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1、第十一讲 平面直角坐标系与函数1.1.了解：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量的意义；函了解：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量的意义；函数的概念和三种表示法数的概念和三种表示法. .2.2.能：举出函数的实例；结合图象对简单实际问题中的函数关能：举出函数的实例；结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数系进行分析；确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值；用适当的函数表示法刻的自变量取值范围，并会求出函数值；用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系画某些实际问题中变量之间的关系. .一、平面直角坐标系
2、的有关知识一、平面直角坐标系的有关知识1.1.各象限点的坐标的规律各象限点的坐标的规律( (用用“”或或“”填空填空) )(1)(1)点点P(x,y)P(x,y)在第一象限在第一象限x_0,y_0.x_0,y_0.(2)(2)点点P(x,y)P(x,y)在第二象限在第二象限x_0,y_0.x_0,y_0.(3)(3)点点P(x,y)P(x,y)在第三象限在第三象限x_0,y_0.x_0,y_0.(4)(4)点点P(x,y)P(x,y)在第四象限在第四象限x_0,y_0.x_0,y_0.2.2.坐标轴上的点的坐标的特征坐标轴上的点的坐标的特征(1)(1)点点P(x,y)P(x,y)在在x x轴上
3、轴上_._.(2)(2)点点P(x,y)P(x,y)在在y y轴上轴上_._.(3)(3)点点P(x,y)P(x,y)在原点在原点_._.y=0y=0x=0x=0x=0,y=0x=0,y=03.3.对称点的坐标的特征对称点的坐标的特征对称方式对称方式关于关于x x轴对称轴对称关于关于y y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称_P(a,b) P(a,b) (a,-b) (a,-b) 坐标坐标特征特征 横坐标不变，横坐标不变，纵坐标纵坐标_纵坐标不纵坐标不变，横坐标变，横坐标_横、纵坐标都横、纵坐标都_(-a,b) (-a,b) (-a,-b) (-a,-b) 互为相反数互为相反数互为相反数互为相
4、反数互为相反数互为相反数【即时应用】【即时应用】1.1.在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点(2(2，3)3)在第在第_象限象限. .2.2.在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点P(4P(4，-3)-3)关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标是是_,_,关于关于y y轴对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是_._.3.3.若点若点P(4P(4，m-3)m-3)在在x x轴上，则轴上，则m=_.m=_.四四( (4, 3)4, 3)( (4, 4, 3)3)3 3二、函数二、函数1.1.函数的概念函数的概念如果在一个变化过程中如果在一个变化过程中, ,有两个变量有两个变量x x和和y,
5、y,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有都有_的值与之对应的值与之对应, ,就说就说x x是是_,y_,y是是_，也称，也称y y是是x x的函数的函数. .唯一唯一因变量因变量自变量自变量2.2.函数的图象函数的图象(1)(1)函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的, ,图象上每图象上每一点的坐标一点的坐标(x,y)(x,y)代表了函数的一对对应值代表了函数的一对对应值, ,它的横坐标它的横坐标x x表示表示_的某一个值的某一个值, ,纵坐标纵坐标y y表示与它对应的表示与它对应的_._.(2)(2)描点法作函数图象的步骤：描点法作函数
6、图象的步骤：_、_、_._.自变量自变量函数值函数值列表列表描点描点连线连线【即时应用】【即时应用】1.1.函数函数y= y= 中，自变量中，自变量x x的取值范围是的取值范围是_._.2.2.匀速行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系中匀速行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系中_是自是自变量，变量，_是因变量是因变量. .x0x0且且x1x1时间时间路程路程3.3.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有1919元元钱，那么他乘此出租车最远能到达钱，那么他乘此出租车最远能到达_公里处公里处. .1111三、图形变换中的坐标变化规律三、图形变换中的
