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1、心理与教育统计学心理与教育统计学第七章假设检验假设检验在统计方法中的地位一、假设检验的基本思想和原理什么是假设?(hypothesis)n对总体参数的具体数值所作的陈述q总体参数包括总总体体均均值值、比例比例、方差方差等q分析之前之前必需陈述我认为这种新药的疗效我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效比原有的药物更有效! !什么是假设检验?(hypothesis test)n先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程n有参数检验和非参数检验n逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理假设检验的基本思想. . . 因此我们拒因此我们拒因此我们拒因此我们拒因此我们拒
2、因此我们拒绝假设绝假设绝假设绝假设绝假设绝假设 = 50= 50= 50. . . 如果这是如果这是如果这是如果这是如果这是如果这是总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均值值值值值值样本均值样本均值样本均值样本均值样本均值样本均值 = 50= 50抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布H H H0 00这个值不像我这个值不像我这个值不像我这个值不像我这个值不像我这个值不像我们应该得到的们应该得到的们应该得到的们应该得到的们应该得到的们应该得到的样本均值样本均值样本均值样本均值样本均值样本均值 . .202020总体总体总体总体假设检验的过程抽取随机样
3、本抽取随机样本抽取随机样本抽取随机样本均值均值均值均值 x x = 20= 20我认为人口的平我认为人口的平均年龄是均年龄是5050岁岁 提出假设提出假设提出假设提出假设 拒绝假设拒绝假设 别无选择别无选择! 作出决策作出决策作出决策作出决策n课本例5-1n某校高中一年级试用一种新的教学法学习数学，根据实验结果知道，用原来的教学法，数学考试平均成绩为79分（记为m0），标准差为11分（记为s0 ），使用新的教学方法后，从中随机抽取参加试验的30人（记为n）,计算得到他们的数学平均成绩为84分（记为 ），能否从总体上说新的教学法与原来的教学法存在差异或者说新的教学法优于原来的教学法？H0 （原假
4、设）：新的教学法与原来的教学法不存在差异， m=m0H1 （备择假设） ：新的教学法与原来的教学法存在差异，m m0原假设(null hypothesis)n研究者想收集证据予以反对的假设n又称“0假设”n总是有符号 , 或 n表示为 H0qH0 ： = 某一数值 q例如, H0 ： 10cmn研究者想收集证据予以支持的假设n也称“研究假设”n总是有符号 , 或 n表示为 H1qH1 ： 某一数值，或 某一数值q例如, H1 ： 10cm，或 10cm备择假设备择假设(alternative hypothesis)n一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对
5、一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设提出假设解解解解解解：研研研究究究者者者想想想收收收集集集证证证据据据予予予以以以证证证明明明的的的假假假设设设应应应该该该是是是“ “ “生生生产产产过过过程程程不不不正正正常常常” ” ”。建建建立立立的的的原原原假设和备择假设为假设和备择假设为假设和备择假设为 H HH0 0 0 ： 10cm 10cm 10cm H HH1 1 1 ： 10cm 10cm 10cm n某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净
6、含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设解解解解解解：研研研究究究者者者抽抽抽检检检的的的意意意图图图是是是倾倾倾向向向于于于证证证实实实这这这种种种洗洗洗涤涤涤剂剂剂的的的平平平均均均净净净含含含量量量并并并不不不符符符合合合说说说明明明书书书中中中的的的陈陈陈述述述 。建建建立立立的的的原原原假假假设设设和和和备备备择择择假假假设设设为为为 H HH0 0 0 ： 500 500 500 H HH1 1 1 ： 500 500”或“”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed
7、 test)q备择假设的方向为“”，称为右侧检验右侧检验 双侧检验与单侧检验假假设双双侧检验单侧检验单侧检验左左侧检验右右侧检验原假设原假设H0: : = 0 0H0: : 0 0H0: : 0 0备择假设备择假设H1: : 0 0H1: : 0 0双侧检验与单侧检验m0临界值临界值 样本统计量样本统计量拒绝拒绝H H0 0抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布1 - 1 - 置信水平置信水平置信水平置信水平显著性水平和拒绝域(单侧检验 )m m00临界值临界值临界值 样本统计量样本统计量样本统计量拒绝拒绝拒绝H HH0 00抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布1 - 1 - 1 - 置
8、信水平置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量显著性水平和拒绝域(左侧检验 )m m00临界值临界值临界值 样本统计量样本统计量样本统计量拒绝拒绝拒绝H HH0 00抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布1 - 1 - 1 - 置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量观察到的样本统计量显著性水平和拒绝域(右侧检验 )n给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或z/2，t或t/2n将检
