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1、二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律分量式：分量式：由角动量定理：由角动量定理：当当时，时，恒矢量恒矢量研究对象：质点系研究对象：质点系一、质点的角动量和角动量定理：一、质点的角动量和角动量定理：上节内容回顾上节内容回顾在有心力场在有心力场中，关于力心中，关于力心的角动量守恒。的角动量守恒。质质点点的的一一维维或或二二维维平平动动质点系或刚体的定轴转动质点系或刚体的定轴转动第三章第三章 刚体和流体的运动刚体和流体的运动3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定
2、理和角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律目的目的:掌握掌握定轴转动定律定轴转动定律理解理解力矩力矩,转动惯量转动惯量,角动量角动量的概念的概念及彼此的联系及彼此的联系重点重点:定轴转动定律定轴转动定律难点难点:定轴转动定律定轴转动定律第第3-1 刚体的模型及其运动刚体的模型及其运动一、刚体：一、刚体：既考虑物体的质量，既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但忽略其形变的又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型物体模型,物体的形状和大小不发生变化，即物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的距离都保物体内任意两点之间的距离都保持不变持不变刚体刚体(Rigid body
3、)。说明说明1) 理想化的力学模型理想化的力学模型；2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、刚体可以看成一个包含由大量质点、 而各个质点间距离保持不变的质点系。而各个质点间距离保持不变的质点系。二、二、 刚体的平动与转动刚体的平动与转动一）、刚体运动一）、刚体运动1、平动、平动当当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，时，或者说或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作时，刚体的运动叫作平动
4、平动。2、转动、转动刚体中所有的点都绕同一条直刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动线作圆周运动，这种运动称为，这种运动称为转动转动。这条直线叫作。这条直线叫作转轴转轴。平动是刚体的一种基本运动形式，平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动时，刚体上所有点运动都刚体做平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代相同，可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。表整体的运动。转轴的类型：转轴的类型：瞬时转轴瞬时转轴：转轴随时间变化：转轴随时间变化 一般转动一般转动 如：车轮的滚动。如：车轮的滚动。固定转轴固定转轴：转轴不随时间变化：转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动 如：门的转
5、动。如：门的转动。定轴转动的特点：定轴转动的特点：1)、各质点都作圆周运动；、各质点都作圆周运动；2)、各质点圆周运动的平面垂直于、各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；轴线，圆心在轴线上；3)、各质点的矢径在相同的时间内、各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。转过的角度相同。 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z3、刚体的一般运动、刚体的一般运动一个汽车轮子在地一个汽车轮子在地上的滚动上的滚动A、B、C、各点的各点的运动都不相同运动都不相同绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动平动转动刚体的运动平动转动二）、刚体转动的角速度和
6、角加速度二）、刚体转动的角速度和角加速度角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 pro转动平面转动平面三）、匀变速转动三）、匀变速转动当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度角加速度 角速度角速度 角位移角位移 角位置角位置 四四)、角量与线量的关系、角量与线量的关系速度速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度oPvr路程和角位移路程和角位移做直线运动的质点：做直线运动的质点：1个自由度个自由度做平面运动的质点：做平面运动的质
7、点： 2个自由度个自由度做空间运动的质点：做空间运动的质点： 3个自由度个自由度质点：质点：(x, y, z) i = 3 三、自由度三、自由度 所谓所谓自由度自由度就是决定系统在空间的位置所需要就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。的独立坐标的数目。C(x,y,z)物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。立的方程。运动刚体：运动刚体：自由刚体有自由刚体有 6个自由度：个自由度：随质心的平动随质心的平动 + 绕过质心轴的转动绕过质心轴的转动确定质心位置确定质心位置 3个平动自由度个平动自由度 (x, y, z)确定确定过质心轴