7、坐标变化规律1.1.平移平移(1)(1)上下平移，上下平移，_不变，不变，_加或减平移的距离加或减平移的距离. .(2)(2)左右平移，左右平移，_不变，不变，_减减( (或加或加) )平移的距离平移的距离. .2.2.关于坐标轴对称关于坐标轴对称(1)(1)关于关于x x轴对称：轴对称：_不变，不变，_互为相反数互为相反数. .(2)(2)关于关于y y轴对称：轴对称：_不变，不变，_互为相反数互为相反数. .横坐标横坐标纵坐标纵坐标纵坐标纵坐标横坐标横坐标横坐标横坐标纵坐标纵坐标纵坐标纵坐标横坐标横坐标【即时应用】【即时应用】1.1.若将点若将点A(A(1,2)1,2)向左平移向左平移2
8、2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3 3个单位得个单位得到点到点B B，则点，则点B B的坐标为的坐标为_._.2.2.若点若点P(P(2,4)2,4)关于关于x x轴对称的点为轴对称的点为Q(aQ(a，b)b)，则，则a+b=_.a+b=_.3.3.将点将点P P向左平移向左平移2 2个单位个单位, ,再向上平移再向上平移1 1个单位得到个单位得到P(-1,3),P(-1,3),则点则点P P 的坐标是的坐标是_._.( (3,5)3,5)-6-6(1,2)(1,2)【核心点拨】【核心点拨】1.1.坐标轴不属于任何象限坐标轴不属于任何象限. .2.2.在判断坐标系中的一个图象是否为函数图
9、象时，关键看任何在判断坐标系中的一个图象是否为函数图象时，关键看任何一条与一条与x x轴垂直的直线与已知图象是否有唯一交点轴垂直的直线与已知图象是否有唯一交点. .平面直角坐标系平面直角坐标系中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1.1.各象限点的坐标的符号各象限点的坐标的符号第一象限第一象限(+(+，+)+)；第二象限；第二象限(-(-，+)+)；第三象限第三象限(-(-，-)-)；第四象限；第四象限(+(+，-).-).2.2.坐标轴上点的坐标坐标轴上点的坐标(1)(1)横轴上的点纵坐标为横轴上的点纵坐标为0 0；(2)(2)纵轴上的点横坐标为纵轴上的点横坐标为0 0；(3)(3)原点的坐标
10、为原点的坐标为(0(0，0).0).知知识识点点睛睛 3.3.点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离点点P(x,y)P(x,y)到到x x轴的距离为轴的距离为|y|y|，到，到y y轴的距离为轴的距离为|x|.|x|.4.4.与坐标轴平行的直线上的点的坐标与坐标轴平行的直线上的点的坐标(1)(1)平行于平行于x x轴的直线上的点的纵坐标相等轴的直线上的点的纵坐标相等. .(2)(2)平行于平行于y y轴的直线上的点的横坐标相等轴的直线上的点的横坐标相等. .特特别别提提醒醒在坐标平面内求点的坐标一般分两种情况在坐标平面内求点的坐标一般分两种情况1.1.有坐标网格的，可循着网格线寻找；有坐标网格的，可
11、循着网格线寻找；2.2.无坐标网格的，一般需要由点作坐标轴的垂线，求出相无坐标网格的，一般需要由点作坐标轴的垂线，求出相应垂线段的长度后，再求点的坐标应垂线段的长度后，再求点的坐标. .【例【例1 1】(2012(2012扬州中考扬州中考) )在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点P(mP(m，m m2)2)在第一象限内，则在第一象限内，则m m的取值范围是的取值范围是_【教你解题】【教你解题】横坐标为正横坐标为正m0m0纵坐标为正纵坐标为正m-20,m2m-20,m2答案答案m2m2【对点训练】【对点训练】1.(20121.(2012菏泽中考菏泽中考) )点点(-2(-2，1)1)在平
12、面直角坐标系中所在的象限在平面直角坐标系中所在的象限是是( )( )(A)(A)第一象限第一象限 (B) (B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限 (D) (D)第四象限第四象限【解析】【解析】选选B.B.因为横坐标为因为横坐标为-2-2，这样的点在第二、三象限，纵，这样的点在第二、三象限，纵坐标为坐标为1 1，这样的点在第一、二象限，所以点，这样的点在第一、二象限，所以点(-2(-2，1)1)在第二象在第二象限，故选限，故选B.B.2.(20122.(2012南通中考南通中考) )线段线段MNMN在直角坐标系中的位置如图所示，在直角坐标系中的位置如图所示，线段线段M M1 1N N
