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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分导数概念及求法回顾：导数概念及求法回顾： 1第二章 导数与微分1、函数在一点处可导、函数在一点处可导导数就是一种特殊类型的极限。导数就是一种特殊类型的极限。存在2第二章 导数与微分若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作记作:就称函数就称函数在在 I 内可导内可导. 2、函数在开区间上的导数。、函数在开区间上的导数。函数在闭区间上的导数：函数在函数在闭区间上的导数：函数在相应的开区间上可导，且在端点相应的开区间上可导，且在端点处有单侧导数。处有单侧导数。3第二章 导数与微
2、分3、基本初等函数的导数、基本初等函数的导数4第二章 导数与微分 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理.证证: 设在点在点 x 处可导处可导,存在存在 , 因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.即5第二章 导数与微分在点在点处处右右 导数存在导数存在定理定理3. 函数函数在点在点必必 右右 连续连续.(左左)(左左)6第二章 导数与微分第二节第二节函数的求导法则函数的求导法则 第二章 7第二章 导数与微分一、四则运算
3、求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、差、 积积、 商商 (除分母除分母为为 0的的点点外外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且8第二章 导数与微分此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设设, 则则故故结论成立结论成立.例如例如,9第二章 导数与微分(2)证证: 设设故结论成立故结论成立.推论推论:( C为常数为常数 )10第二章 导数与微分(3)证证: 设设则有则有故结论成立故结论成立.推论推论:( C为常数为常数 )11第二章 导数与微分例：求下列函数的导数例：求下列函数的导数12第二章 导数与微分例例2. 求证求证证证: 类似可证类似可证
4、:13第二章 导数与微分二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理. y 的某邻域内严格单调可导的某邻域内严格单调可导, 证证:在在 x 处的增量处的增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且连续性知且连续性知 因此因此14第二章 导数与微分证明的另外一种写法：证明的另外一种写法：15第二章 导数与微分例例. 求求y=arctanx的导数的导数.解解: 设设则则类似可求得类似可求得16第二章 导数与微分基本初等函数的导数基本初等函数的导数17第二章 导数与微分在点在点 x 可导可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理.在点在点可导可导复合函数复合函数且且在点在点 x 可导
5、可导,链式法则链式法则18第二章 导数与微分例：求下列函数的导数。例：求下列函数的导数。19第二章 导数与微分例如例如,关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.20第二章 导数与微分例例. 设设求求21第二章 导数与微分定义定义.若函数若函数的导数的导数可导可导, ,或即即或或类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,或或的的二阶导数二阶导数 , 记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,
6、分别记作分别记作则称则称第三节第三节 、高阶导数、高阶导数22第二章 导数与微分求求的各阶导数的各阶导数。例例. 求求求求的各阶导数的各阶导数。求求的各阶导数的各阶导数。求求的各阶导数的各阶导数。23第二章 导数与微分第四节第四节隐函数和参变量函数求导隐函数和参变量函数求导 第二章 24第二章 导数与微分一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此（1）隐函数与显函数的概念。隐
7、函数与显函数的概念。25第二章 导数与微分（2）隐函数隐函数求导方法：方程两边同时求导。求导方法：方程两边同时求导。 两边对两边对 x 求导求导(解含导数解含导数 的方的方程程)26第二章 导数与微分例例. 求由方程求由方程的导数，并求在的导数，并求在 x = 0处的导数值。处的导数值。解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的隐函数确定的隐函数27第二章 导数与微分求由方程求由方程确定的函数确定的函数y=y(x)、函数、函数x=x(y)的导数的导数28第二章 导数与微分例例. 求求的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 ,两边对两
8、边对 x 求导求导两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。29第二章 导数与微分法法1、用取对数求导法求、用取对数求导法求 :幂指函数幂指函数 的导数的求法。的导数的求法。法法2、直接变形法求导、直接变形法求导30第二章 导数与微分例例,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导可用于取对数求导法的情况：可用于取对数求导法的情况：31第二章 导数与微分求函数：求函数：的导数。的导数。32第二章 导数与微分隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数法法1、先两边求导解出一阶导，再对一阶、先两边求导解出一阶导，再对一阶求导得二阶、对二阶求导得三阶，类推求导得二