8、过质心轴位置位置 2个转个转动自由度动自由度 ( ， )确定确定定轴转动角定轴转动角位置位置 1个转动个转动自由度自由度 ( )3-2、 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量一）、力矩一）、力矩(Moment of force)1、引入、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。向和作用点的位置有关。力通过转轴：力通过转轴：转动状态不改变转动状态不改变力离转轴远：力离转轴远： 容易改变容易改变力离转轴近：力离转轴近： 不易改变不易改变2、力对点的力矩、力对点的力矩rFOrFM3、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩情况情况1：力与轴平行
9、，则力与轴平行，则M=0力对力对O点的力矩在通过点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩点的轴上的投影称为力对转轴的力矩力臂：力臂：转轴和力的作用线之间的距离转轴和力的作用线之间的距离d称为力对转轴的力臂。称为力对转轴的力臂。力矩：力矩：力的大小与力臂的乘积，称为力力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩。对转轴的力矩。rodF 情况情况2：刚体所受的外力刚体所受的外力F在垂直于转轴在垂直于转轴的平面内的平面内4、合力矩、合力矩结论：结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。合力矩等于每个分力的力矩之和。单位单位Nm将力将力F分解为平行于轴的分力分解为平行于轴的分力Fz和和垂直于轴的分力垂
10、直于轴的分力F 。Fz不影响刚不影响刚体的转动，只有体的转动，只有F能使刚体绕能使刚体绕OZ轴转动，轴转动， O情况情况3：若力若力F不在垂直于转轴的平面内（转动平面）不在垂直于转轴的平面内（转动平面）5、关于刚体内各质点间的内力矩关于刚体内各质点间的内力矩在刚体内取质点在刚体内取质点1和和2，位置矢量分别为，位置矢量分别为其内力其内力大小相等，大小相等，方向相反，方向相反， 在一条直线上在一条直线上且有且有这一对内力矩之和为这一对内力矩之和为刚体内质点间的作用力总是成对出现，并遵守牛顿第刚体内质点间的作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三运动定律，每一对内力矩之和为零，故总内力矩为三运动定律，每
11、一对内力矩之和为零，故总内力矩为二二)、转动定律、转动定律1、单个做变速率圆周运动质点的情况、单个做变速率圆周运动质点的情况法向力法向力 Fn=man，通过转轴，力矩为零，通过转轴，力矩为零切向力切向力 Ft=mat=mr 对转轴的力矩为对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2 = M/(mr2)质点的角加速度与质点所受的力矩成正比质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩、内力矩dff 两个内力的合力矩为零。两个内力的合力矩为零。推广：推广：刚体的内力力矩之和为零。刚体的内力力矩之和为零。or3、刚体的情况、刚体的情况把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质把刚体看成是由许多质点所组成的，
12、对于质点点i，假设它的质量为，假设它的质量为mi，所受的外力为，所受的外力为Fi，内力为，内力为f i，(假设假设Fi, f i均在垂直于转轴的平面内）均在垂直于转轴的平面内）则则定义转动惯量定义转动惯量对对 mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：外力矩外力矩内力矩内力矩对所有质点求和：对所有质点求和：zOrifiFi mi i i转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体转动定律刚体转动定律2. 力矩是使刚体转动状态发生
13、改变而产生角加速度力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。的原因。说明：说明：1. M=J 与与 F=ma 地位相当，地位相当，m反映质点的平动反映质点的平动惯性，惯性，J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性, M=J是解决刚体定是解决刚体定轴转动问题的基本方程。轴转动问题的基本方程。3.合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所所 以用以用正、负号表示方向正、负号表示方向。三三)、转动惯量、转动惯量1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚刚体的
14、转动惯量等于刚体上各质点的质量与各体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的质点到转轴距离平方的乘积之和。乘积之和。 y rix z yi xi mi 2.2.转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义： 当以当以相同的力矩相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的它们所获得的角加速度一般是不一样的角加速度一般是不一样的，转动惯量大转动惯量大的刚体所的刚体所获得的获得的角加速度小角加速度小，即，即角速度改变得慢角速度改变得慢，也就是保持原有转动，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，状态的惯性大；反之，转动惯量小转动惯量小的刚体所获得的的刚体所
15、获得的角加速度大角加速度大，即即角速度改变得快角速度改变得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。3.3.与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量；刚体的质量；转轴的转轴的位置；位置；刚体的形状。刚体的形状。实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。转动惯量是标量；转动惯量有可加性；转动惯量是标量；转动惯量
