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1、二二阶阶系系统统数学模型数学模型二二阶系系统的微分方程一般式的微分方程一般式为：二二阶阶系系统统的反的反馈结馈结构构图图二二阶阶系系统统的的传递传递函数函数开开环传递函数：函数：闭环传递函数：函数：二二阶系系统的特征方程的特征方程为解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。 s1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参数。两个参数。q此此时s1,s2为一一对共共轭复复根，且位于根，且位于复平面的左复平面的左半部。半部。特征根分析 （欠阻尼）典型典型二二阶系系统的的暂态特性特性特征根分析（过阻尼）q此此时s1,s2为两个两个负实根，
2、且根，且位于复平位于复平面的面的负实轴上。上。特征根分析（临界阻尼）q此此时s1,s2为一一对相等的相等的负实根。根。 s1=s2= =- n特征根分析（无阻尼）q此此时s1,s2为一一对纯虚根，虚根，位于虚位于虚轴上。上。qS1,2= j n特征根分析（负阻尼）q此此时s1,s2为一一对实部部为正的共正的共轭复复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。特征根分析（负阻尼）q此此时s1,s2为两个正两个正实根，根，且位于复平且位于复平面的正面的正实轴上。上。二阶系统单位阶跃响应1. 过阻尼阻尼 二二阶系系统的的单位位阶跃响响应取C(s)拉氏反变换得：由得过阻尼系统单位阶跃响应与一阶系统
3、阶跃响应的比较t tc(t)c(t)0 0二二阶过阻尼系阻尼系统一一阶系系统响响应1 1过阻尼二阶系统分析衰减衰减项项的的幂幂指数的指数的绝对值绝对值一个大，一个小。一个大，一个小。绝对绝对值值大的离虚大的离虚轴远轴远，衰减速度快，衰减速度快，绝对值绝对值小的离虚小的离虚轴轴近，衰减速度慢；近，衰减速度慢；（指数关系）（指数关系）衰减衰减项前的系数一个大，一个小；前的系数一个大，一个小；二二阶过阻尼系阻尼系统的的动态响响应呈非周期性，没有振呈非周期性，没有振荡和超和超调，但又不同于一，但又不同于一阶系系统；离虚离虚轴近的极点所决定的分量近的极点所决定的分量对响响应产生的影响生的影响大，离虚大，
4、离虚轴远的极点所决定的分量的极点所决定的分量对响响应产生的生的影响小，有影响小，有时甚至可以忽略不甚至可以忽略不计。过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析对于于过阻尼二阻尼二阶系系统的响的响应指指标，只着重，只着重讨论 ，它反映了系它反映了系统响响应过渡渡过程的程的长短，是系短，是系统响响应快快速性的一个方面，但确定速性的一个方面，但确定 的表达式是很困的表达式是很困难的，的，一般取相一般取相对量量 及及 经计算机算机计算后制算后制成曲成曲线或表格。或表格。2.欠阻尼欠阻尼 二二阶系系统的的单位位阶跃响响应欠阻尼欠阻尼二二阶系系统单位响位响应系系统的的输出出拉氏反拉氏反变换得：得：欠阻尼二阶系统输出分
5、析q二二阶欠阻尼系欠阻尼系统的的单位位阶跃响响应由由稳态分分量和量和暂态分量分量组成。成。稳态分量分量值等于等于1，暂态分量分量为衰减衰减过程，振程，振荡频率率为d。右图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线根据右图分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响平平稳稳性（性（ ）结论： 越大，越大，d越小，幅越小，幅值也越小，响也越小，响应的的振振荡倾向越弱，超向越弱，超调越小，平越小，平稳性越好。反之，性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振越大，振荡越越严重，平重，平稳性越差。性越差。当当 0时，为零阻尼响零阻尼响应，具有，具有频率率为 的不的不衰减（等幅）振衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量的关系
6、曲线在在 一定的情况下，一定的情况下， 越大，振越大，振荡频荡频率率 也也越高，响越高，响应应平平稳稳性也越性也越差。差。结论：对于欠阻尼二于欠阻尼二阶系系统而言，而言， 大，大， 小，小，系系统响响应的平的平稳性好。性好。快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。总结： 越大，调节时间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。 稳态稳态精度精度从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。补充说明：稳态分量（steady state comp
7、onent）即周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，电路中所出现的与激励周期相同的响应分量。瞬态分量（transient component）周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，从全响应中减去稳态分量的剩余部分。稳态分量就是时间趋向正无穷，也就是电路稳定时的量。瞬态分量就是开关打开或闭合后瞬时值。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升上升时间 ：令 ，则所以：根据极根据极值定理有：定理有：该项不可能不可能为零零2.峰峰值时间：取n=1得:3.超超调量：量：将峰值时间 代入下式得: 所以:4.调节时间写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。
8、当阻尼比 时二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系由阻尼比判断一个二阶系统的暂态品质：过阻尼时，单调线性，无超调，无振荡，时间长。小于等于零时，有等幅振荡或发散振荡，系统不稳。一般欠阻尼工作。阻尼比过小，超调量大，振荡次数多，调节时间长，品质差。最大超调量只与阻尼比有关，由其来选择阻尼比。调节时间与阻尼比和自然振荡角频率的乘机成反比。阻尼比在之间，此时超调量在1.5%-25% 三、 改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例微分控制差信号的比例微分控制 系统开环传函为：闭环传函为：等效阻尼比：可可见，引入了比例微分控制，使系，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比的等效阻尼比加大了，从而抑制了
9、振加大了，从而抑制了振荡，使超，使超调减弱，可以改善系减弱，可以改善系统的平的平稳性。微分作用之所以能改善性。微分作用之所以能改善动态性能，因性能，因为它它产生一种早期控制（或称生一种早期控制（或称为超前控制），能在超前控制），能在实际超超调量出来之前，就量出来之前，就产生一个修正作用。生一个修正作用。前面图的相应的等效结构由此知道：和 及 的大致形状如下一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。总结：引入：引入误差信号的比例微分控制，能否真正差信号的比例微分控制，能否真正改善二
10、改善二阶系系统的响的响应特性，特性，还需要适当需要适当选择微分微分时间常数常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有具有过阻尼的形式，而阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保零点的微分作用，将在保证响响应特性平特性平稳的情况下，的情况下，显著地提高系著地提高系统的快速性。的快速性。2.输出量的速度反出量的速度反馈控制控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。闭环传函为：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。3.比例微分控制和速度反比例微分控制和速度反馈控制比控制比较从实现角
11、度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。四、二四、二阶系系统举例例2 2q设位置随位置随动系系统，其，其结构构图如如图所示，当所示，当给定定输入入为单位位阶跃时，试计算放大器增益算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响出位置响应特性的性能指特性的性能指标：峰：峰值时间tp，调节时间ts和超和超调量量，并分析比，并分析比较之。之。例例题解析解析(1)输输入：入：单单位位阶跃阶跃闭环传递函数：函数：例例题解析解析(2)当当KA 200时系系统的的闭环传递函数：函数：与与标准的二准的二阶系系统传递函数函数对照得：照得：例例题解析解析(3)当当KA 1500时系系统的的闭环传递函数：函数：与与标准的二准的二阶系系统传递函数函数对照得：照得：例例题解析解析(4)当当KA 13.5时系系统的的闭环传递函数：函数：与与标准的二准的二阶系系统传递函数函数对照得：照得：无无系系统统在在单单位位阶跃阶跃作用下的响作用下的响应应曲曲线线
