单位阵叠酱奉够坪诵收眩属献凶肯愈敲俭猎孔蔷宠占谋揩恬拉佯闭抬烧瑞礁蛤粥线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例4.3 矩阵乘法
19、运算律分配律分配律 A(X+Y)=AX+AY. A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y(1) X,Y只有一列：合并同类项只有一列：合并同类项(2)X,Y(2)X,Y有若干列有若干列: : 逐列比较逐列比较燎廖暗淮即佩毁贱誓番纸笺永胡洞姆士腺启斤毙颅蜘抒么际昧辑充沁挚豹线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例4.3 矩阵乘法运算律结合律结合律 (AB)C = A(BC). (AB)C = A(BC). (AX)l l=(a1x1+anxn)l l =a1(x1l l)+an(xnl l)= A(Xl l)(AB)L L= = A(BL L)(AB)Cj=A(BCj)探阐袖胯猜程也坞苏满驭
20、慰鞭娘贿毅铝垒扁予杏楷猴货蛛啄雪篙棋瞻冈屡线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例4.4 运算律应用例例例1. 循椽紫挣中草坊息盘盘音芽眨谈玲厕搞恢涂犊原堑剥究簿惕较轩茧耳朽潞线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例例例2.2.求求 AB, A AB, An n. .X XAX:AX:旋转角旋转角a . a . OPOP=(x,y)=xe1+ye2OQOQ=xe2+y(-e1)=(-y,x)OPOP=(cos=(cosa)a)OP+(sinOP+(sina)a)OQOQ妹淄潍锡输得售膊举酉颂夷甸辰武坪病婶殃叼炳铜诛左淑腺庶挞内峻八果线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例蛤喳屠瓮巩茹喧呛劫
21、逼拯斡烷辛罩碳岔凛淳彬轰揉壤烤泉背宠径衬过娜胚线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例例例3. . 3. . 求求 A A1010. .解解. .A=A=l lI+ N ,I+ N ,厄贿装截拢箩湾谰媳伞扎仟慧慷廉沿伍砖啪障来递模魂筏佛械贝撼久汐犊线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例例例4. .4. .求求 B B 使使 B B1010=A=A解解. .A=I+ N ,A=I+ N ,易验证易验证 B B 满足要求。满足要求。辆省涅盯票刀惊掌啃宛判讣恋其偿攫幅辜伺羞闸肾僧隐嘛取酸跌疵萍渴昭线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例例例5.5.解微分方程组解微分方程组解解. .通解通解X= e
22、X= eAtAtC.eC.eAtAt由由TaylorTaylor级数定义级数定义. .令令 , ,则则 N N2 2 = O= O踩亏土胞纬弥沧秧灌闻菇责磐划痞教匝谁盐烟撩假担恍个寂砚社挠抗豺酷线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例例例6.6.矩阵求逆（解矩阵方程组矩阵求逆（解矩阵方程组) )解解. .解方程组解方程组 AX=I AX=I。按列分块：。按列分块：A(X1,Xn)=(e1,en )分别解分别解 AXj = ej.分别做初等变换（分别做初等变换（A,eA,ej j)-)-(I,X(I,Xj j) )同时做同时做 (A,e (A,e1 1, ,e,en n) )(I,X(I,X1
23、1, ,X,Xn n) )即即(A,I)(I,X),X=A-1.解解 AX=B AX=B，(A,B)(A,B)(I,X).(I,X).谢比臆听帅匝蛹始菊焊谅缎薪肪蜒幌倡陈词搭蹿稼羡岔毯诊丰菜从戎疗侗线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.1 最小二乘法最小二乘法(1)(1)例1.过三点(3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作直线y=kx+b.y=kx+b.解. 解方程组解方程组即即 ka ka1 1+ba+ba2 2=c.=c.求求D D与与C C距离最近距离最近. .几何解几何解:DC:DC 平面平面p. p.ATAX=ATc 锨灵方拂潦碉苍滩姑日撬寂陛怪姓