9、阶、对二阶求导得三阶，类推法法2、先两边求导解出一阶导，再对求、先两边求导解出一阶导，再对求好一次导以后的方程再求一次导，将好一次导以后的方程再求一次导，将一阶代入得二阶导，类推。一阶代入得二阶导，类推。33第二章 导数与微分求由方程求由方程确定的函数确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数.34第二章 导数与微分二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数参数方程：参数方程：可以确定可以确定y 与与 x 之间的函数关系之间的函数关系35第二章 导数与微分由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间
10、的函数可导可导, 且且则则时时, 有有时时, 有有(此时此时x看成看成 是是 y 的函数的函数 )关系关系,36第二章 导数与微分例例7：设函数：设函数y=f(x)由参数方程：由参数方程：所确定，求此函数的导数。所确定，求此函数的导数。37第二章 导数与微分二阶可导二阶可导,且且则由则由它确定的函数它确定的函数可求可求二阶导数二阶导数 .若参数方程中若参数方程中38第二章 导数与微分例例. 设由方程设由方程确定函数确定函数求求39第二章 导数与微分课后作业课后作业P86:4、5P97:2、3、6 、7、8、11（其中的偶数题）（其中的偶数题）P103:1（奇数题）、（奇数题）、3P111:1、
11、32、4、4、540第二章 导数与微分第五节第五节微分微分 第二章 41第二章 导数与微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 变到变到边长由边长由其其主要部分主要部分可忽略部分可忽略部分42第二章 导数与微分故故称为函数在称为函数在 的微分的微分43第二章 导数与微分的微分微分,定义定义: 若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而 称为记作即在点在点可可微微,微分就是函数增量的线性主要部分微分就是函
12、数增量的线性主要部分例：若例：若x=1，x=0.1,0.05=0.1,0.05时，对于时，对于y= =x2 2，d dy分别是多少？分别是多少？44第二章 导数与微分定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知在点在点 可微可微 ,则则故故在点在点 可导可导,且且在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是在点在点 处可导，且处可导，且微分的求法微分的求法45第二章 导数与微分“充分性充分性”已知已知即即在点在点 可导可导,则则46第二章 导数与微分求函数求函数y=x在任意一点处的微分在任意一点处的微分从而从而导数也叫作导数也叫作微商微商47第二章 导数与微分例如例如,又如又如,48第二
13、章 导数与微分二、二、 微分运算法则微分运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则(C 为常数为常数)49第二章 导数与微分基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 (见见 P116)50第二章 导数与微分微分运算法则：复合函数的微分。微分运算法则：复合函数的微分。分别可微分别可微 ,的微分为的微分为一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性则复合函数则复合函数51第二章 导数与微分求 解解:52第二章 导数与微分例例. 设设求求 隐函数的微分：两边求微分隐函数的微分：两边求微分53第二章 导数与微分三、三、 微分的应用：近似计算微分的应用：近似计算当当很小时很小时, 得近
14、似等式得近似等式:近似计算的依据近似计算的依据!54第二章 导数与微分的近似值的近似值 .例例. 计算计算近似计算使用原则近似计算使用原则:55第二章 导数与微分习习 题题 选选 讲讲1、导数的概念、导数的概念在在x=0的可导性。的可导性。(1)判断函数判断函数(2)当当a为何值时，函数为何值时，函数x=0的连续、在的连续、在x=0可导可导(3)求函数的导数求函数的导数56第二章 导数与微分若函数在若函数在x=a处可导，求下列极限。处可导，求下列极限。若下列极限存在，问函数在若下列极限存在，问函数在a处是否可导。处是否可导。57第二章 导数与微分可导的偶函数，其导数是奇函数可导的偶函数，其导数
15、是奇函数证明：证明：可导的奇函数，其导数是偶函数可导的奇函数，其导数是偶函数58第二章 导数与微分二、求函数的导数二、求函数的导数熟记基本初等函数求导公式，掌握导数四熟记基本初等函数求导公式，掌握导数四则运算法则、反函数求导法则和复合函数则运算法则、反函数求导法则和复合函数求导法则。掌握高阶导数求导法则。掌握高阶导数(二阶导数二阶导数)、隐、隐函数的导数及参变量导数的求法、取对数函数的导数及参变量导数的求法、取对数求导法求导法59第二章 导数与微分已知：已知：(1)求：求：(2)求求的导数。的导数。的导数。的导数。例：求例：求60第二章 导数与微分试从试从导出：导出：61第二章 导数与微分三、导数的应用三、导数的应用1、求曲线、求曲线y=lnx 在在(e,1)处的切线与法线。处的切线与法线。2、路程关于时间的函数为、路程关于时间的函数为y=3t2,求求t=10时的时的瞬时速度。瞬时速度。3、已知椭圆的参数方程为、已知椭圆的参数方程为求椭圆在求椭圆在处的切线方程。处的切线方程。62第二章 导数与微分课后作业课后作业P123：3奇数题奇数题P112：2、763第二章 导数与微分
