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1、席位分配席位分配系系别别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例(%)20个席位的分配个席位的分配比例分配的席位比例分配的席位参照惯例的结果参照惯例的结果甲甲10351.510.310乙乙6331.56.36丙丙3417.03.44总和总和200100.020.020仍按比例仍按比例(表中第表中第3列列)分配席位时出现了小数分配席位时出现了小数(表中第表中第4列列),在将取得整数的在将取得整数的19席分配完毕后席分配完毕后,三系同意剩下的三系同意剩下的1席参照席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系所谓惯例分给比例中小数最大的丙系,于是三系仍分别占于是三系仍分别占有有10,6,4席席(表中第
2、表中第5列列). 建立了衡量分配不公平程度的数量指标建立了衡量分配不公平程度的数量指标 后后,选选择席位分配方案的原则是使相对不公平度尽可能的小。择席位分配方案的原则是使相对不公平度尽可能的小。 下面讨论在已有分配方案的情况下增加下面讨论在已有分配方案的情况下增加1席时的分席时的分配方案。配方案。假设假设A,B两方分别占有两方分别占有 和和 席。当总席位增加席。当总席位增加1席席时时,利用相对不公平度利用相对不公平度 和和 讨论应分配给讨论应分配给A还是还是B. 不失一般，可设不失一般，可设即对即对A不公平不公平.当再分配当再分配1个席位时，可能有以下个席位时，可能有以下3种情况：种情况：三、
3、试用新指标三、试用新指标1、尝试给、尝试给A方，出现方，出现这说明即使这说明即使A方增加方增加1席席,仍然对仍然对A不公平不公平,所以这一席所以这一席显然应分给显然应分给A方方.2、尝试给、尝试给A方，出现方，出现 即即A方增加方增加1席时将变为对席时将变为对B方不公平方不公平,参照参照(2)式可式可计算出对计算出对B的相对不公平度为的相对不公平度为(3)3 、尝试给、尝试给B方，出现方，出现 即给即给B方增加方增加1席时，对席时，对A不公平。参照不公平。参照(1)式可计算式可计算出对出对A的相对不公平度为的相对不公平度为(4)不可能出现不可能出现 的情况的情况. 公平分配席位的原则是使得相对
4、不公平度尽可能地公平分配席位的原则是使得相对不公平度尽可能地小小,所以如果所以如果则，给则，给B对对A造成更大的不公平，这造成更大的不公平，这1席应分给席应分给A方方;反反之之则分给则分给B方。方。(5)为两方分配席位的原则是选择不公平尽可能地小的方案为两方分配席位的原则是选择不公平尽可能地小的方案 可以举出实例：席位分配起初对可以举出实例：席位分配起初对A不公平。新加不公平。新加1席，席，如果给如果给A ，会对，会对B造成较大的不公平，所以，最后还是给造成较大的不公平，所以，最后还是给了了B方。方。 例：例：p1=11,n1=2，每，每5.5个人拥有一个席位。个人拥有一个席位。 p2=100
5、, n2=20 ，每，每5个人拥有一个席位。个人拥有一个席位。 p1/n1p2/n2对对A方不公平。试给方不公平。试给A方加方加1席，因为席，因为 p1/(n1+1)p2/n2 即即11/3p2/(n2+1), 即即 11/2100/21 所以对所以对A方不公平。相对不公平度为方不公平。相对不公平度为 rA =p1*(n2+1)/p2*n1 - 1=0.155=15/100显然，对显然，对B造成的不公平更大。于是，席位还是分给造成的不公平更大。于是，席位还是分给B方。方。四、新指标使用方法的改进四、新指标使用方法的改进(6)改进判别方法改进判别方法 根据根据(3),(4)两式两式,(5)式等价
6、于式等价于，即，即(3)(4)添加一席的公平分配为添加一席的公平分配为给与给与A(5) (6)式的意义在于：增加式的意义在于：增加1席该给谁时，分别独立计算席该给谁时，分别独立计算两方各自的数据，席位给与数值较大的一方两方各自的数据，席位给与数值较大的一方.p1/(n1+1)p2/n2 时时两边平方，保持不等式方向两边平方，保持不等式方向p12/(n1+1)2p22/n22左边分母变小，右边分母变大，依然保持方向左边分母变小，右边分母变大，依然保持方向p12/n1(n1+1)p22/n2(n2+1)对于对于 p1/(n1+1)p2/n2(席位该给席位该给A)的情形也可统一为的情形也可统一为(6