24、裤颅心坊惹尝挎贫乐猩绩腺橇偿陶糙丑线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.2 最小二乘法最小二乘法(2)-(2)-内积内积例2.过n点(xi,yi)作直线y=kx+b.y=kx+b.解.解方程组解方程组 ka ka1 1+ba+ba2 2=c,AX=c.=c,AX=c.a a1 1,a,a2 2是是n n维向量维向量. . 内积推广到内积推广到R Rn n. .仍求距离仍求距离CDCD最短最短. .为什么为什么DCDC 平面平面p?p?勾股定理勾股定理: CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc 稚宫镰圭迅民矮铬角爸杨聪娘浅腕居接抛拍禹互哮挣陷灵克风彤界荣匹苞线代数新
25、教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.3 勾股定理的理由勾股定理的理由(a-b)(a-b)2 2 = a(a-b)+(-b)(a-b)= a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a = a2 2 -2ab +b-2ab +b2 2对向量对向量 a,b a,b 仍成立仍成立: : AB AB 2 2 = =CACA2 2 + + CB CB 2 2 -2 -2CA*CB CA*CB *cosC*cosC 完全平方公式完全平方公式 = = 余弦定理（含勾股定理余弦定理（含勾股定理) ) 对数
26、组向量对数组向量 a,b a,b 也成立。也成立。括剐姚跋郴祈捣伴面沸傻蛀剁而熄长逞厉查冻秽容仆共竖迭领冻椿浆萤獭线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.4 Cauchy Cauchy不等式不等式例3.Cauchy不等式的理由. 向量向量 a=OA,b=OB 夹角夹角q|cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1(a,b)2|a|2|b|2为什么为什么|cosq| 1?直角边直角边| |OC| 斜边斜边| |OB|OB2-OC2=CB2 0 . . 摇梢遭昼呀煮捉萄逢辙旺鹊峪山持恐周同捐茄罩旁烷尾羊不斟瞩可庶厕屎线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.5 特征向量
27、的引入特征向量的引入例4.求曲线 x2+2xy+5y2=4围成的面积. 解. 左边配方得左边配方得 x x2 2+y+y2 2=4,=4,所求面积所求面积S S乘乘|A|=2|A|=2变成圆面积变成圆面积4 4p p,S=2,S=2p p. .例5.例4曲线是否被变换XAX拉伸为圆?解. 是否有非零是否有非零X X拉长为拉长为 AX= AX=l lX? X? (A-(A-l lI)X=0I)X=0有非零解有非零解 X, X,行列式行列式|A-|A-l lI|=0.I|=0.云粤曝瞪啡贪困毛妒枚墨煞损旺窜粱曰闪胰榷洼逞瓣每沼雄啡坞芜叔页颊线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.6 图
28、解特征向量图解特征向量例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆. 欲磐戚军挪婚北期缠吸闽阶衅龟位焊别丙窘踌狼铡满疮俘袍唬咙鳃拾恐父线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.7 利用线性变换引入利用线性变换引入e e求双曲线围成的面积 芬疼雪啼驱果瓤泪凝猴斋羌敬须隶疾重沥钨咀谷捞谴请逸酋畜畅丈悔击灰线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例案例案例5.8 实对称方阵的正交相似实对称方阵的正交相似例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. 分析.直角坐标变换直角坐标变换 X=UY X=UY 使使Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU.选择正交方阵选择正交方阵 U U 使使 B =diag(l l1,l l2). 则则 AU=UB,A(U AU=UB,A(U1 1,U,U2 2)=()=(l l1 1U U1 1, ,l l2 2U U2 2) ) U U 的两列是的两列是 A A 的特征向量的特征向量. . 眨滩蒂硅漾譬卓瘩哗请洼症卡饺慎鲤羔彩锅必完卫侣坠秧咏智募层膝侯跌线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例 谢谢谢谢 ！ 抵鹰蛀柜慕部袭梭免金戮灯天救鼎酸佰涂犁诌向微谰卞恒将谣扬老桨庆耸线代数新教材精彩案例线代数新教材精彩案例
