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1、第1页 共 45 页第三篇第三篇 导数及其应用导数及其应用 第第1节节 导数的概念及其运算导数的概念及其运算第2页 共 45 页1.导数的概念导数的概念(1)f(x)在在x=x0处的导数处的导数函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称其为函数称其为函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数,记作记作f(x0)或或y|x=x0,即即f(x0)= 基础知识梳理：基础知识梳理：第3页 共 45 页 (2)导函数导函数当当x变化时变化时,f(x)称为称为f(x)的导函数的导函数,则则f(x)= y =注意注意:导数是函数在导数是函数在x=x0处及其附近函数值的改变量处及其附
2、近函数值的改变量y与自变与自变量的改变量量的改变量x之比的极限之比的极限,它是一个局部性的概念它是一个局部性的概念. 则函数则函数y=f(x)在在x=x0处就有导数处就有导数,否则就没有导数否则就没有导数.第4页 共 45 页2.导数的几何意义导数的几何意义函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,y0)处的切线的处的切线的斜率斜率,过点过点P的切线方程为的切线方程为: y-y0=f(x0)(x-x0).注意：注意：求曲线过某点的切线方程，必须先判断点求曲线过某点的切线方程，必须先判断点是否在曲线上。若不在，则先设切点坐
3、标再求。是否在曲线上。若不在，则先设切点坐标再求。第5页 共 45 页3.几种常用函数的导数几种常用函数的导数(1)c=0(c为常数为常数);(2)(xn)=nxn-1(nN);(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=-sinx;(5)(ex)=ex;(6)(ax)=axlna;第6页 共 45 页4.导数运算法则导数运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);注意注意:关于导数的加减法则关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况可推广到有限多个情况,如如f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)等等.第
4、7页 共 45 页1.在平均变化率的定义中在平均变化率的定义中,自变量的增量自变量的增量x满足满足( )A.x0B.x0时时,是从右端趋近是从右端趋近,x0时时,是从左端趋近是从左端趋近,这这就是就是“附近附近”的意义的意义.答案答案:C考点训练：考点训练：第8页 共 45 页2.一物体的运动方程是一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段则在时间段2,2.1内相应的内相应的平均速度为平均速度为() A.0.41 B.3 C.4 D.4.1答案答案:D第9页 共 45 页3.设函数设函数f(x)可导可导,则则等于等于( )A.f(1)B.3f(1)C. f(1) D.f(3)答案答案:A第10
5、页 共 45 页4.已知函数已知函数f(x)在在x=1处的导数为处的导数为3,则则f(x)的解析式可能为的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1解析解析:先求先求f(x)的导函数的导函数,再代入验证再代入验证.当当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时时,f(x)=3(x-1)2+3且且f(1)=3(1-1)2+3=3.答案答案:A第11页 共 45 页5.(2010新课标全国新课标全国)曲线曲线y=x3-2x+1在点在点(1,0)处的切线方程处的切线方程为为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C
6、.y=2x-2 D.y=-2x+2解析解析:由题可知由题可知,点点(1,0)在曲线在曲线y=x3-2x+1上上,求导可得求导可得y=3x2-2,所以在点所以在点(1,0)处的切线的斜率处的切线的斜率k=1,切线过点切线过点(1,0),根据根据直线的点斜式可得切线方程为直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选故选A.答案答案:A第12页 共 45 页题型一题型一利用导数定义求导数利用导数定义求导数解题准备解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法法,应熟练掌握应熟练掌握,关键是变形关键是变形,找出分子与分母的对应关系找出分子与分母的对应关系
7、.典例研习：典例研习：第13页 共 45 页 解题感悟解题感悟利用定义法求导数利用定义法求导数,要先求出要先求出y,然后分离出与然后分离出与x无关的量无关的量,再求解再求解.第14页 共 45 页题型二题型二利用求导公式求导数利用求导公式求导数解题准备解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式运用可导函数求导法则和导数公式,求函数求函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的导数的基本步骤内的导数的基本步骤:(1)分析函数分析函数y=f(x)的结构和特征的结构和特征;(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导选择恰当的求导法则和导数公式求导;(3)整理得结果整理得结果.2.对较复杂的函数求导时
8、对较复杂的函数求导时,应先化简再求导应先化简再求导,特别是对数函数特别是对数函数真数是根式或分式时真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便式或整式求解更为方便.第15页 共 45 页第16页 共 45 页解解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx;(2)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3 ex+3xex-2xln2;=(ln3+1)(3e)x-2xln2; 第17页 共 45 页第18页 共 45 页类型三类型三导数的几何意义及应用导数的几何意义及应用
9、解题准备解题准备:求曲线切线方程的步骤是求曲线切线方程的步骤是:求导数求导数f(x);求斜率求斜率k=f(x0);写出切线方程写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0).但是要注意但是要注意,当函数当函数f(x)在在x=x0处不可导时处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切曲线在该点处并不一定没有切线线,同时还必须明确同时还必须明确P(x0,y0)为切点为切点.第19页 共 45 页分析分析求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线求出切线的斜率的斜率,再通过点斜式得切线方程再通过点斜式得切线方程.第20页 共 45 页第21页 共 45 页第22页 共
10、 45 页第23页 共 45 页 解题感悟解题感悟利用导数研究曲线的切线问题利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握一定要熟练掌握以下条件以下条件:(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐即已知切点坐标可求切线斜率标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上切点既在曲线上,又在切线上又在切线上.切线有可能和曲线还有其切线有可能和曲线还有其他的公共点他的公共点.第24页 共 45 页错源一错源一因忽视解题顺序而致错因忽视解题顺序而致错易错扫描：易错扫描：第25页 共 45 页 剖析剖析f(x)在点在点x0
11、处的导数处的导数f(x0),实际上是导函数实际上是导函数f(x)在在x=x0处的函数值处的函数值,即即f(x0)=f(x)|x=x0.故求故求f(x)在在x0处的处的导数导数f(x0),应先求应先求f(x)的导函数的导函数f(x),再将再将x=x0代入代入f(x)求求值值,顺序不能颠倒顺序不能颠倒.第26页 共 45 页技法一技法一活用导数定义活用导数定义【典例典例1】设设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),则则f(0)=_.技能指导：技能指导：第27页 共 45 页 解析解析=1232006.答案答案1232006第28页 共 45 页技法二技法二先化简再求导先化简再求导,优化
12、解题过程优化解题过程【典例典例2】求函数求函数y=cotx的导数的导数.解题切入点解题切入点对此题对此题,由于课本没有给出由于课本没有给出y=cotx的直接求导的直接求导公式公式,一些同学不知怎么办了一些同学不知怎么办了.其实其实,将原式化为用将原式化为用sinx与与cosx来表示的式子来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可然后再按照商的求导法则来求导即可求解求解.第29页 共 45 页第30页 共 45 页 方法与技巧方法与技巧一些常用求导的策略一些常用求导的策略:(1)多项式相乘型的函数求导多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公往往把多项式展开后再利用公式求导式求导.(2)以根式或分式形式出现的函数求导问题以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形先化成指数的形式再利用公式求导式再利用公式求导.(3)比较复杂的函数比较复杂的函数,往往需要先化简再求导往往需要先化简再求导.(4)对于某些没有给出求导公式的函数对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公可以先化为有求导公式的函数表示再求导式的函数表示再求导.第31页 共 45 页补充作业：补充作业：
