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1、一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念某人射击一次，可能出现命中整数环的结果某人射击一次，可能出现命中整数环的结果有哪些？有哪些？引例引例1：其其结果可以用：结果可以用：0、1、2、 10 等这等这11个个数字表示。数字表示。引例引例2：某次产品检验，在某次产品检验，在100件可能有次品的产品中，件可能有次品的产品中，任意抽取任意抽取4件，则次品数的可能结果有哪些？件，则次品数的可能结果有哪些？其其结果可以用：结果可以用：0、1、2、3、4这这5个数个数字表示。字表示。射击出现的结果可射击出现的结果可 以用表示以用表示“环数环数”的一些数字来表示。的一些数字来表示。检验次品的结果可以
2、用表示检验次品的结果可以用表示“次品数次品数”的一些数字来表示。的一些数字来表示。 在不同的随机试验中，结果无法确定，因此，这在不同的随机试验中，结果无法确定，因此，这种随机试验的结果可以用一个变量来表示；种随机试验的结果可以用一个变量来表示；：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做那么这样的变量叫做随机变量随机变量。随机变量常用。随机变量常用希腊字母希腊字母 、等等表示。表示。1 1、定义、定义例例1中，射击的命中环数中，射击的命中环数是是一个随机变量一个随机变量比如：比如： =0， 表示命中表示命中0环环 =1， 表示命中表示命
3、中1环环 =10，表示命中表示命中10环环问问1：请你说明一下例：请你说明一下例2中的随机变量及它所表示的意义。中的随机变量及它所表示的意义。问问2：抛一枚硬币，可能出现的结果能用随机变量表示吗？：抛一枚硬币，可能出现的结果能用随机变量表示吗？随机变量的本质：对随机试验结果的随机变量的本质：对随机试验结果的“量化量化”表示。表示。2、离散型随机变量、连续型随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量定义：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序定义：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量。定义：定义： 随机变量可以取
4、某一区间内的一切值，这随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做样的随机变量叫做连续型随机变量连续型随机变量。一射击盘的直径为一射击盘的直径为40cm，某人射击一次，击中点某人射击一次，击中点与目标中心的偏差有哪些结果？与目标中心的偏差有哪些结果？问题：问题：偏差值偏差值可以取可以取0，+）的一切值。）的一切值。某林场树木最高达某林场树木最高达30 cm ，此林场树木的高度此林场树木的高度可能的结果有哪些？可能的结果有哪些？问题：问题：树木高度树木高度可以取（可以取（0，30的一切值。的一切值。3、随机变量的线性关系：、随机变量的线性关系：例例3：价格调整后，绍兴县出租汽车的起步价为
5、：价格调整后，绍兴县出租汽车的起步价为5元，行驶路程不超出元，行驶路程不超出3公里时车费为公里时车费为5元，若行元，若行驶路程超出驶路程超出3公里，则按每超出公里，则按每超出1公里收公里收2元计算元计算（超出不足（超出不足1公里部分按公里部分按1公里计算），设一司公里计算），设一司机一次接送旅客的行车路程机一次接送旅客的行车路程 （超出不足（超出不足1公里公里部分按部分按1公里计算）是一个随机变量，用公里计算）是一个随机变量，用表示表示他所收的车费他所收的车费。由题由题知：知： = 若若 是随机变量，是随机变量， =a +b, 其中其中 a , b 是常数，是常数，则则也是随机变量。也是随机变
6、量。例例4： 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果机变量所取的值所表示的随机试验的结果1）、五次天气预报中准确的次数）、五次天气预报中准确的次数；2）、）、一口袋中装有一口袋中装有15个白球，个白球，5个黑球，每次任摸一个黑球，每次任摸一球，直到摸出的是黑球为止的次数球，直到摸出的是黑球为止的次数；3）、上题中若改为每次任摸一球，若摸到黑球则结）、上题中若改为每次任摸一球，若摸到黑球则结束，若摸到白球则放回袋中继续任摸一球，直到摸到束，若摸到白球则放回袋中继续任摸一球，直到摸到黑球为止的次数黑球为止的次数；4）、）、车
7、床加工的零件尺寸与规定尺寸车床加工的零件尺寸与规定尺寸(mm)的偏差；的偏差；问：以上四个随机变量中哪些是离散型随机问：以上四个随机变量中哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变量？变量，哪些是连续型随机变量？练习：练习：1、写出下列各随机变量可能取的值，并说、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：（1）、从）、从10张已编号的卡片（从张已编号的卡片（从1号到号到10号）号）中任取中任取1张，被取出的卡片的号数张，被取出的卡片的号数；（2）、）、一个袋中装有一个袋中装有5个白球和个白球和5个黑球，从个黑球，从中任取