16、有可加性； 单位：单位：kgm2 4、转动惯量的计算、转动惯量的计算1）、若质量离散分布）、若质量离散分布若若m1和和m2在同一平面内，且到直线的距离在同一平面内，且到直线的距离分别为分别为r1,r2,则则m1和和m2对对z轴的转动惯量为轴的转动惯量为2 2）、）、若质量连续分布若质量连续分布质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布体分布体分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转
17、动惯量用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。一般刚体则用实验求其转动惯量。例例1 1、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ALXL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，d dm= = d dxBL/2XO hdxA:C:B:O O dxdxxxx讨论：1、三三个个刚刚体体，质质量量相相等等，因因转转轴轴位位置置或或质质量量分分布布不不同同，转转动动惯惯量量不不相等；相等；2、对对B：当当h=L/2时时,变变成成A；当当h=0时，变成以时，变成以O为转轴的情况为转轴的情况C。3、平平行行轴轴定定理理：刚刚体体对
18、对任任一一转转轴轴的的转转动动惯惯量量J等等于于对对通通过过质质心心的的平平行行转转轴轴的的转转动动惯惯量量Jc加加上上刚刚体体质质量量m乘乘以以两两平平行行转转轴轴间间距距离离h的的平平方方。ALXCL/2L/2OXBL/2XO h例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：解：ROdmJ J是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒( (质量质量为为m m ，不计厚度）结果相同。，不计厚度）结果相同。例例3 3、求质量为、求质量为m、半径为半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与均匀圆
19、盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。盘平面垂直并通过盘心。mR解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr厚度为厚度为l的薄圆环的薄圆环, ,可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，无关。所以，实心圆柱实心圆柱对其轴的对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。lORrdr例例3 3、内内半半径径为为R1 1 外外半半径径为为R2 2 质质量量为为m 的的匀匀质质中中空空圆圆柱柱绕绕其其对称轴的转动惯量对称轴的转动惯量rdr讨论：讨论：1、R102、R1R23、能否利用割补法计算、能否利用割补法计算Jl例例4 4、质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心心
20、轴轴的的转转动动惯惯量量在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径r r 例例5 5、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量的匀质球体绕过球心轴的转动惯量解：把解：把球体看作无数个同心薄球壳的组合球体看作无数个同心薄球壳的组合 对与球体相切的轴的对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？转动惯量又为多少？Z Z四、平行轴定理四、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行等于对通过质心的平行转轴的转轴的转动惯量转动惯量Jc加上刚体质量加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d的平方的平方OOJcJdmriri过质心过质心
21、C 的轴与平面的交点为坐标原点的轴与平面的交点为坐标原点O。计算过计算过O点轴的转动惯量点轴的转动惯量*垂直轴定理垂直轴定理(仅适用于薄平面情况仅适用于薄平面情况) 对于薄板刚体对于薄板刚体，若建立坐标系，若建立坐标系Oxyz，其中，其中z轴与薄板垂直，轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚平面在薄板内，则薄板刚体对体对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动轴的转动惯量之和惯量之和 yx z 圆盘圆盘 R C mdm求质量为求质量为m、半径为、半径为r的均质薄圆盘对通过盘心的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的以盘的直径为轴的转动惯量并处于盘
22、面内的以盘的直径为轴的转动惯量 *垂直轴定理垂直轴定理(仅适用于薄平面情况仅适用于薄平面情况) 对于薄板刚体对于薄板刚体，若建立坐标系，若建立坐标系Oxyz，其中，其中z轴轴与薄板垂直，与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体平面在薄板内，则薄板刚体对对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动惯量之和轴的转动惯量之和 dmr(x,y,z)oxyzdm到到z轴的距离为轴的距离为 到到x轴的距离为轴的距离为 到到y轴的距离为轴的距离为（2）+（3）得）得刚体对三个刚体对三个 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为当当z足够小时（足够小时（z=0） 转