7、)式式证明：证明： m方分配席位的情况方分配席位的情况记记则增加的则增加的1席应分给席应分给Q值较大的一方值较大的一方. 上述方法可以推广到有上述方法可以推广到有m m方分配席位的情况方分配席位的情况. .设第设第i i方方人数为人数为pi,pi,已占有已占有n ni i个席位个席位,i=1,2,m.,i=1,2,m.当总席位增加当总席位增加1 1席时席时, ,计算计算(7)两两比较后，较大一方做种子又与下一方比较，较大一方两两比较后，较大一方做种子又与下一方比较，较大一方做种子再与下一方比较，如此类推，最终做种子再与下一方比较，如此类推，最终把席位分给把席位分给Q值值最大的一方最大的一方.这
8、种席位分配方法称为这种席位分配方法称为Q值法值法.先按照比例计算先按照比例计算，将整数部分的，将整数部分的19席分配完毕席分配完毕,有有然后然后再用再用Q值方法值方法分配第分配第20席和第席和第21席席.第第20席席:计算计算Q1最大最大于是这一席应分给甲系于是这一席应分给甲系.下面用下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配配21个席位的问题个席位的问题.这样这样,21个席位的分配结果是三系分别占有个席位的分配结果是三系分别占有11,6,4席席,丙丙系保住了险些丧失的系保住了险些丧失的1席席.你觉得这种分配方法公平吗？你觉得这种分配方法公平吗？同上
9、同上.Q3最大最大,于是这一席应分给丙系于是这一席应分给丙系.第第21席席:计算计算席位分配表席位分配表系系别别学学生生人人数数学生学生人数人数的比的比例例(%)前前19席席的的分分配配第第20个席个席位的分配位的分配第第21个席个席位的分配位的分配比例分比例分配的席配的席位位惯惯例例Q值值法法按比例分按比例分配的席位配的席位惯例惯例Q值值法法 甲甲10351.51010.3101110.8151111乙乙6331.566.3666.61576丙丙3417.033.4433.57034总总和和200100.01920.0202021.0002121五、存在公平的分配方法吗五、存在公平的分配方法
10、吗 在发现了在发现了”比例加惯例比例加惯例”分配方法的弊端之后分配方法的弊端之后,按照相按照相对不公平度最小的原则对不公平度最小的原则,提出了提出了Q值方法。如果承认相对值方法。如果承认相对不公平度是衡量公平分配的合理指标不公平度是衡量公平分配的合理指标,那么那么Q值法就是好值法就是好的方法的方法.但是但是,还可以有其它衡量公平指标及分配方法还可以有其它衡量公平指标及分配方法(如习如习题题1),所以有人想到所以有人想到,能否先提出一些人们公认的衡量公平能否先提出一些人们公认的衡量公平分配的理想化原则分配的理想化原则,然后看看有哪些方法满足这些原则然后看看有哪些方法满足这些原则. 设第设第i i
11、方人数为方人数为p pi i,i=1,2,m,i=1,2,m,总人数总人数 , ,待待分配的席位为分配的席位为N, qN, qi i=N*(p=N*(pi i/P)/P)为按比例的席位数为按比例的席位数,n,ni i为理想为理想化的席位数。化的席位数。是是N和和pi的函数的函数,记记分别为分别为向左取整和向右取整。向左取整和向右取整。原则一原则一二者之一二者之一不应减少不应减少.原则二原则二即总席位增加即总席位增加1时，时，按比例分配原则按比例分配原则保持原有分配状态（照顾既得利益）保持原有分配状态（照顾既得利益） “比例加惯例比例加惯例”的方法显然满足原则一，但是前面的的方法显然满足原则一，
12、但是前面的例子说明它不满足原则二。例子说明它不满足原则二。 对于教材中的例题对于教材中的例题,Q值法在第值法在第20席的分配上即不席的分配上即不满足原则一。满足原则一。 令人遗憾的是令人遗憾的是,没有找到同时满足这两个原则的分配方没有找到同时满足这两个原则的分配方法法.评注评注 寻求公平分配席位方法的关键寻求公平分配席位方法的关键,是建立衡量公平程度是建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标的既合理又简明的数量指标,本模型提出的指标是相对不公本模型提出的指标是相对不公平度平度,在这个前提下得到的在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的值方法应该是公平的,但是但是,如如果跳出这个前提果跳出这个前提,站得更高些站得更高些,提出所谓公平分配的理想化提出所谓公平分配的理想化原则原则,那么这个问题还远未解决那么这个问题还远未解决.不应减少不应减少.原则三原则三即总席位增加即总席位增加1时，时，保持原有分配状态（照顾既得利益）保持原有分配状态（照顾既得利益）会不会出现两个会不会出现两个Q值一样最大？此时如何分配？值一样最大？此时如何分配？我提了一个问题我提了一个问题一个同学提的问题：一个同学提的问题：