9、验统计量的值与 水平的临界值进行比较n作出决策q双侧检验：统计量 临界值，拒绝H0q左侧检验：统计量 临界值，拒绝H0思考题：思考题：n绘图解释说明在样本容量和显著水平都不绘图解释说明在样本容量和显著水平都不变的条件下，单侧检验犯变的条件下，单侧检验犯 错误的概率比错误的概率比双侧检验要小。双侧检验要小。什么是P 值?(P-value)n在原假设为真的条件下，检验统计量的观察值大于或等于其计算值的概率q双侧检验为分布中两侧面积的总和n反映实际观测到的数据与原假设H0之间不一致的程度n被称为观察到的(或实测的)显著性水平n决策规则：若p值 Z/2，则拒绝零假设H0 ；若Z Z/2，则接受零假设H
10、0。n一、总体服从正态分布，总体方差s2 已知n例5-4. 全市统一考试的数学平均分m0=62分，标准差s0 =10.2分，市内一所学校的90名学生在该次考试的平均成绩为68分，问该校成绩与全市平均成绩的差异是否显著（=0.05）?n解：n（1）提出假设nH0 ： m=62；H1 ： m 62n（2）计算统计量n（ 3） 由 显 著 性 水 平 =0.05， 查 表 得Z/2=1.96n（4） Z=5.58 1.96n一、总体服从正态分布，总体方差s2 已知n例5-5. 某高校参加同专业的统一考试，随机抽查64份问卷，由此求得平均成绩为69分，标准差为9.5分。已知该科全体考生成绩服从正态分布
11、，且总平均分为65分，问该校考生的平均成绩是否高于全体考生的平均水平（=0.05）?n解：n（1）提出假设nH0 ： m 65；H1 ： m65n（2）计算统计量n（3）由显著性水平=0.05，查表得Z=1.64n（4） Z=3.37 1.64n二、总体服从正态分布，总体方差s2 未知n设x1 , x2, xn 是来自正态总体N（m0，s2 ）的样本容量为n的随机样本，当方差未知时，可用其无偏估计量S2来代替。此时的假设检验成为t检验。n1. 假设检验的两个假设：nH0 ： m=m0（m0已知）nH1 ： m m0n2. 由于s2 未知，则先计算样本的方差S2，再计算统计量：n二、总体服从正态
12、分布，总体方差s2 未知n设x1 , x2, xn 是来自正态总体N（m0，s2 ）的样本容量为n的随机样本，当方差未知时，可用其无偏估计量S2来代替。此时的假设检验成为t检验。n3. 对于选定的显著性水平，自抽取样本中计算得到的自由度df=n-1,查t分布表得到临界值t/2（df） 。n4. 比较统计量与临界值t/2 ，若t t/2 ，则拒绝零假设H0 ；若 t t/2 ，则接受零假设H0。n二、总体服从正态分布，总体方差s2 未知n例5-6. 学生的学习成绩与教师的教学方法有关。某校一教师采用了一种他认为是新式有效的教学方法。经过一年的教学后，从该教师所教班级中随机抽取了6名学生的考试成绩
13、，分别为48.5，49.0，53.5，49.5，56.0，52.5，而在该学年考试中，全年级的总平均分数为52.0，试分析这种教学方法与未采用新教学方法的学生成绩有无显著性差异（考生成绩服从正态分布，取=0.05）?n解：计算样本均值为51.5，样本标准差S为2.98n（1）提出假设nH0 ： m=52；H1 ： m 52n（2）计算统计量n（ 3） 由 显 著 性 水 平 =0.05， 自 由 度 df=6-1=5,查 表 得t/2(5)=2.571n（4） t=0.41 t/2(5)=2.571n二、总体服从正态分布，总体方差s2 未知n例5-7. 某省进行数学竞赛，发现分数分布不是正态分
14、布。竞赛的总平均分是43.5分。某市参加竞赛的学生168人，平均分为45.1，S=18.7，问该市平均分与省平均分是否有显著差异（取=0.05）?n解：n（1）提出假设nH0 ： m=43.5；H1 ： m 43.5n（2）计算统计量n（ 3） 由 显 著 性 水 平 =0.05， ,查 表 得Z/2=1.96n（4） Z=1.11Z/2=1.96 是否已是否已知知小小小小小小样本容量样本容量n大大大大大大 是否已是否已知知否否否否否否 t 检验检验否否否否否否z 检验检验是是是是是是z 检验检验 是是是是是是z 检验检验总体均值的显著性检验总结假设假设双侧检验双侧检验左左侧检验右右侧检验假设
15、形式假设形式H0： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知： 未知：拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0大样本的总体均值显著性检验假设假设双侧检验双侧检验左左侧检验右右侧检验假设形式假设形式H0： =0H1 ： 0H0： 0H1 ： 0统计量统计量 已知： 未知：拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0注：注： 已知的拒绝域同大样本已知的拒绝域同大样本小样本的总体均值显著性检验n1. 一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平=
16、0.05 ，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？nH0 ： 0 0 = 1 =255nH1 ： 0 0 1n = 0.05nn = 40n临界值临界值:Z /2 /2= =1.961.96检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量: :z z0 01.961.96- -1.961.960.0250.025拒绝拒绝 H H0 0拒绝拒绝 H H0 00.0250.025决策决策决策决策: :结论结论结论结论: : |Z|=1.011.96|Z|=1.011.96，即接受原假设即接受原假设即接受原假设即接受原假设H H0 0样样本本提提供供的的证证据据表表明明：该该天天生生产的饮料符合标准要求产
