《数理方程与特殊函数：贝塞尔函数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数：贝塞尔函数的应用（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1本次课主要内容本次课主要内容贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用(二二)、贝塞尔函数的应用、贝塞尔函数的应用(一一)、贝塞尔函数的正交性、贝塞尔函数的正交性2回顾：回顾：1、贝塞尔函数的递推公式、贝塞尔函数的递推公式 3 2、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点 关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：(1)、J n (x)有无穷多个单重零点，且在有无穷多个单重零点，且在x轴上关于原轴上关于原点对称；点对称；(3)、若设贝塞尔函数、若设贝塞尔函数J n (x)的第的第m个正零点为：个正零点为： 则：则：(2)、J n (x)与与Jn+1(x)的零点彼此相间分布；的零点彼
2、此相间分布；说明说明J n (x)几乎是一个几乎是一个2周期函数周期函数.注：注：贝贝塞塞尔尔函数零点可以函数零点可以查查表表获获取。取。4(一一)、贝塞尔函数的正交性、贝塞尔函数的正交性1、贝塞尔函数的正交性定理、贝塞尔函数的正交性定理正交性定理：正交性定理：n阶贝塞尔函数系阶贝塞尔函数系具有正交性，即：具有正交性，即：证明：令：证明：令：5考虑考虑n阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：则如下等式成立：则如下等式成立：6两式分别乘以两式分别乘以F2和和F1后相减，并对后相减，并对r从从0到到R积分积分后得：后得：在在*上式中，取：上式中，取：则：则：所以：所以：7下面计算下面计算当当 时，由时，由*
3、得：得：在在*中，令：中，令：8由于由于所以所以*化为：化为：当当 时，由洛比达法则得：时，由洛比达法则得：9又由递推公式又由递推公式和和 得：得：所以得到：所以得到：由此证明了正交性定理。由此证明了正交性定理。10定义：定积分：定义：定积分： 的平方根的平方根 称为贝塞尔称为贝塞尔函数函数 的模。的模。2、贝塞尔级数展开定理、贝塞尔级数展开定理定理：设定理：设 在区间在区间0,R上至多有有限个跳跃间上至多有有限个跳跃间断点，则断点，则f(x)在在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛于该点的连续点处的贝塞尔级数收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。函数值，在间断点处收敛于该点
4、左右极限的平均值。11例例5、设、设w n (n=1,2,)为零阶贝塞尔函数的所有正根为零阶贝塞尔函数的所有正根.将将函数函数f (x)=1-x2(0x1)展为零阶贝塞尔函数级数形式展为零阶贝塞尔函数级数形式.解：由展开定理：解：由展开定理：令：令： ，则：，则：1213所以，展开式为：所以，展开式为：(二二)、贝塞尔函数的应用、贝塞尔函数的应用例例2 设有半径为设有半径为b,高为高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持零的均匀圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为度，上底温度分布为r2，求圆柱内的稳定温度温度分布规律，求圆柱内的稳定温度温度分布规律. 解：问题具有园对称，所以在解：问题具有园对
5、称，所以在 柱坐标下，定解问题为：柱坐标下，定解问题为：14采用分离变量法求解采用分离变量法求解(1)、变量分离、变量分离得：得：15得：得：(2)、求固有值问题、求固有值问题这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：16注意到：注意到：得：得：于是得：于是得：另一个常微分方程的解为：另一个常微分方程的解为：174.一般解为：一般解为：由条件：由条件：18于是得：于是得：所以，按贝塞尔函数展开定理得：所以，按贝塞尔函数展开定理得：19下面计算：下面计算：2021由递推公式得：由递推公式得：所以，所以，22所以，定解问题的解为：所以，定解问题的解为：23采用分离变量法求解采用分离变量法求解(1)、变量分离、变量分离例例3，求定解问题，求定解问题24得：得：(2)、求固有值问题、求固有值问题这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：这是一个零阶贝塞尔方程问题，其通解为：25注意到：注意到：得：得：于是得：于是得：另一个常微分方程的解为：另一个常微分方程的解为：264.一般解为：一般解为：由初始条件：由初始条件：27于是得：于是得：28作业作业P198习题习题7.3第第1，2, 3题题29Thank You !
