《《离散数学》课件：7-2-多项式的整除性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《离散数学》课件：7-2-多项式的整除性（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2 多项式的整除性多项式的整除性 1 1域上域上关于文字关于文字x的多项式的多项式设设F是是域域，x是是一一个个抽抽象象的的符符号号，F上上面面一一个文字个文字x的多项式形式如下：的多项式形式如下：a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an其其中中n，n-1，是是非非负负整整数数，系系数数a0，a1，anF。x的多项式可用的多项式可用(x)，g(x)等代表。等代表。注意：注意：1)若若n=0，则则此此多多项项式式只只有有一一个个“常常数数项项” a0，可看作是可看作是F中的元素中的元素a0。2)系数是系数是0的项可以删、可以添。的项可以删、可以添。2 2定义定义7.2.1 两
2、个多项式两个多项式(x)和和g(x)说是说是相等相等的的，即，即(x)=g(x)，如果可以添上一些系数，如果可以添上一些系数是是0的项使两个多项式完全一样。的项使两个多项式完全一样。结结论论：(x)=0当当且且仅仅当当所所有有系系数数a0，a1，an都是都是0。结结论论：若若(x)0，则则总总可可以以删删去去一一些些系系数数是是 0的的 项项 将将 (x)化化 为为 a0xn+a1xn-1+an-1x+an的的形形式式, ,其其中中a00，这这时时, ,a0和和n显显然都是唯一确定的。然都是唯一确定的。 多项式相等多项式相等3 3多项式运算多项式运算规定：规定：加加法法(x)+g(x)：(x)
3、与与g(x)的的同同次次项项的的系系数数相加。相加。乘乘法法(x)g(x)：(x)的的每每一一项项乘乘g(x)的的每每一一项项：axrbxs=abxr+s，然然后后合合并并同同次次项项，且以加号相联结。且以加号相联结。结结论论：域域F上上的的所所有有多多项项式式在在多多项项式式加加法法和和乘法下作成一个有壹的交换环，记为乘法下作成一个有壹的交换环，记为Fx。Fx包包含含F为为其其子子域域，F中中的的0就就是是Fx的的零零，F中中的的1就就是是Fx的的1，-(x)就就是是把把(x)的的所所有系数取负所得到的多项式。有系数取负所得到的多项式。 4 4多项式的次多项式的次定定义义7.2.2 若若(x
4、)0，且且已已化化为为a0xn+a1xn-1 +an-1x+an的的形形式式，其其中中a00，那那么么，a0称称为为(x)的的首首系系数数，n称称为为(x)的的次次数数，(x)的次数记为的次数记为次次(x)。 规定：规定：常数多项式常数多项式0的次数是的次数是-。例：例：0x3+2x2-1的次数是的次数是2；常数多项式；常数多项式4的的次数是次数是0.结论：结论：次次(x)+g(x)max(次次(x)，次，次g(x) 5 5次次(x)g(x)=次次(x)+次次g(x)证明证明：1)若若(x)0，g(x)0，设，设(x)=a0xn+a1xn-1 +an-1x+an，a00 g(x)=b0xm+b
5、1xm-1+bm-1x+bm，b00 故故(x)g(x)=a0b0xn+m+anbm，a0b00因此，次因此，次(x)g(x)=n+m=次次(x)+次次g(x) 2)若若(x)，g(x)中有一个是多项式中有一个是多项式0，则，则(x)g(x)=0，次，次(x)g(x)=-，由于，由于-+m=-, n+(-)=-, -+(-)=-故次故次(x)g(x)=次次(x)+次次g(x)。结论：结论：6 6定理定理7.2.1域域F上上x的多项式作成的环的多项式作成的环Fx是整区是整区。证明：证明：只要证明只要证明Fx中无零因子。中无零因子。若若(x)0，g(x)0，则则次次(x)-，次次g(x)-，故次故
6、次(x)g(x)=次次(x)+次次g(x)-，因而因而(x)g(x)0。7 7对对(x)=q(x)g(x)+r(x)，g(x)0，次，次r(x)次次g(x)，则，则q(x)与与r(x)是唯一确定的。是唯一确定的。证明：证明：若若(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，次，次r1(x)次次g(x)，则，则q1(x)g(x)+r1(x)=q(x)g(x)+r(x)从而，从而，(q1(x)-q(x)g(x)=r(x)-r1(x)若若q1(x)-q(x)0，则则次次(q1(x)-q(x)g(x)次次g(x)，但次但次(r(x)-r1(x)次次g(x)，产生矛盾。，产生矛盾。因之，因之，q1(x)-q(
