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1、04_01_布洛赫定理 能带理论第四章 能带理论 能带理论能带理论 研究固体中电子运动的主要理论基础研究固体中电子运动的主要理论基础 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 晶体中电子的平均自由程远大于原子的间距晶体中电子的平均自由程远大于原子的间距 解释导体解释导体_非导体的区别非导体的区别 半导体物理的基础半导体物理的基础_推动半导体技术发展推动半导体技术发展04_01_布洛赫定理 能带理论能带理论能带理论 单电子近似的理论单电子近似的理论单电子近似单电子近似 最早用于研究多电子原子最早用于研究多电子原子 哈特里福克哈特里福克自洽场方法自洽场方法能带理
2、论的出发点能带理论的出发点 电子不再束缚于个别的原子电子不再束缚于个别的原子 而在整个固体内运动而在整个固体内运动 共有化电子共有化电子每个电子的运动每个电子的运动 看成在一个看成在一个等效势场等效势场中的运动中的运动04_01_布洛赫定理 能带理论共有化电子的运动状态共有化电子的运动状态理想晶体理想晶体 晶格具有周期性晶格具有周期性_等效势场具有周期性等效势场具有周期性 电子在晶格周期性的等效势场中运动电子在晶格周期性的等效势场中运动波动方程波动方程晶格周期性势场晶格周期性势场 假定原子实处在平衡位置假定原子实处在平衡位置 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
3、04_01_布洛赫定理 能带理论一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理* 第一步简化第一步简化 绝热近似绝热近似 离子实质量比电子大离子实质量比电子大_运动慢运动慢 离子固定离子固定在瞬时位置上在瞬时位置上* 第二步简化第二步简化 利用利用哈特里一福克自治场哈特里一福克自治场方法方法 多电子问题简化为单电子问题多电子问题简化为单电子问题 每个电子在离子势场每个电子在离子势场 和其它电子的和其它电子的平均场平均场中运动中运动04_01_布洛赫定理 能带理论* 第三步简化第三步简化 周期性势场周期性势场 所有离子势场所有离子势场 和其它电子的平
4、均场是和其它电子的平均场是周期性势场周期性势场 04_01_布洛赫定理 能带理论三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 将将电子的波函数电子的波函数代入薛定谔方程代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的确定展开式中的系数应满足的久期方程久期方程 求解久期方程得到求解久期方程得到能量本征值能量本征值04_01_布洛赫定理 能带理论 电子波函数的计算电子波函数的计
5、算 根据能量本征值确定电子波函数的系数根据能量本征值确定电子波函数的系数 得到具体的波函数得到具体的波函数 在不同的能带计算模型和方法中在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同采取的理论框架相同 只是选取不同的函数集合只是选取不同的函数集合04_01_布洛赫定理 能带理论 能带理论的局限性能带理论的局限性 一些过渡金属化合物晶体一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小价电子的迁移率小 自由程与晶格常数相当自由程与晶格常数相当_电子不为原子所共有电子不为原子所共有 周期场失去意义周期场失去意义_能带理论不适用能带理论不适用 * 非晶态固体非晶态固体 非晶态固体和液态金属为短程有序非晶态固
6、体和液态金属为短程有序 电子能谱不是长程序的周期场的结果电子能谱不是长程序的周期场的结果04_01_布洛赫定理 能带理论 电子与电子之间的作用电子与电子之间的作用 电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替 金属中的价电子系统金属中的价电子系统_不能用电子气来描述了不能用电子气来描述了 必须把价电子系统看成量子液体必须把价电子系统看成量子液体 电子与晶格之间的作用电子与晶格之间的作用 电子和晶格相互作用电子和晶格相互作用_引起晶格畸变引起晶格畸变 电子带着这种畸变一起前进的电子带着这种畸变一起前进的 电子不再是在周期场中的运动电子不再是在周期场中的运动04
7、_01_布洛赫定理 能带理论04_01 布洛赫定理布洛赫定理 方程的解具有以下性质方程的解具有以下性质 布洛赫定理布洛赫定理布洛赫定理布洛赫定理 势场势场 具有晶格周期性时具有晶格周期性时 电子的波函数满足薛定谔方程电子的波函数满足薛定谔方程04_01_布洛赫定理 能带理论 布洛赫定理布洛赫定理为一矢量为一矢量 当平移晶格矢量当平移晶格矢量 波函数增加相位因子波函数增加相位因子晶格周期性函数晶格周期性函数电子的波函数电子的波函数 布洛赫函数布洛赫函数04_01_布洛赫定理 能带理论 布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明 引入引入平移算符平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易证明平移算符与哈密顿算符
8、对易 两者具有相同的本征函数两者具有相同的本征函数 利用周期性边界条件利用周期性边界条件 确定确定平移算符的本征值平移算符的本征值 得出得出电子波函数电子波函数的形式的形式 04_01_布洛赫定理 能带理论 势场的周期性反映了晶格的平移对称性势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量晶格平移任意矢量 势场不变势场不变引入描述引入描述平移对称操作的算符平移对称操作的算符平移晶格矢量平移晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符04_01_布洛赫定理 能带理论作用于任意函数作用于任意函数 平移算符作用于周期性势场平移算符作用于周期性势场 平移算符平移算符 的性质的性质04_01_布洛赫定理 能带
9、理论 各平移算符之间对易各平移算符之间对易任意函数任意函数04_01_布洛赫定理 能带理论 平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和 微分结果一样微分结果一样04_01_布洛赫定理 能带理论 平移算符的平移算符的本征值本征值T和和H存在对易关系存在对易关系 具有共同本征函数具有共同本征函数周期性边界条件周期性边界条件04_01_布洛赫定理 能带理论对于对于对于对于对于对于 整数整数04_01_布洛赫定理 能带理论 引入矢量引入矢量 倒格子基矢倒格子基矢平移算符的本征值平移算符的本征值04_01_布洛赫定理 能带理论将将 作用于电子波函数作用于电子波函数平移算符的
10、本征值平移算符的本征值04_01_布洛赫定理 能带理论 布洛赫定理布洛赫定理电子的波函数电子的波函数满足布洛赫定理满足布洛赫定理 晶格周期性晶格周期性 布洛赫函数布洛赫函数04_01_布洛赫定理 能带理论 平移算符本征值的物理意义平移算符本征值的物理意义 1) 原胞之间电子原胞之间电子 波函数相位的变化波函数相位的变化2) 平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数 简约波矢简约波矢 不同的简约波矢不同的简约波矢_原胞之间的相差不同原胞之间的相差不同04_01_布洛赫定理 能带理论3) 简约波矢改变一个倒格子矢量简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值平移算符的本征值 布洛赫定理布洛赫定理 本征值相同本征值相同04_01_布洛赫定理 能带理论为了使简约波矢为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应的取值和平移算符的本征值一一对应简约波矢简约波矢第一布里渊区体积第一布里渊区体积 取值限制第一布里渊区取值限制第一布里渊区04_01_布洛赫定理 能带理论简约波矢简约波矢 在在 空间中第一布里渊区均匀分布的点空间中第一布里渊区均匀分布的点每个代表点的体积每个代表点的体积状态密度状态密度简约布里渊区的波矢数目简约布里渊区的波矢数目固体体积固体体积