23、动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为J= mir2i 如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式 在工程中，常将转动惯量表示为在工程中，常将转动惯量表示为 式中式中 m为刚体的质量，为刚体的质量， rG称为回转半径，单位为称为回转半径，单位为m或或cm。回转半径的物理意义为：回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以若将物体的质量集中在以 rG为半径、为半径、Oz 为对称轴的细为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。圆环上，则转动惯量不变。回转半径回转半径 五五）、几几种种常常见见形形状状的的刚刚体体
24、的的转转动动惯惯量量影响刚体转动惯量影响刚体转动惯量的因素的因素 刚体的质量刚体的质量：同同形状的刚体形状的刚体，越大越大，J就越大。就越大。 质量的分布质量的分布：质量质量相同相同，dm分布在分布在r越越大的地方大的地方，则则J J 越越大。大。 刚体的转轴位置刚体的转轴位置：同一刚体依不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的转轴而有不同的 J.如何计算（如何计算（4）的）的J.六六)、刚体定轴转动的转动定律的应用、刚体定轴转动的转动定律的应用题目类型题目类型已知两个物理量，求另一个：已知两个物理量，求另一个：1.已知已知J和和M，求，求 2.已知已知J和和 ，求，求M3.已知已知M和和 ，求，
25、求J解题步骤解题步骤1.确定研究对象；确定研究对象；2.受力分析；受力分析；3.选择参考系与坐标系；选择参考系与坐标系；4.列运动方程；列运动方程；5.解方程；解方程；6.必要时进行讨论。必要时进行讨论。注意注意以下几点：以下几点：1.力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；2.要选定转动的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角要选定转动的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；速度的正负；3. 系统中有转动和平动，系统中有转动和平动，转动物体转动物体转动定律转动定律平动物体平动物体牛顿定律牛顿定律例、例、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R 的定
26、滑轮的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为m 的物体而下垂。细绳的物体而下垂。细绳不打滑，忽略轴处摩擦，求物体不打滑，忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：解：定轴定轴ORthmv0=0绳绳M 例例2:一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体1和和2，m1m1，物体，物体1向上运动，向上运动，物体物体2向下运动，滑轮以顺时向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，
27、针方向旋转，Mr的指向如图所的指向如图所示。可列出下列方程示。可列出下列方程式式中中 是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，a是是物物体体的的加加速速度度。滑滑轮轮边边缘缘上上的的切向加速度和物体的加速度相等，即切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得 当当不不计计滑滑轮轮质质量量及及摩摩擦擦阻阻力力矩矩即即令令m=0、M =0时，有时，有 上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m1、 m2 、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1和和2
28、的的加加速速度度a，再再通通过过加加速速度度把把g算算出出来来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小小，这这样样就就能能精精确确地测出地测出a来。来。例例3、一根长为一根长为l、质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩
29、为重力对O O 的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为： XOdmg dm=m/ldrx据质心定义据质心定义rdr再求角速度再求角速度 XOdmgdmx例例4匀质圆盘的质量为匀质圆盘的质量为m，半径为，半径为R，在水平桌，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为，求圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度0旋转旋转到静止需要多少时间？到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心
30、轴的力矩为零。力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，厚度为，厚度为e，宽度为，宽度为dr，整个圆，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取0的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为 整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 根据转动定律，得根据转动定律，得 角加速度为常量，且与角加速度为常量，且与0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动的方向相反，表明圆盘作匀减速转动当圆盘停止转动时，当圆盘停止转动时，=0，则得，则得 作业作业 P138: 3-3; 3-4；3-5；3-8