17、的饮料符合标准要求 n2. 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差允许值为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？ (=0.01) 50个零件尺寸的误差数据个零件尺寸的误差数据 (mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991
18、.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86nH0 ： 1 1 0=1.35nH1 ： 1 1 2.33|Z|=2.60612.33，即拒绝原假设即拒绝原假设即拒绝原假设即拒绝原假设H H0 0新新机机床床加加工工的的零零件件尺尺寸寸的的平平均均误误差与旧机床相比有显著降低差与旧机床相比有显著降低决策决策决策决策: :结论结论结论结论: :-2.33-2.33z z0 0拒绝拒绝H H0 00.010.01P 值的图示0 0 0-2.33-2.33-
19、2.33=0.01=0.01=0.01z z z拒绝拒绝拒绝H HH0 00抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布1 - 1 - 1 - 计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量=-2.6061=-2.6061=-2.6061P P P 值值值P PP= =0.0045790.0045790.004579 n3.某一小麦品种的平均产量为5200kg/hm2 。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试种，得到的样本平均产量为5275kg/hm2，标准差为120/h
20、m2 。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高？ (=0.05) nH0 ： 5200nH1 ： 5200n = 0.05nn = 36n临界值临界值: Z 1.6451.645检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量: : |Z|=3.751.645|Z|=3.751.645，即拒绝原假设即拒绝原假设即拒绝原假设即拒绝原假设H H0 0 ( (P P = = 0.000088 0.000088 = 0.05) = 0.05)改改良良后后的的新新品品种种产产量量有有显显著提高。著提高。决策决策决策决策: :结论结论结论结论: :z z0 0拒绝拒绝H H0 00.050.051.6451.64
21、5抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布P P P = = = 0.000088 0.000088 0.000088 0 0 01.6451.6451.645 0.050.050.05拒绝拒绝拒绝H HH0 001 - 1 - 1 - 计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量计算出的样本统计量=3.75=3.75=3.75P P P 值值值P 值的图示n4. 一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对
22、一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？ 10个零件尺寸的长度个零件尺寸的长度 (cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3nH0 ： = 12nH1 ： 12n = 0.05ndf = 10 - 1 = 9n临界值临界值:t /2 /2.6.6检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量: : |t|=0.70352.262|t|=0.7035 Z0.01/2=2.58。n二、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12=s22n如果我们要检验零假设H0
23、 ： 1 = 2，而当总体方差相等即零假设成立的情况下，我们可以计算出两个样本平均数和两个样本方差。n从抽样分布的理论可知，下面的统计量将服从自由度为df=n1+n2-2的t分布。n二、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12=s22n根据以上信息，我们就可以根据给定的显著性水平以及计算得到的自由度df，查t分布表得到临界值t/2（df） 。n若t t/2 ，则拒绝零假设H0 ；若 t t/2 ，则接受零假设H0。n例5-9. 某校进行一项智力速度测验，共有19名学生参加，其中男生12人，女生7人。测验共200题，在规定时间里，答对1题记1分。测验结束后，得到以下测验成绩：n男生12人：83、
24、146、119、104、120、161、107、134、115、129、99、123；n女生7人：70、118、101、85、107、132、94；n试确定男女生平均成绩有无显著差异（ =0.05）n二、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12=s22n解：n（1）检验假设： H0 ： 1 = 2 ；H1 ： 1 2 n（2）计算统计量：n平均成绩1=120，平均成绩2=101； s12=445.82， s22=425.33n（3）给定的 =0.05，且df=12+7-2=17，查表t/2（17）= 2.11n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n如果方差不等，或者方差不齐性，如
