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1、 第一章第四节 条件概率与乘法法则 在解决许多概率问题时，往往需要求在有在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息某些附加信息(条件条件)下事件发生的概率。下事件发生的概率。 一、条件概率一、条件概率 1. 条件概率的概念条件概率的概念 通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下, 事件事件A发生的概发生的概率为率为P(A|B)。 一般情况下，一般情况下， P(A|B) P(A) 。 P(A )=1/6，例如：掷一颗均匀骰子，例如：掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点， P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有发生，此时试验所有可能
2、结果构成的集合就是可能结果构成的集合就是B。 于是，于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有中共有3个元素，每个元素出现个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有是等可能的，且其中只有1个个(2点点)在集合在集合A中。中。 容易看到：容易看到： P(A|B)P(A )=3/10， 又如：又如：10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品件次品; 7件正品中有件正品中有3件一等品件一等品, 4件二等品。现从这件二等品。现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记 B=取到正品取到正品， A=取到一等品取到一等品， P(A|B)P(A )=3/10， B=取到正品取到正品， P(A|B)=3/
3、7。 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据时，依据前提条件是前提条件是10件产品中一等品件产品中一等品的比例。的比例。 A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是时，这个前提条件未变，只是加上加上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件。这个新的条件。 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。以在某个缩小了的范围内来考虑问题。 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也发生也发生 , 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即此即此点必属于点必属于AB
4、。 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B就变成了就变成了新的样本空间新的样本空间 , 于是于是 就有就有(1)。设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，则称则称 (1)2. 条件概率的定义条件概率的定义 为在事件为在事件B发生条件下，事件发生条件下，事件A的条件概率。的条件概率。3. 条件概率的性质条件概率的性质 设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则 1. 对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1; 2. P(|B)=1P(|B)=1；3. 设设A1,An ,互不相容，则互不相容，则 P(A1+An +)| B = P(A1|B)+ +P(An|B)+
5、而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。适用于条件概率。 例如：对任意事件例如：对任意事件A A1 1和和A A2 2 , ,有有 P(P(A A1 1AA2 2|B)=P(A|B)=P(A1 1|B)+P(|B)+P(A A2 2| |B)- (B)- (A A1 1A A2 2| |B)B)等。等。其他性质请同学们自行写出。其他性质请同学们自行写出。 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算 1) 用定义计算用定义计算:P(B)0。 掷骰子掷骰子 例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷
6、出偶数点掷出偶数点， P(A|B）= B发生后的发生后的 缩减样本空间缩减样本空间 所含样本点总数所含样本点总数 在缩减样本空间在缩减样本空间 中中A所含样本点所含样本点 个数个数 例例1 ：掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是的概率是多少多少? 解法解法1: 解法解法2: 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出第一颗掷出6点点。应用定义应用定义 在在B发生后的发生后的 缩减样本空间缩减样本空间 中计算中计算例例2: 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年
7、以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4。问。问现年现年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的岁以上的概率是多少？概率是多少？解解:设设A=能活能活20年以上年以上, B=能活能活25年以年以，依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，所求为所求为P(B|A) 。条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试是在该试验条件下事件验条件下事件A发生的可能性大小。发生的
8、可能性大小。P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。在数值上一般也不同。 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。仍是概率。由条件概率的定义：由条件概率的定义： 即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)而而 P(AB)=P(BA)，二、二、 乘法公式乘法公式在已知在已知P(B), P(A|B)时时, 可反解出可反解出P(AB)。将将
9、A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 则则P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。例例3: 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有个零件中，有189个个是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？个零件是乙厂生产的
10、标准件的概率是多少？所求为所求为P(AB)。 甲、乙共生产甲、乙共生产 1000 个个189个是个是 标准件标准件300个个 乙厂生产乙厂生产 设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产，A=是标准件是标准件，所求为所求为P(AB) 。设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产，A=是标准件是标准件，若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?” 求的是求的是 P(A|B) 。B发生发生, 在在P(AB)中作为结中作为结 果果; 在在P(A|B)中作为条件。中作为条件。甲、乙共生产甲、乙共生产 1000 个个189个个是是 标准件标准件 300个
