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1、高中数学知识点总结高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A x|y lgx，B y|y lgx，C (x,y)|y lgx，A、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A x|x2 2x 3 0 ，Bx|ax 1若B A，则实数a的值构成的集合为（答：1，0，）3. 注意下列性质：（1）集合 a1，a2，an的所有子集的个数是2n；（2）若A B AB A，AB B；（3）德摩根定律：13C
2、UABCUACUB，CUABCUACUBax5 0的解集为M，若3M且5M，求实数ax2 a4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式的取值范围。（3M，a35 032 aa55 025 a5 a 1， 9，25）35M，5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ()，“且” () 和“非”().若pq为真，当且仅当p、q均为真若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB
3、，是否注意到A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 y x4 xlgx 32的定义域是（答： 0，2 2，3 3，4 ）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是 a，b ，b a 0，则函数F(x) f(x) f(x)的定义域是_。（答： a， a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f令t 2x 1 ex x，求f(x).x 1，则t 0
4、x t 1f(t) et21 t21 x21x 0f(x) ex2112. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）1 x如：求函数 f(x) 2x1x 0的反函数x 0x1x 1）（答：f(x) xx 013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a) = b f(b) af1f(a) f1(b) a，f f1(b) f(a) b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？1（y
5、 f(u)，u (x)，则y f(x)（外层） （内层）当内、外层函数单调性相同时 f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）如：求y log1x 2x 的单调区间22（设u x 2x，由u 0则0 x 2且log1u ，u x 11，如图：222uO12x当x (0，1时，u ，又log1u ，y2当x 1，2)时，u ，又log1u ，y2）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a，b 内，若总有f(x) 0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f(x) 0呢？如：已知a 0，函数f(x) x ax在 1， 上是单调增函数，则 a的最大值是（
6、）A. 0B. 123C. 2D. 3aa（令f(x) 3x a 3x x 033则x a或x 3a3a 1，即a 33由已知f(x)在1， )上为增函数，则a 的最大值为 3）16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若f(x) f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称若f(x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 0。a2x a 2为奇函
7、数，则实数a 如：若f(x) x2 1（f(x)为奇函数，x R，又0 R，f(0) 0a20 a 2 0，a 1）即2012x，又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x) x4 1求f(x)在1，1上的解析式。2x（令x 1，0，则 x 0，1，f(x) x412x2x 又f(x)为奇函数，f(x) x411 4x2xx 4 1又f(0) 0，f(x) x24x117. 你熟悉周期函数的定义吗？x (1，0)x 0x 0，1）（若存在实数T（T 0），在定义域内总有fx T f(x)，则f(x)为周期函数，T 是一个周期。）如：若fxa f(x)，则（答：f(x
8、)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴x a，x b即f(a x) f(a x)，f(b x) f(b x)则f(x)是周期函数，2a b为一个周期如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(x)的图象关于 y轴 对称f(x)与 f(x)的图象关于 x轴 对称f(x)与 f(x)的图象关于 原点 对称f(x)与f1(x)的图象关于 直线y x 对称f(x)与f(2a x)的图象关于 直线x a 对称f(x)与 f(2a x)的图象关于 点(a，0) 对称将y f(x)图象 左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位y f(x a)y f(x a)上移
9、b(b0)个单位y f(x a) by f(x a) b下移b(b0)个单位注意如下“翻折”变换：f(x) f(x)f(x) f(|x|)如：f(x) log2x 1作出y log2x1及y log2x1的图象yy=log2xO1x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y=bO(a,b)Oxx=a（1）一次函数：y kx bk 0（2）反比例函数：y 的双曲线。kkk 0 推广为y b k 0是中心O(a，b)xx a2b 4ac b2（3）二次函数y ax bx ca 0 ax 图象为抛物线2a4a2b4ac b2b，对称轴x 顶点坐标为4a2a2a开口方向：a 0，向上，函数
10、ymin4ac b24aa 0，向下，ymax4ac b24a应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2 bx c 0， 0时，两根x1、x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式 ax2 bx c 0 ( 0)解集的端点值。求闭区间m，n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。 0b2如：二次方程ax bx c 0的两根都大于k k2af(k) 0y(a0)Okx1x2x一根大于k，一根小于k f(k) 0（4）指数函数：y axa 0，a 1（5）对数函数y logax a 0，a 1由图象记
11、性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a1)(0a1)1O1x(0a1e=1P0e1Fkx2y2x2y269. 与双曲线22 1有相同焦点的双曲线系为22 0abab70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？0 的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在0 下进行。）弦长公式P1P21 kx21 x24x1x221 212y1 y2 4y1y2k71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：yP(x0,y0)KF1OF2xlx2y222 1aba2 e， PF2 ex0 ex0 aPKc PF1 ex0 aPF2yAP2OFxP1B2y 2pxp
12、 0通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如：椭圆mx ny 1与直线 y 1 x 交于M、N两点，原点与MN中点连22线的斜率为2m，则的值为2n答案：m2n273. 如何求解“对称”问题？（1）证明曲线C：F（x，y）0 关于点 M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C 上任意一点，设 A（x，y）为 A 关于点 M 的对称点。（由a x xy y，b x 2a x，y 2b y）22只要证明A 2a x，2b y 也在曲线C上，即f(x) y（2）点A、A关于直线l 对称 AAlAA中点在 l上kAAkl 1AA中点坐标满足 l 方程x rcos74. 圆x y r 的参数方程为（为参数）y rsin222x acosx2y2椭圆22 1的参数方程为（为参数）y bsinab75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）76. 对线性规划问题： 作出可行域， 作出以目标函数为截距的直线， 在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
