《无穷大量与无穷小量课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷大量与无穷小量课件（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、无穷小量阶的比较5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四、渐近线三、无穷大量一、无穷小量返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、无穷小量定义定义1则称则称 f 为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页显然，无穷小量是有界量显然，无穷小量是有界量. .而有界量不一定是无穷而有界量不一定是无穷例如例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：对于无穷小量与有界量，有如下关系：小量小量. .返回返回返回返回后页
2、后页后页后页前页前页前页前页1. 两个两个(类型相同的类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量的和，差，积仍是2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质性质1 1可由极限的四则运算性质直接得到可由极限的四则运算性质直接得到.无穷小量无穷小量.下面对性质加以证明下面对性质加以证明.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如例如:应当注意应当注意, , 下面运算的写法是错误的：下面运算的写法是错误的：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 近旁发生无近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线限密集的振动，其振幅被两条直线所限制所限制.
3、 .-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、积仍积仍出如下定义出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如：例如：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页
4、2. 若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在使得在 x0 的某一空心邻域的某一空心邻域内，有内，有根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如: 与与是是同阶无穷小量同阶无穷小量;则称则称 与与 是是时的时的同阶无穷小量同阶无穷小量.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3. 若两个无穷小量在若两个无穷小量在内内满足满足:则记则记当当时，时，x 与与是是同阶无穷小量同阶无穷小量.我们记我们记应当注意，若应当注意，若为为时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有返回返回返回返回后页后页后页后页前
5、页前页前页前页反之不一定成立反之不一定成立, 例例如如但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作也就是说，这里的也就是说，这里的 “=” 类似于类似于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论
6、了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是值得注意的是, 并并这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如例如返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与与均为均为时的无穷小量时的无穷小量, 却不却不能能按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为这是因为是是一个无界量，并且一个无界量，并且下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理3.12 设设函数函数 f, g, h 在在内有内有定义定义, 且且证证所以所以返回返回返回返回
7、后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例1解解所以所以(2) 可以类似地证明可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页有有定义定义, 若对于任给若对于任给定义定义2设设函数函数 f 在在G 0, 存在存在 0，使得当，使得当则称则称函数函数 f (x) 当当 x x0 时为无穷大量时为无穷大量, 记作记作时时, ,有有三、无穷大量记作记作返回返回返
8、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页请读者自行写出它们的定义请读者自行写出它们的定义.无穷大量和负无无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量类似地可以定义如下的无穷大量: :穷大量穷大量. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3证证例例4 当当 a 1 时，求证时，求证这就这就证明了证明了的的严格递增性，严格递增性， 当当 x M 时，时，证证 G 0 ( 不妨设不妨设 G 1 ), 由对数由对数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 6设设 递增，无上界递增，无上界. 证明证明证证 因为因为 无上界，所以任给无上界，所以任给 G 0，存在存在又又因因 递
9、递增增，使使故故当当 时，有时，有例例5证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从从无穷大量的定义与例无穷大量的定义与例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的极限极限 . 很明显，若很明显，若那么那么 f (x) 在在 x0 的任何一个邻域内无界的任何一个邻域内无界. 但值得注意的是但值得注意的是: 若若 f (x)例如：例如： 在在 的任何邻域内无界，但的任何邻域内无界，但却不是却不是 x 时的无穷大量时的无穷大量. 事实上事实上, 对对无界量无界量) , 并不能保证并不能保证 f (x) 是
10、是 x x0 的无穷大量的无穷大量.在在 x0 的任何邻域内无界的任何邻域内无界 (称称 f (x) 是是 x x0 时的时的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因而因而 f (x)不是不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.两个无穷大量也可以定义阶的比较两个无穷大量也可以定义阶的比较. 设设返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页无穷大量无穷大量.则称则称 f (x) 与与 g (x) 是当是当 x x0 时的一个同阶无时的一个同阶无穷穷大量大量.当当 x x0 时时返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的等价无穷大量，的等价无穷大量，下述定理反映了无穷小量与无穷大
11、量之间的关系下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.定理定理3.13(1) 若若 f 为为 xx0 时的无穷小量时的无穷小量, 且不等于零且不等于零, 则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 这里仅证明定理的这里仅证明定理的 (1) . 对于任意正数对于任意正数G , 因因为为这就这就证明了证明了的无穷小量的无穷小量.f 为为 x x0 时的无穷小量，时的无穷小量，所以存在所以存在使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又又因为因为所以对于任意正数所以对于任意正数G，存在存在
12、证证由由极限的保号性极限的保号性,因为因为例例7求证求证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 对于函数对于函数这就这就说明了当说明了当 b = 0 时结论不一定成立时结论不一定成立.即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8证证所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到一列由此得到一列 ，满足满足 且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 例例8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取的证明虽然有些难度，但它却提供了选取法法, 对提高解题能力是有益处的对提高解题能力是有益处的.符合要求的点列的一种方法符合要求的点列的一种方法.
13、熟练地掌握这种方熟练地掌握这种方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为标准方程为它的渐近线方程为它的渐近线方程为近线问题近线问题.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.定义定义4 设设 L 是一条直线是一条直线, 若曲线若曲线 C 上的动点上的动点 P 沿沿曲线无限远离原点时曲线无限远离原点时, 点点 P 与与 L 的距离趋于零，的距离趋于零，则则称直线称直线 L 为
14、曲线为曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).L LC C返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由渐近线的定义，渐近线的定义，首先首先, 我们来看如何求曲线我们来看如何求曲线 的斜渐近线的斜渐近线.如图所示如图所示, 设斜设斜渐近线渐近线 L 的方程的方程为为曲曲线上的动点线上的动点 至直线至直线 L的的距离为距离为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而又又所以，所以，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这样就确定了斜渐近线的两个参数：这样就确定了斜渐近线的两个参数：这是沿这是沿 x 轴正向的渐近线的方程轴正向的渐近线的方程. 显然沿显然沿 x
15、 轴负向轴负向同样也可以求出沿着同样也可以求出沿着 x 的渐近的渐近线方程线方程.的斜渐近线的斜率和截距分别为的斜渐近线的斜率和截距分别为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 特别当特别当 k = 0 时，该渐近线称为水平渐近线时，该渐近线称为水平渐近线. 则称则称 x = x0 是曲线是曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.显然，曲线显然，曲线 y = f (x) 有水平渐近线的充要条件是有水平渐近线的充要条件是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例9 求求曲线曲线的的渐近线渐近线.并且并且 f (x) 在其他点处均有有限极限，所以求得在其他点处均有有限极限，所以求得垂垂解解直渐近线为直渐近线为:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是求得斜渐近线方程为于是求得斜渐近线方程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.1.两个无穷大量的和、差与积是否仍是无穷大量两个无穷大量的和、差与积是否仍是无穷大量? ? 2.2.下面的运算是否正确下面的运算是否正确? ?