7、x)=0，即即q1(x)=q(x)故，故，r1(x)=r(x)。 结论：结论：8 8习题习题7.2-4：试证域试证域试证域试证域F F上的多项式环上的多项式环上的多项式环上的多项式环FxFx的理想都是主理想。的理想都是主理想。的理想都是主理想。的理想都是主理想。证明：证明：证明：证明：设设设设I I是是是是FxFx的一个理想。若的一个理想。若的一个理想。若的一个理想。若I I中没有非零多项式，中没有非零多项式，中没有非零多项式，中没有非零多项式，则则则则I=I=00，它是由，它是由，它是由，它是由0 0生成的理想。若生成的理想。若生成的理想。若生成的理想。若I I中有非零多项式，设中有非零多项
8、式，设中有非零多项式，设中有非零多项式，设其中次数最低的为其中次数最低的为其中次数最低的为其中次数最低的为g(x)g(x)。对于它有两种情况：。对于它有两种情况：。对于它有两种情况：。对于它有两种情况：1 1) )次次次次g(xg(x)=0)=0，即，即，即，即g(x)=ag(x)=a F F，且，且，且，且a a 0 0。a a在在在在F F中有逆元中有逆元中有逆元中有逆元a a-1-1，a a-1-1a=1a=1 I I，故，故，故，故I=FxI=Fx，是由，是由，是由，是由1 1生成的主理想。生成的主理想。生成的主理想。生成的主理想。2 2) )次次次次g(xg(x) ) 0 0，任取，
9、任取，任取，任取f(xf(x) ) I I，存在，存在，存在，存在q(x), r(x)q(x), r(x) FxFx使得使得使得使得f(x)=q(x)g(x)+f(x)=q(x)g(x)+r(x)r(x)。因为。因为。因为。因为g(xg(x) ) I I，且，且，且，且I I是是是是FxFx的理想，的理想，的理想，的理想，推出推出推出推出r(xr(x) ) I I。由于。由于。由于。由于g(x)g(x)的取法知必有的取法知必有的取法知必有的取法知必有r(xr(x)=0)=0，因此：，因此：，因此：，因此：f(xf(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x) ) ( (g(x)g(x)。有。有。有
10、。有f(x)f(x)的任意性知的任意性知的任意性知的任意性知I I ( (g(x)g(x)。反。反。反。反之，之，之，之，g(x)g(x) I I，对任意，对任意，对任意，对任意h(xh(x) ) FxFx，g(x)h(x)g(x)h(x) I I，从而，从而，从而，从而(g(x(g(x) ) I I。综上知。综上知。综上知。综上知I=(I=(g(x)g(x)，证毕。，证毕。，证毕。，证毕。9 9域域F的多项式商环的多项式商环由该例题知多项式环由该例题知多项式环由该例题知多项式环由该例题知多项式环FxFx上的理想都是主理想，即上的理想都是主理想，即上的理想都是主理想，即上的理想都是主理想，即F
11、xFx上的理想都是上的理想都是上的理想都是上的理想都是I=(p(x)I=(p(x)的形式，其中的形式，其中的形式，其中的形式，其中p(xp(x)=a)=a0 0x xn n+a+a1 1x xn-1n-1+a an n, a, a0 0 0 0。那么域。那么域。那么域。那么域F F的多项式商环：的多项式商环：的多项式商环：的多项式商环：FxFx/I=f(x)+I/I=f(x)+I|f(x|f(x) ) FxFx，而，而，而，而f(x)=q(x)p(xf(x)=q(x)p(x)+r(x)+r(x)，f(xf(x)-r(x)-r(x) ) ( (p(x)p(x)，即，即，即，即f(x)+I=r(x
12、f(x)+I=r(x)+I)+I。所以。所以。所以。所以Fx/I=Fx/I=b b0 0x xn-1n-1+ +b b1 1x xn-2n-2+b+bn-2n-2x+bx+bn-1n-1+I +I | |b b0 0, b, b1 1, , b, , bn-1n-1 F =F = | |b b0 0, b, b1 1, , b, , bn-1n-1 FF这里，一个多项式这里，一个多项式这里，一个多项式这里，一个多项式r(xr(x)=b)=b0 0x xn-1n-1+b+b1 1x xn-2n-2+b bn-2n-2x+bx+bn-1n-1它它它它的次小于的次小于的次小于的次小于n n，上面加一
13、杠成上面加一杠成上面加一杠成上面加一杠成 是表示是表示是表示是表示 = =r(xr(x)+I)+I，它是模，它是模，它是模，它是模p(xp(x) )的剩余类。的剩余类。的剩余类。的剩余类。例如：例如：例如：例如：令令令令F F2 2=0,1=0,1，F F2 2上的多项式环记为上的多项式环记为上的多项式环记为上的多项式环记为F F2 2xx。令令令令p(xp(x)=1+x+x)=1+x+x2 2，则则则则F F上模上模上模上模1+x+x1+x+x2 2的多项式环的多项式环的多项式环的多项式环Fx/1+x+xFx/1+x+x2 2 =0, 1, x, 1+x0, 1, x, 1+x 。关于模的加