11、个 乙厂生产乙厂生产 当当P(A1A2An-1)0时，有时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:解解: 例例 4:4: 一批灯泡共一批灯泡共100100只只, ,其中其中1010只是次品只是次品, ,其其余为正品余为正品, ,作不放回抽取作不放回抽取, ,每次取一只每次取一只, ,求求: :第第三次才取到正品的概率。三次才取到正品的概率。 设设A Ai i = =第第i i次取到正品次取到正品, , i=1,2,3i=1,2,3。 A= A=第三次才取到正品第三次才取到正品 。 则: : 解解
12、: 例例5: : 袋中有同型号小球袋中有同型号小球b+rb+r个，其中个，其中b b个是黑个是黑球，球，r r个是红球。每次从袋中任取一球，观其个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回颜色后放回, ,并再放入同颜色，同型号的小球并再放入同颜色，同型号的小球c c个。若个。若B=B=第一第一，第三次取到红球第三次取到红球, ,第二次取第二次取到黑球到黑球 ，求，求P(B)P(B)。 设设A Ai i=第第i i次取到次取到红球球, , i=1,2,3, i=1,2,3, 则: : 一一场场精精彩彩的的足足球球赛赛将将要要举举行行, 但但5个个球球迷迷只只搞搞到到一一张张球球票票，但但大大家家
13、都都想想去去。没没办办法法，只只好好用用抽抽签的方法来确定球票的归属。签的方法来确定球票的归属。 球票球票5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“球票球票”，其余的什么也，其余的什么也没写没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。个人依次抽取。先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？ 请回答：请回答：到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的的概概率率到到底底有多大有多大
14、?“大家不必争，你们一个一个按次序来，大家不必争，你们一个一个按次序来， 谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都一样大。的机会都一样大。” “先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”， i1,2,3,4,5。 显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5，第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5。也就是说，也就是说， 则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”，因为若第因为若第2个人抽到个人抽到 入场券时，第入场券时，第1个人个人 肯定没抽到肯定没抽到。也就是要想
15、第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，由于由于由乘法公式，由乘法公式， 得得 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第、第2个人都没有抽到。因此，个人都没有抽到。因此，=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5， 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场入场券券” 的概率都是的概率都是1/5。抽签不必争先恐后。抽签不必争先恐后。 全概率公式和贝叶斯公式主要用
16、于计全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率算比较复杂事件的概率, 它们实质上是它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用 加法公式加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥互斥乘法公式乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式 例例6: 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从红球。某人从三箱中任取一箱
17、，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。中任意摸出一球，求取得红球的概率。解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球。即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式。 对求和中的每一项 运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A
18、2B)+P(A3B)代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15。设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件 ， 且且P(Ai)0， i =1,2,n, 另另有有一一事事件件B, 它它总总是是与与A1, A2, ,An之一同时发生，则之一同时发生，则 全概率公式全概率公式: 设设S为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组。 则对任一事件则对任一事件B，有有在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：在一
19、些教科书中，常将全概率公式叙述为：在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易, 但但总可以适当地构造一组两两互斥的总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使使B伴随着某个伴随着某个Ai的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 之和计算之和计算P(B)。由上式不难看出由上式不难看出:“全部全部”概率概率P(B)可分成许多可分成许多“部分部分”概率概率 之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于: 某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因Ai (i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引
20、起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式。全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成是由此可以形象地把全概率公式看成是 “由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关。全全概概率公式表达了因果
21、之间的关系率公式表达了因果之间的关系 。A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B 诸诸Ai是原因是原因 B是结果是结果 例例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞。飞 机被机被一人击中而击落的概率为一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击被两人击中而击落的概率为落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击飞机必定被击落落, 求飞机被击落的概率。求飞机被击落的概率。 设设B=飞机被击落飞机被击落， Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3。 由全概率公