13、1 1与与MNMN关于关于y y轴对称，则点轴对称，则点M M的对应的点的对应的点M M1 1的坐标为的坐标为( )( )(A)(4(A)(4，2) (B)(2) (B)(4 4，2)2)(C)(C)(4 4，2) (D)(42) (D)(4，2)2)【解析】【解析】选选D D根据坐标系可得根据坐标系可得M M点坐标是点坐标是(-4(-4，-2)-2)，故点，故点M M的对的对应点应点M M1 1的坐标为的坐标为(4(4，-2).-2).3.(20113.(2011广安中考广安中考) )在直角坐标平面内的机器人接受指令在直角坐标平面内的机器人接受指令“,A,A”(0”(0，0A180)0A18
14、0)后的行动结果为：在原地后的行动结果为：在原地顺时针旋转顺时针旋转A A后，再向正前方沿直线行走后，再向正前方沿直线行走.若机器人的位置在若机器人的位置在原点，正前方为原点，正前方为y y轴的负半轴，则它完成一次指令轴的负半轴，则它完成一次指令2,602,60后后位置的坐标为位置的坐标为( )( )(A)(-1, ) (B)(-1, )(A)(-1, ) (B)(-1, )(C)( ,-1) (D)( ,1)(C)( ,-1) (D)( ,1)【解析】【解析】选选C.C.根据题意画出图形如图根据题意画出图形如图所示所示. .机器人由原点位置按指令机器人由原点位置按指令2,2,6060到达点到
15、达点M M的位置，作的位置，作MNyMNy轴于轴于点点N N，由题意可知，由题意可知MON=60MON=60，OM=2OM=2，所以所以ON=OMcos60=2 =1ON=OMcos60=2 =1，MN=OMsin60=MN=OMsin60=由于点由于点M M在第三象限，所以该点的坐标为在第三象限，所以该点的坐标为( ,-1).( ,-1).求函数自变量的取值范围求函数自变量的取值范围中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛函数自变量取值范围的确定方法函数自变量取值范围的确定方法(1)(1)函数关系式是整式，则取值范围是全体实数；函数关系式是整式，则取值范围是全体实数；(2)(2)函数关系式是分式
16、，取值范围应使分母不等于零；函数关系式是分式，取值范围应使分母不等于零；(3)(3)函数关系式是偶次根式，取值范围应使被开方数为非函数关系式是偶次根式，取值范围应使被开方数为非负数；负数；(4)(4)函数关系式为零指数或负整数指数，应使分母不为函数关系式为零指数或负整数指数，应使分母不为0 0；(5)(5)与实际问题有关的函数关系式，其自变量的取值范围与实际问题有关的函数关系式，其自变量的取值范围除了满足上述条件外，还应使实际问题有意义除了满足上述条件外，还应使实际问题有意义. .特特别别提提醒醒实际问题中的函数自变量的取值范围，主要考虑两个因素实际问题中的函数自变量的取值范围，主要考虑两个因
17、素(1)(1)自变量自身表示的意义如时间、用油量等不能为负自变量自身表示的意义如时间、用油量等不能为负数数(2)(2)问题中的限制条件此时多用不等式或不等式组来确问题中的限制条件此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围定自变量的取值范围【例【例2 2】(2012(2012万宁中考万宁中考) ) 函数函数y= y= 自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是_【教你解题】【教你解题】 有意义有意义x+3x+300，x-3x-3分母不为分母不为0 0x-10x-10，即，即x1x1答案答案x x-3-3且且x x11【对点训练】【对点训练】4.(20114.(2011来宾中考来宾中考) )使
18、函数使函数y= y= 有意义的取值范围是有意义的取值范围是 ( )( )(A)x-1 (B)x1(A)x-1 (B)x1(C)x1(C)x1且且x0 (D)x-1x0 (D)x-1且且x0x0【解析】【解析】选选A.A.由分母不为零，得由分母不为零，得x+10x+10，即，即xx1.1.5.(20125.(2012德阳中考德阳中考) )使代数式使代数式 有意义的有意义的x x的取值范围是的取值范围是( )( )(A)x0 (B)x (A)x0 (B)x (C)x0(C)x0且且x (D)x (D)一切实数一切实数【解析】【解析】选选C.C.要使代数式有意义，必须满足要使代数式有意义，必须满足解
19、得解得x0x0且且x x 故选故选C.C.6.(20126.(2012湘潭中考湘潭中考) )下列函数中，自变量下列函数中，自变量x x的取值范围是的取值范围是x3x3的是的是( )( )(A)y= (B)y=(A)y= (B)y=(C)y=x-3 (D)y=(C)y=x-3 (D)y=【解析解析】选选D.AD.A中中x x的取值范围是的取值范围是x3x3，B B中中x x的取值范围是的取值范围是x x3 3；C C中中x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .函数图象信息题函数图象信息题中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1.1.题目背景题目背景函数图象信息题函数图象信息题, ,通常