25、何比较两总体的平均数差异呢？n在s12s22以及H0 ： 1 = 2 成立的条件下，上述统计量t不再服从自由度df=n1+n2-2的t分布。在这种情况下，我们应该采用下面两种近似的检验方法。n（1）Aspin-Welch检验。n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n（1）Aspin-Welch检验。n例5-10 为了对某门教学方法进行改革，某校对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班45人，采用教师面授的教学方法；乙班36人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学年后，用同一试题对两个班的学生进行测验，得到以下结果：甲班平均分69.5分，标准差为8.35分；一般平均分78.0分
26、，标准差为16.5分。试问两种教学方法其效果是否有显著性差异( =0.01)n解：n（1）检验假设为：H0 ： 1 = 2 ；H1 ： 1 2 n（2）计算检验统计量n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n例5-10 为了对某门教学方法进行改革，某校对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班45人，采用教师面授的教学方法；乙班36人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学年后，用同一试题对两个班的学生进行测验，得到以下结果：甲班平均分69.5分，标准差为8.35分；一般平均分78.0分，标准差为16.5分。试问两种教学方法其效果是否有显著性差异( =0.01)n解：n三、两组样本
27、相互独立，总体方差未知，且s12s22n例5-10 为了对某门教学方法进行改革，某校对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班45人，采用教师面授的教学方法；乙班36人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学年后，用同一试题对两个班的学生进行测验，得到以下结果：甲班平均分69.5分，标准差为8.35分；一般平均分78.0分，标准差为16.5分。试问两种教学方法其效果是否有显著性差异( =0.01)n解：（3）计算df，求出临界值。n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n如果方差不等，或者方差不齐性，如何比较两总体的平均数差异呢？n在s12s22以及H0 ： 1 = 2 成立的条件
28、下，上述统计量t不再服从自由度df=n1+n2-2的t分布。在这种情况下，我们应该采用下面两种近似的检验方法。n（2）Cochran-Cox检验。n这种检验方法用t/2(n1-1) 与t/2(n2-1)的加权平均数计算某种水平下的临界值。n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n例5-10 为了对某门教学方法进行改革，某校对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班45人，采用教师面授的教学方法；乙班36人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学年后，用同一试题对两个班的学生进行测验，得到以下结果：甲班平均分69.5分，标准差为8.35分；一般平均分78.0分，标准差为16.5分。试
29、问两种教学方法其效果是否有显著性差异( =0.01)n解：（3）计算df，求出临界值。2.6942.724n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n注：当n1和n2都是大样本时，t分布接近正态分布，此时可以不考虑两组方差是否相等，直接计算统计量n在零假设： H0 ： 1 = 2 成立的条件下，该统计量将接近服从标准正态分布。n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n例5-12 为了比较独生子女和非独生子女在学习方面的差异，随机抽取独生子女135人，非独生子女98人，然后统一进行智力测验，结果独生子女平均成绩为60.6，标准差为6，非独生子女平均数为59.8，标准差为10
30、.2，问独生子女与非独生子女在智力方面是否存在显著差异（ =0.05 ）？n解：n（1）检验假设： H0 ： 1 = 2 ；H1 ： 1 2 n（2）计算统计量：n三、两组样本相互独立，总体方差未知，且s12s22n例5-12 为了比较独生子女和非独生子女在学习方面的差异，随机抽取独生子女135人，非独生子女98人，然后统一进行智力测验，结果独生子女平均成绩为60.6，标准差为6，非独生子女平均数为59.8，标准差为10.2，问独生子女与非独生子女在智力方面是否存在显著差异（ =0.05 ）？n解：n（3）查出临界值： Z0.05/2=1.96n四、两组样本有相关假设假设双侧检验双侧检验左左侧检验右右侧检验假设形式假设形式H0： 2= 02 H1 ： 2 02H0： 2 02 H1 ： 2 02统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策 拒绝H0n五、样本方差与总体方差的检验假设假设双侧检验双侧检验左左侧检验右右侧检验假设形式假设形式H0：12/22=1H1 ： 12/221H0： 12/221H1 ：12/221 统计量统计量拒绝域拒绝域n六、两个总体方差比的检验F FF F1-1-1-1- F F 拒绝拒绝拒绝H HH0 00方差比方差比方差比方差比F F检验示意图检验示意图检验示意图检验示意图拒绝拒绝拒绝H HH0 00n六、两个总体方差比的检验
