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1、振动振动(vibration(vibration）: :任何一个物理量随任何一个物理量随时间的周期性变化。时间的周期性变化。F机械振动：机械振动： (mechanical vibration)：物体在：物体在一定位置附近所作一定位置附近所作的来回往复的运动。的来回往复的运动。 F成因成因：物体的物体的惯性惯性和所受的和所受的回复力回复力周期性函数周期性函数fT(t) 展开成展开成Fourier级数：级数：其中：其中： F简谐振动简谐振动: :物体距平衡位置物体距平衡位置的位移的位移(或角位移或角位移)随时间按余随时间按余弦弦(或正弦或正弦)函数变化函数变化3-1 简谐简谐振动振动一一.简谐振动
2、的特征简谐振动的特征1.动力学特征动力学特征F胡克定律胡克定律: :物体物体所受弹性力与物体所受弹性力与物体的位移成正比而反的位移成正比而反向向即即-简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征2.运动学特征运动学特征令令速度速度位移位移-简谐振动表达式简谐振动表达式加速度加速度即有即有-简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征说明：说明：-简谐振动的振幅，为物体离开简谐振动的振幅，为物体离开平衡位置最大位移的平衡位置最大位移的绝对值绝对值-简谐振动的初相位简谐振动的初相位-简谐振动的相位简谐振动的相位-圆频率圆频率(2 秒内的振动次数秒内的振动次数) 讨论：讨论：由初始条件可确定由初始条件可确定
3、A和和 ：设设 t =0 时时，可得可得固有频率和固有周期：固有频率和固有周期：-周期和频率由振动系统本身周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与的性质所决定，与A和和 无关无关【简谐振动方程的物理意义简谐振动方程的物理意义】 物体作谐振动时，位移随时间按物体作谐振动时，位移随时间按余弦函数余弦函数(或正弦函数或正弦函数)规律周期性地规律周期性地变化，位移的值在变化，位移的值在AA变化。变化。 二二.谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法t =0：t 时刻时刻参考圆参考圆振幅矢量振幅矢量逆时针旋转逆时针旋转Ox0例例1用旋转矢量法讨论质点初始时用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时
4、谐振动的初相位：刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A；-A；0，且向负方向运动；，且向负方向运动；-A/2，且向正方向运动，且向正方向运动解：解：或或 三三.相位差和相位的超前与落后相位差和相位的超前与落后设设相位差相位差同频率时同频率时-初相差与初相差与t 无关无关讨论：讨论： 即即-同相同相 即即-反相反相 即即-第二个谐振动超前第二个谐振动超前第一个谐振动第一个谐振动研究：研究：简谐振动的位移、速度、加速度简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系的位相关系a与与x反相反相例例2如图的谐振动如图的谐振动x-t 曲线，试求其曲线，试求其振动表达式振动表达式解：由图知解：由图知设振动表达式为设振
5、动表达式为t=0时时：即即又又即即旋转矢量法旋转矢量法例例3质质量量为为0.01kg物物体体作作周周期期为为4s、振振幅幅为为0.24m的的简简谐谐振振动动。t=0时时, ,位位移移x=0.24m。求求(1)谐谐振振动动表表达达式式；(2)t=0.5s时时, ,物物体体的的位位置置和和所所受受的的力力；(3)物物体体从从初初始始位位置置运运动动至至x=-0.12m处所需的最短时间处所需的最短时间解解：(1)设振动表达式为设振动表达式为其中其中由由旋转矢量法得旋转矢量法得(2) t=0.5s:或或(3)例例4一一弹弹性性系系数数为为k的的轻轻弹弹簧簧, ,下下挂挂一一质质量量为为m的的砝砝码码。
6、开开始始时时用用手手托托住住砝砝码码, ,使使弹弹簧簧为为原原长长, ,放放手手后后砝砝码码开开始始振振动动。证证明明砝砝码码作作谐谐振动振动. .解：建立如图坐标系，原点为解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为原长位置为 y0在在y处时处时设设则则-得证得证设振动表达式为设振动表达式为由旋转矢量法得由旋转矢量法得t=0时时三三.角谐振动角谐振动-单摆单摆当偏角当偏角很小时，单摆小球的运动为谐振动。很小时，单摆小球的运动为谐振动。m 受力：受力：f 、mgx = A cos (t +) = 0 cos (t +)FF单摆谐振动的频率由系统本身的
7、性质决定单摆谐振动的频率由系统本身的性质决定切向力为：切向力为：其他形式的谐振动方程据据x = Acos (t + )、f、T ：由系统决定：由系统决定、A：由初始状态决定由初始状态决定小结：小结： 例例1.1.弹簧振子水平弹簧振子水平放置，初始时刻拉放置，初始时刻拉长至长至s0处并加一处并加一向右的速度向右的速度v0求振动方程求振动方程。Os0v0解：设振动方程为解：设振动方程为: :由已知条件求得由已知条件求得根据初条件可判别初相位的唯一取值：根据初条件可判别初相位的唯一取值：振动方程振动方程s3 /4- /4o例例2 2：一质点在垂直方向作简谐振动，：一质点在垂直方向作简谐振动，设向上为
8、设向上为S S轴的正方向，轴的正方向，t=0=0时，质点时，质点在在A/2 /2 处，且向下运动，如将位移公处，且向下运动，如将位移公式写成式写成 , , 则初相则初相 为多少为多少? ?o 思考题：思考题： 一谐振动物体的运动方程为：一谐振动物体的运动方程为： , ,此物体由此物体由x=-6cm=-6cm处开始向处开始向x的负方向运的负方向运动，经负方向端点回到平衡位置所经的动，经负方向端点回到平衡位置所经的时间为多少时间为多少? ?o 四四.谐振动的能量谐振动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例: 讨论讨论: :弹弹簧簧振振子子的的动动能能和和势势能能是是随随时时间间(或位移或位移)而变化
9、的而变化的总总的的机机械械能能保保持持不不变变，即即动动能能和和势势能相互转化能相互转化谐谐振振动动系系统统的的总总能能量量与与振振幅幅的的平平方方成正比成正比简谐运动的能量曲线简谐运动的能量曲线例例6一水平放置的弹簧振子，质量一水平放置的弹簧振子，质量为为m，弹性系数为，弹性系数为k，当它振动时，当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？多少？解解：(1)即即因此因此(2)例例3-2弹簧振子：弹簧振子：k=0.64N/s，m=0.01kg， x0=0.05m，v0=0.4m/s，向，向+x
10、运动运动求：振动方程求：振动方程 方法方法1：方法方法2：角谐振动角谐振动-单摆的能量单摆的能量总总能量能量动能：动能：势能：势能：小角：小角：1.旋转矢量法旋转矢量法一一.同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成3-3 简谐振动的合成简谐振动的合成 一一.同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成2.代数法代数法设有两个谐振动设有两个谐振动3-2 简谐振动的合成简谐振动的合成由由 讨论讨论: :合合振振动动仍仍然然是是简简谐谐振振动动，其其频频率率与分振动相同与分振动相同合合振振动动振振幅幅不不但但与与两两分分振振动动的的振振幅有关幅有关，而且与相位差有关而且与相位差有关F 时时(同相同相)F 时时(反相反相)例例7已知两谐振动的曲线已知两谐振动的曲线(如图如图), ,它它们是同频率的谐振动们是同频率的谐振动, ,求它们的合振求它们的合振动方程动方程解：由图知解：由图知1振动在振动在t=0时：时：2振动在振动在t=0时：时：由旋转矢量法由旋转矢量法