20、是以其他学科为背景，因此，熟悉通常是以其他学科为背景，因此，熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助相关学科的有关知识对解题很有帮助. .2.2.解题方法解题方法对于函数图象信息题对于函数图象信息题, ,要充分挖掘图象所含信息要充分挖掘图象所含信息, ,通过读图、通过读图、想图、析图，找出解题的突破口想图、析图，找出解题的突破口. .特特别别提提醒醒观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点的坐标的坐标. .【例【例3 3】(2011(2011内江中考内江中考) )小高小高从家骑自行车去学校上学，先走从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点
21、上坡路到达点A A，再走下坡路到，再走下坡路到达点达点B B，最后走平路到达学校，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所用的时间与路程的关系如图所示放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡所示放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是时间是( )( )(A)14(A)14分钟分钟 (B)17 (B)17分钟分钟(C)18(C)18分钟分钟 (D)20 (D)20分钟分钟【思路点拨】【思路点拨】分析题意，明确路程随时间的变化情况分析题意，明确路程随时间的变化情
22、况. .观察图象，观察图象，结合横轴和纵轴表示的意义，求出平路、上坡路、下坡路的速结合横轴和纵轴表示的意义，求出平路、上坡路、下坡路的速度，再求出返回时的时间度，再求出返回时的时间. .【自主解答】【自主解答】选选D.D.由图象可得上学时上坡、下坡、平路的路程由图象可得上学时上坡、下坡、平路的路程分别为分别为400 400 米、米、800 800 米、米、800 800 米，用的时间分别为米，用的时间分别为5 5分钟、分钟、4 4分分钟、钟、8 8分钟，所以上坡、下坡、平路的速度分别为分钟，所以上坡、下坡、平路的速度分别为80 80 米米/ /分钟、分钟、200 200 米米/ /分钟、分钟、
23、100 100 米米/ /分钟根据放学返回时平路、上坡、下分钟根据放学返回时平路、上坡、下坡的路程恰好是上学时平路、下坡、上坡的路程，可得返回时坡的路程恰好是上学时平路、下坡、上坡的路程，可得返回时平路、上坡、下坡的时间分别为平路、上坡、下坡的时间分别为8 8分钟、分钟、1010分钟、分钟、2 2分钟，所以分钟，所以总共需要总共需要2020分钟分钟. .【对点训练】【对点训练】7.(20127.(2012兰州中考兰州中考) )在物理实验课上在物理实验课上, ,小明用弹簧秤将铁块悬于小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中盛有水的水槽中, ,然后匀速向上提起然后匀速向上提起( (不考虑水的阻力不考虑
24、水的阻力),),直至铁直至铁块完全露出水面一定高度块完全露出水面一定高度. .下图能反映弹簧秤的读数下图能反映弹簧秤的读数y(y(单位：单位：N)N)与铁块被提起的高度与铁块被提起的高度x(x(单位：单位：cm)cm)之间的函数关系的大致图象是之间的函数关系的大致图象是( )( )【解析】【解析】选选C.C.铁块完全在水里时，弹簧秤的读数不变，慢慢露铁块完全在水里时，弹簧秤的读数不变，慢慢露出水面时，弹簧秤的读数逐渐增加，完全露出水面时，弹簧秤出水面时，弹簧秤的读数逐渐增加，完全露出水面时，弹簧秤的读数又是定值的读数又是定值. .8.(20128.(2012江西中考江西中考) )某人驾车从某人
25、驾车从A A地上高速公路前往地上高速公路前往B B地地, ,中途在中途在服务区休息了一段时间服务区休息了一段时间. .出发时油箱中存油出发时油箱中存油4040升升, ,到到B B地后发现油地后发现油箱中还剩油箱中还剩油4 4升升, ,则从出发后到则从出发后到B B地油箱中所剩油地油箱中所剩油y(y(升升) )与时间与时间t t( (小时小时) )之间函数的大致图形是之间函数的大致图形是( )( )【解析】【解析】选选C.C.休息的一段时间油箱中的油不变休息的一段时间油箱中的油不变, ,故故A A，B B不正确；不正确；休息后的油逐渐变少，故休息后的油逐渐变少，故D D不正确不正确. .9.(2
26、0119.(2011贵阳中考贵阳中考) )如图所示，货车匀速通过隧道如图所示，货车匀速通过隧道( (隧道长大于隧道长大于货车长货车长) )时，货车从进入隧道至离开隧道的时间时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x x与货车在隧道与货车在隧道内的长度内的长度y y之间的关系用图象描述大致是之间的关系用图象描述大致是( )( )【解析】【解析】选选A.A.随着时间随着时间x x的增加，货车在隧道内的长度的增加，货车在隧道内的长度y y先增大，先增大，后不变，最后减小后不变，最后减小. .【创新命题】创新命题】用坐标表示平移和旋转用坐标表示平移和旋转【例】【例】(2011(2011江西中考江西中考) )