22、式，由全概率公式， 得得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B+A2B+A3B， 解解:依题意，依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。 可求得可求得 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3。 将数据代入计算，得将数据代入计算，得 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。于是于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3)=0.458， =0.3
23、60.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458。该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性大些性大些? 实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题已知结果求原因已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见，它所求的这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。各原因发生可能性大小。 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球出一球,发现是红球发现是红球, 求该求该球是取自球是取自1号箱的概率。号箱的概率。1231红红4白白 或者问或者问:接下来我们介绍解决这类
24、问题的接下来我们介绍解决这类问题的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，编号分别为有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号号箱装有箱装有3红球红球.。某人从三箱中任取一箱，从。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 。1231红红4白白 ?某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该一球，发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率。号箱的概率。 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3;
25、 B =取得红球取得红球。求求P(A1|B)。 运用全概率公式运用全概率公式 计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式 1231红红4白白 ? 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出。给出。 它它是在观察到事件是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。 贝叶斯公式：贝叶斯公式： 设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件 ， 且且P(Ai)0，i=1,2,n, 另另有有一一事事件件B，它它总总是是与与A1,A2,An 之一
26、同时发生，则之一同时发生，则 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的发生的最可能原因最可能原因. 例例 8: 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大? 则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. 求解
27、如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A)。已知已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95, 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得 代入数据，代入数据， 计算得计算得 P(CA)= 0.1066。 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者阳性反应的概率是
28、患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为概率为 P(CA)= 0.1066 。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。有意义。从从0.005增加到增加到0.1066, 将近增加约将近增加约21倍。倍。1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.106
29、6。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时，此时医生常要通过再试验来确认。医生常要通过再试验来确认。 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为 原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不不知道事件知道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对诸人们对诸事件发生可能性大小的
30、认识。事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生), 人们对诸事人们对诸事件发生可能性大小件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计。有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 8 8支步支步枪中有中有5 5支已校准支已校准过,3,3支未校准。支未校准。一名射手用校准过的枪射击时一名射手用校准过的枪射击时, ,中靶的概率为中靶的概率为0.8;0.8;用未校准的用未校准的枪射射击时, ,中靶的概率中靶的概率为0.30.3。现从现从8 8支枪中任取一支用于射击支枪中任取一支用于射击, ,结果中靶。结果中靶。 求求: :所
31、用的枪是校准过的概率。所用的枪是校准过的概率。 设设A=A=射击时中靶射击时中靶,B B1 1=使用的使用的枪校准校准过, , B B2 2=使用的使用的枪未校准未校准,则B B1 1,B,B2 2是是一个划分一个划分, ,由贝叶斯公式由贝叶斯公式 解解: 例例9： 解解: 例例 10:10: 一批同型号的螺钉由编号为一批同型号的螺钉由编号为I,II,IIII,II,III的的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为批螺钉的比例分别为35%35%,40%, 25%,40%, 25%。各台机器。各台机器生产的螺钉的次品率分别为生产的螺钉的
32、次品率分别为3%, 2%3%, 2%和和1%1%。现从。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求该批螺钉中抽到一颗次品。求: :这颗螺钉由这颗螺钉由I, I, II, IIIII, III号机器生号机器生产的概率各的概率各为多少多少? ? 设设A=A=螺螺钉是次品是次品 , , B B1 1=螺螺钉由由1 1号机器号机器生产生产, , B B2 2=螺螺钉由由2 2号机器生号机器生产,B B3 3=螺螺钉由由3 3号机器生号机器生产 。则: :由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得同理同理, ,P(BP(B1 1)=0.35, P(B)=0.35, P(B2 2)=0.40, P(B)=0.40, P(B3
33、3)=0.25, )=0.25, P(P(A|BA|B1 1)=0.03,)=0.03,P(P(A|BA|B2 2)=0.02,)=0.02,P(P(A|BA|B3 3)=0.01)=0.01。 小结小结 本节首先介绍了条件概率的定义及其计算本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的目的，为达到正确理解、熟练运用这些公式的目的，我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。出这些公式的内涵。
