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1、第八节空间向量的应用第八节空间向量的应用(一一)第八章立体几何与空间向量第八章立体几何与空间向量考考 纲纲 要要 求求理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作作直线直线aa，bb，a，b所成的角的大小与点所成的角的大小与点O的选择无关，的选择无关，把把a，b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫
2、异面直线叫异面直线a，b所成的角所成的角(或夹角或夹角)为了简便起见，点为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上通常取在异面直线的一条上2异面直线所成的角的取值范围：异面直线所成的角的取值范围： .3求异面直线所成的角的方法：求异面直线所成的角的方法：几何法；几何法；向量法向量法 二、直线和平面所成的角二、直线和平面所成的角 1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角所成的角 特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于
3、平面或在平面内，规定它们所成的角角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为为0角角 2直线和平面所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围： .三、二面角三、二面角1定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为，两个面分别为，的二面角的二面角记为记为-l-.2二面角的平面
4、角二面角的平面角(1)过二面角的棱上的一点过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的分别在两个半平面内作棱的两条垂线两条垂线OA，OB，则，则AOB叫做二面角叫做二面角-l-的平面角的平面角(2)一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角-l-的棱的棱l，且与两半平面交，且与两半平面交线分别为线分别为OA，OB，O为垂足，则为垂足，则AOB就是就是-l-的平面角的平面角说明：说明：二面角的平面角范围是二面角的平面角范围是0，；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直直二面角的两个平面互相垂直3二面角大小的求法：二面角大
5、小的求法：几何法；几何法；向量法向量法4求二面角的射影公式：求二面角的射影公式：cos ，其中各个符号的含义是：其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形是二面角的一个面内图形F的面积，的面积，S是图形是图形F在二面角的另一个面内的射影，在二面角的另一个面内的射影，是二面是二面角的平面角大小角的平面角大小. 基础自测基础自测1(2012滨州市模拟滨州市模拟)如图所示，在三棱柱如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AA1底面底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点，点E，F分别是棱分别是棱AB，BB1的中点，则直线的中点，则直线EF和和BC1所成所成的角是的角是()A45 B60
6、C90 D1202已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或或135 D903(2011怀化市模拟怀化市模拟)如图，在直三棱柱中，如图，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，侧棱，侧棱AA1 ，M为为A1B1的中点，则的中点，则AM与平面与平面AA1C1C所成角的正切值为所成角的正切值为_4如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知中，已知AB4，AD3，AA12.E，F分别是线段分别是线段AB，BC上的点，且上的点，且EBFB1.则：则：(1)二面角
7、二面角CDEC1的余弦值为的余弦值为_；(2)直线直线EC1与与FD1所成角的余弦值所成角的余弦值_.考考 点点 探探 究究考点一考点一求异面直线所成的角求异面直线所成的角【例【例1】 (2011上海卷改编上海卷改编)已知已知ABCD-A1B1C1D1是是底面边长为底面边长为1的正四棱柱，高的正四棱柱，高AA12，求：，求：(1)异面直线异面直线BD与与AB1所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)四面体四面体AB1D1C的体积的体积思路点拨：思路点拨：建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的取值范围解，注意角的取值范围点评：点评：异面直线所成角的取值
8、范围是异面直线所成角的取值范围是(0，90，若异面，若异面直线直线a，b的方向向量为的方向向量为m，n，异面直线，异面直线a，b所成角为所成角为，则，则cos |cosm，n|.解题过程是：解题过程是：建系；建系；求点坐标；求点坐标；表示向量；表示向量；计算计算变式探究变式探究 1(2011天津卷天津卷)如图所示，在三棱柱如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，H是正方形是正方形AA1B1B的中心，的中心，AA12 ，C1H平面平面AA1B1B，且，且C1H . (1)求异面直线求异面直线AC与与A1B1所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)求二面角求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
9、的正弦值； (3)设设N为棱为棱B1C1的中点，点的中点，点M在在平面平面AA1B1B内，且内，且MN平面平面A1B1C1，求线段求线段BM的长的长考点二考点二求线面角求线面角斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再影因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量
10、，设和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线为直线l与平面与平面所成的角，所成的角，为直线为直线l的方向向量的方向向量v与平面与平面的法向量的法向量n之间的夹角，则有之间的夹角，则有 或或 ，如图所示，如图所示特别地特别地0时，时， ，l； 时，时，0，l 或或l. 【例【例2】(2011全国卷全国卷)如图，四棱锥如图，四棱锥S-ABCD中，中，ABCD，BCCD，侧面，侧面SAB为等边三角形为等边三角形ABBC2，CDSD1. (1)证明：证明：SD平面平面SAB； (2)求求AB与平面与平面SBC所成的角所成的角的大小的正弦值的大小的正弦值解析：(法一)(1)取AB中点E，连接DE，则四边形B