27、把点把点A(-2A(-2，1)1)向上平移向上平移2 2个单位长度，个单位长度，再向右平移再向右平移3 3个单位长度后得到点个单位长度后得到点B B，点，点B B的坐标是的坐标是( )( )(A)(-5(A)(-5，3) (B)(13) (B)(1，3)3)(C)(1(C)(1，-3) (D)(-5-3) (D)(-5，-1)-1)【解题导引】【解题导引】根据根据“右加左减，上加下减右加左减，上加下减”确定点确定点B B的坐标的坐标. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.点点A(-2A(-2，1)1)向上平移向上平移2 2个单位长度，则其横坐个单位长度，则其横坐标不变标不变, ,纵坐标增大纵
28、坐标增大2 2，再向右平移，再向右平移3 3个单位长度，则其横坐标增个单位长度，则其横坐标增大大3,3,纵坐标不变，得点纵坐标不变，得点B B的坐标为的坐标为(1(1，3).3).【名师点评】【名师点评】通过对用坐标表示平移的分析与总结，我们可以通过对用坐标表示平移的分析与总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创新创新点拨点拨1.1.点的坐标变化与点的左右或上下平移密切相关，应点的坐标变化与点的左右或上下平移密切相关，应注意图形各个点的坐标变化与图形平移的关系注意图形各个点的坐标变化与图形平移的关系. .2.2.将一个图形进行平移或旋转将
29、一个图形进行平移或旋转, ,这个图形所有点的坐标这个图形所有点的坐标都要发生相应的变化都要发生相应的变化; ;反过来反过来, ,从图形上的点的坐标的从图形上的点的坐标的某种变化某种变化, ,也可以看出对这个图形进行了怎样的平移或也可以看出对这个图形进行了怎样的平移或旋转旋转. .解题解题启示启示 点的坐标变化与点平移、旋转的关系是数形结合思想点的坐标变化与点平移、旋转的关系是数形结合思想的应用的应用. .1.(20111.(2011宜昌中考宜昌中考) )如图，矩形如图，矩形OABCOABC的顶点的顶点O O为坐标原点，点为坐标原点，点A A在在x x轴上，点轴上，点B B的坐标为的坐标为(2(
30、2，1).1).如果将矩形如果将矩形OABC OABC 绕点绕点O O 旋转旋转180180，旋转后的图形为矩形，旋转后的图形为矩形OAOA1 1B B1 1C C1 1，那么点，那么点B B1 1的坐标为的坐标为( )( )(A)(2(A)(2，1)1)(B)(-2,1)(B)(-2,1)(C)(-2,-1)(C)(-2,-1)(D)(2(D)(2，-1)-1)【解析】【解析】选选C.C.矩形矩形OAOA1 1B B1 1C C1 1是由矩形是由矩形OABCOABC绕原点旋转绕原点旋转180180得到的，得到的，矩形矩形OABCOABC与矩形与矩形OAOA1 1B B1 1C C1 1关于原
31、点成中心对称，因此关于原点成中心对称，因此B B1 1的坐标为的坐标为(-2,-1).(-2,-1).2.(20122.(2012娄底中考娄底中考) )如图，如图，A A，B B的坐标分别为的坐标分别为(1(1，0)0)，(0(0，2)2)，若将线段，若将线段ABAB平移至平移至A A1 1B B1 1，A A1 1，B B1 1的坐标分别为的坐标分别为(2(2，a)a)，(b(b，3)3)，则，则a+b=_.a+b=_.【解析】【解析】AA，B B的坐标分别为的坐标分别为(1(1，0)0)，(0(0，2)2)，若将线段，若将线段ABAB平平移至移至A A1 1B B1 1，A A1 1，B
32、B1 1的坐标分别为的坐标分别为(2(2，a),(ba),(b，3)3)，可知线段，可知线段ABAB向向右平移了一个单位，向上平移了一个单位，则右平移了一个单位，向上平移了一个单位，则a=0a=01=11=1，b =0b =01=11=1，则，则a+b=1+1=2.a+b=1+1=2.答案：答案：2 23.(20113.(2011昆明中考昆明中考) )在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，ABCABC的位置如图所的位置如图所示，请解答下列问题：示，请解答下列问题：(1)(1)将将ABCABC向下平移向下平移3 3个单位长度，得到个单位长度，得到AA1 1B B1 1C C1 1，画出平移后，画出平移后的的AA1 1B B1 1C C1 1；(2)(2)将将ABCABC绕点绕点O O顺时针方向旋转顺时针方向旋转180180，得到，得到AA2 2B B2 2C C2 2，画出旋，画出旋转后的转后的AA2 2B B2 2C C2 2，并写出，并写出A A2 2点的坐标点的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)如图所示，如图所示，(2)(2)如图所示，如图所示，A A2 2坐标为坐标为(2(2，-3)-3)