14、法与乘法运算如下表。关于模的加法与乘法运算如下表。关于模的加法与乘法运算如下表。关于模的加法与乘法运算如下表。1010F2x/(p(x)=F2x/(1+x+x2)，令，令I=(1+x+x2)，则则F2x/(p(x)=0+I, 1+I, x+I, 1+x+I= , , , 。其运算表与模其运算表与模p(x)的多项式环运算类似，只不过的多项式环运算类似，只不过是每一项多了理想是每一项多了理想I，即形如即形如ax+b+I= 。+ +0 01 1x x1+x1+x0 00 01 1x x1+x1+x1 11 10 01+x1+xx xx xx x1+x1+x0 01 11+x1+x 1+x1+xx x
15、1 10 0 0 01 1x x1+x1+x0 00 00 00 00 01 10 01 1x x1+x1+xx x0 0x x1+x1+x1 11+x1+x0 01+x1+x1 1x x1111多项式整除多项式整除定定 义义 7.2.3 若若 对对 (x)和和 g(x)有有 h(x)， 即即(x)=h(x)g(x)， 则则 称称 g(x)整整 除除 (x)， 即即g(x) (x)。 或或 说说 g(x)是是 (x)的的 因因 式式 ， (x)是是g(x)的的倍式倍式。结论：结论：1) a|(x)，aF，a0。2) (x)|0。 1212设设g(x)0，g(x) (x)，当当且且仅仅当当以以g
16、(x)除除(x)所得的余式为所得的余式为0。证证明明：若若(x)=q(x)g(x)+r(x)中中r(x)=0，即即(x)=q(x)g(x)，因而，因而g(x) (x)。若若g(x) (x)，则则有有h(x)使使(x)=h(x)g(x)，即即(x)=h(x)g(x)+0，次次0次次g(x)。由商和余式的唯一性知，由商和余式的唯一性知，h(x)即以即以g(x)除除(x)所得之商，而所得之商，而0即以即以g(x)除除(x)所得的所得的余式。余式。 定理定理7.2.21313整除性质整除性质1) 若若 g，g h，则，则 h。2) 若若 g，则，则 gh。3) 若若 g， h，则，则 gh。4) 若若
17、整除整除g1，gn，则则 h1g1+hngn。5) 若在一等式中，除某项外，其余各项都若在一等式中，除某项外，其余各项都是是的倍式，则该项也是的倍式，则该项也是的倍式。的倍式。 1414整除性质整除性质6) 若若 g，g ，则，则与与g只差一个非只差一个非0常常 数因子。数因子。证明：证明：由由 g，g=h1 f， 由由g ，f =h2 g，故，故， g=h1h2g，h1h2=1，所以所以次次h1h2=0，即次即次h1+次次h2=0，故故次次h1=0，次次h2=0，即即h1，h2是是非非0常常数数因子。因子。两两个个多多项项式式，如如果果只只差差一一个个非非0常常数数因因子子，则称它们是则称它
18、们是相通相通的。的。 1515整除性质整除性质定定义义7.2.4 若若d 1，d n，则则称称d是是1,n的的公公因因式式。如如果果d是是1,n的的公公因因式式，而而且且1，n的的任任意意公公因因式式整整除除d，则称则称d为为1，n的的最高公因最高公因。7)若若d和和d 都是都是1，n的最高公因，则的最高公因，则d 和和d相通。相通。 定理定理7.2.3 任意多项式任意多项式和和g必有最高公因。必有最高公因。定定理理7.2.4 ，g的的最最高高公公因因d中中可可以以表表为为，g的的倍倍式式和和，即即表表为为：d=+g，其其中中,都是多项式。都是多项式。 1616质式质式定义定义7.2.5 若若
19、 g，而，而不是常数也不和不是常数也不和g相相通，则说通，则说是是g的一个的一个真因式真因式。 定义定义7.2.6 设多项式设多项式p非常元素。非常元素。P说是一个说是一个质式质式或或不可约多项式不可约多项式，如果，如果p没有真因式。没有真因式。定理定理7.2.5 若若p是质式而是质式而p 1n，则，则p整除整除1，n之一。之一。1717互质互质定定义义7.2.7 若若1，n除除了了非非0常常元元素素外外没有公因式，则说没有公因式，则说1，n是互质的。是互质的。 1，n互质互质 iff其最高公因为非其最高公因为非0常元素常元素 iff其最高公因为其最高公因为1。 1818定定理理7.2.6 任
20、任一一非非常常数数多多项项式式恰恰有有一一法法表表为为质式的乘积。质式的乘积。“恰有一法恰有一法”：把相通的质式看作一样，：把相通的质式看作一样， 不考虑质因式的次序。不考虑质因式的次序。定定理理7.2.7 任任意意非非常常数数多多项项式式可可以以唯唯一一地地表为下面的形式：表为下面的形式：其中其中p1，p2pk是互不相通的质式，是互不相通的质式，r1，r2，rk是正整数。是正整数。 1919多项式的质式问题多项式的质式问题若若F中有无穷多个元素，则中有无穷多个元素，则Fx中便有无中便有无穷多个不相通的质式穷多个不相通的质式-对应整数环中欧对应整数环中欧几里得关于质数无穷多的定理。几里得关于质数无穷多的定理。Fx中有没有次数任意高的质式？中有没有次数任意高的质式？ 以下几节内，将对一些特殊的域以下几节内，将对一些特殊的域F回答这回答这一问题。一问题。 2020作业作业8P258-62121