11、CDE为矩形，DECB2.连接SE，则SEAB，SE .又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB，SE都垂直SD平面SAB.(法二)以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0)又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.变式探究变式探究2(2012大连市模拟大连市模拟)如图，已知正方形如图，已知正方形OBCD所在平面所在平面与等腰直角三角形与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，OAOD4，点，
12、点E为为CD的中点线段的中点线段AD上存在一点上存在一点M，使，使BM与平面与平面AEB所成所成角的正弦值为角的正弦值为 ，则此时，则此时 _.解析：解析：依题意知平面依题意知平面OBCD平面平面AOD，OBOD，OB平面平面AOD，得，得OBOA.又又AOOD，OBOD，如图，以如图，以O为原点，建立空间直角坐标系为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，考点三考点三求二面角的大小求二面角的大小1几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题，几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题，要掌握以下三种基本方法：要掌握以下三种基本方法：(1)直接利用定义，如图直接利用定义，如图.(2)利用三垂
13、线定理及其逆定理，如图利用三垂线定理及其逆定理，如图.(3)作棱的垂面，如图作棱的垂面，如图.另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角2向量法：向量法：(1)从平面的法向量考虑，设从平面的法向量考虑，设 n1，n2分别分别为平面为平面，的法向量，二面角的法向量，二面角-l-的大小为的大小为，向量，向量 n1，n2的夹角为的夹角为，则有，则有或或 ，如图所示，如图所示(2)如果如果AB，CD分别是二面角分别是二面角-l-的两个面内与棱的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为垂直的异面直线，则二面角的大小为 【例【例3】(2012青岛
14、市期末青岛市期末)已知四边形已知四边形ABCD满足满足ADBC，BAADDC BCa，E是是BC的中点，将的中点，将BAE沿着沿着AE翻折成翻折成B1AE，使平面，使平面B1AE平面平面AECD，F为为B1D的中点的中点(1)求四棱锥求四棱锥B1-AECD的体积；的体积；(2)证明：证明：B1E平面平面ACF；(3)求平面求平面ADB1与平面与平面ECB1所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值(2)证明：证明：连接连接ED交交AC于于O，连接，连接OF，四边形四边形AECD为菱形，为菱形，OEOD.又又F为为B1D的中点，的中点，FOB1E，又，又B1E 平面平面ACF，FO 平面平面ACF，B
15、1E平面平面ACF.变式探究变式探究3(2012惠州市调研惠州市调研)如图，四边形如图，四边形ABCD为矩形，且为矩形，且AD2，AB1，PA平面平面ABCD，E为为BC上的动点上的动点(1)当当E为为BC的中点时，求证：的中点时，求证：PEDE.(2)设设PA1，在线段，在线段BC上存在这样的点上存在这样的点E，使得二面角，使得二面角P-ED-A的平面角大小为的平面角大小为 ，试确定点，试确定点E的位置的位置证明：证明：(法一法一)(1)当当E为为BC的中点时，的中点时，ECCD1，从，从而而DCE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则则DEC45，同理可得，同理可得AEB45，AED90.
16、于是于是DEAE，又又PA平面平面ABCD，且，且DE 平面平面ABCD，PADE.又又AEPAA，DE平面平面PAE.又又PE 平面平面PAE，DEPE.(2) 如图，过如图，过A作作AQDE于于Q，连接，连接AE，PQ，则，则PQDE，(法二法二)向量方法以向量方法以A为原点，为原点，AB，AD，AP所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图轴，建立空间直角坐标系，如图所示所示课时升华课时升华课时升华课时升华1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解向量的夹角来计算的，对空间
17、各种角概念必须深刻理解平行和垂直可以看成是空间角的特殊情况平行和垂直可以看成是空间角的特殊情况2. 几何法在书写上体现：几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出作出来、证出来、指出来、算出来、答出来来、算出来、答出来”五步五步3向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算夹角公式计
18、算.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考 2(2012福建卷福建卷)如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1AD1，E为为CD中点中点 (1)求证：求证：B1EAD1. (2)在棱在棱AA1上是否存在一点上是否存在一点P，使得使得DP平面平面B1AE？若存在，？若存在，求求AP的长；若不存在，说明理由的长；若不存在，说明理由 (3)若二面角若二面角A-B1E-A1的大小为的大小为30，求求AB的长的长高考预测高考预测1(2012厦门市模拟厦门市模拟)如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P-ABCD的底的底面面ABCD是边长为是边长为1的菱形，的菱形，BCD60，E是是
19、CD的中点，的中点，PA底面底面ABCD，PA .(1)证明：平面证明：平面PBE平面平面PAB；(2)求二面角求二面角A-BE-P的大小的大小解析：解析：(法一法一)(1)连接连接BD，由，由ABCD是菱形且是菱形且BCD60知，知，BCD是等边三角形因为是等边三角形因为E是是CD的中点，所以的中点，所以BECD.又又ABCD，所以，所以BEAB.又因为又因为PA平面平面ABCD，BE 平面平面ABCD，所以所以PABE，而，而PAABA，因此，因此 BE平面平面PAB. 又又BE 平面平面PBE，所以平面，所以平面PBE平面平面PAB.(2)由由(1)知，知，BE平面平面PAB, PB 平
20、面平面PAB, 所以所以PBBE.又又ABBE，所以，所以PBA是二面角是二面角A-BE-P的平面角的平面角在在RtPAB中，中， tanPBA ，PBA60.故二面角故二面角A-BE-P的大小为的大小为60.2(2012深圳市调研深圳市调研)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，ABBD，AB2，BD ，沿，沿BD将将BCD折起，使二折起，使二面角面角A-BD-C是大小为锐角是大小为锐角的二面角，设的二面角，设C在平面在平面ABD上上的射影为的射影为O.(1)当当为何值时，三棱锥为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值的体积最大？最大值为多少？为多少？(2)当当ADBC时，求时，求的大小的大小