8、中任取3个，其中所含白球的个数个，其中所含白球的个数；（3）、）、抛掷两个骰子，所得点数之和抛掷两个骰子，所得点数之和；（4）、）、接连不断射击，首次命中目标需要的接连不断射击，首次命中目标需要的射击次数射击次数；（5）、）、某厂加工的某种钢管的外径与规定的某厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差外径尺寸之差。二、离散型随机变量的分布列二、离散型随机变量的分布列教学要求：理解并会求某些简单的离散型随机变量教学要求：理解并会求某些简单的离散型随机变量 的分布列；理解分布列的两个基本性质；的分布列；理解分布列的两个基本性质； 能根据分布列求事件的概率；理解与实能根据分布列求事件的概率；理解与实
9、 际相关的二项分布，二项分布是离散型际相关的二项分布，二项分布是离散型 随机变量的最重要的分布之一。随机变量的最重要的分布之一。教学重点：分布列的两个基本性质；理解二项分布。教学重点：分布列的两个基本性质；理解二项分布。引引例：例： 抛掷一个骰子，设得到的点数为抛掷一个骰子，设得到的点数为 ，则，则可能取可能取的值有的值有1，2，3，4，5，6. 虽然在抛掷骰子之前，我们不能确定随机变量虽然在抛掷骰子之前，我们不能确定随机变量会取哪会取哪一个值，但是却知道一个值，但是却知道取各值的取各值的概率都等于概率都等于1/6. 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 表
10、中指出了随机变量表中指出了随机变量可能取的值，以及可能取的值，以及取这些取这些值的概率。值的概率。 此此表表从概率的角度指出了从概率的角度指出了随机变量在随机试验中随机变量在随机试验中取值的分布状况取值的分布状况，称为，称为随机变量随机变量的概率分布的概率分布。1.定义：定义： 一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值取每一个值xi(i=1,2,)的概率的概率P（ =xi）=pi,则称表则称表 x1 x2 xi P p1 p2 pi 为为随机变量随机变量的的概率分布概率分布，简称为，简称为的分布列的分布列。 由概率的性质可知，任一离散
11、型随机变量的分由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面布列都具有下面两个性质两个性质：（1） pi0, i=1,2,;（2） p1+p2+=1例例 某一射手射击所得环数某一射手射击所得环数的分布如下：的分布如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22求此射手求此射手“射击一次命中环数射击一次命中环数7”的概率的概率P（ 7）。）。小结小结： 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。取这个范围内各个值的概率之和。 在一次随机试验中，某事件可能发
12、生也可能不发生，在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在在n次独立重复试验中这个事件发生的次数次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机是一个随机变量。我们知道，如果在一次试验中某事件发生变量。我们知道，如果在一次试验中某事件发生 的概率的概率是是p，那么在那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的次的概率是概率是P（ =k）=Cnkpkqn-k,其中其中k=0,1,n,q=1-p.于是于是得到随机变量得到随机变量的的概率分布如下：概率分布如下： 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq02.二项分布
13、二项分布由于由于Cnkpkqn-k恰好是二项展开式恰好是二项展开式1=(q+p)n= Cn0p0qn+ Cn1p1qn-1+ Cnkpkqn-k+ Cnnpnq0中的第中的第k+1项（这里项（这里k可取可取0,1,2,n）中的各个值，中的各个值，所以，称这样的随机变量所以，称这样的随机变量服从服从二项分布二项分布，记作，记作 B(n,p),其中其中n,p为参数，并记为参数，并记 Cnkpkqn-k=b(k;n,p).例如例如，抛掷一个骰子，得到任一确定点数（比如，抛掷一个骰子，得到任一确定点数（比如2点）点）的概率是的概率是1/6.重复抛掷骰子重复抛掷骰子n次，得到此确定点数的次次，得到此确定
14、点数的次数数服从二项分布，服从二项分布， B(n,1/6).又又如如，重复抛掷一枚硬币，重复抛掷一枚硬币n次，得到正面向上的次数次，得到正面向上的次数服从二项分布，服从二项分布， B(n,1/2).3.几何分布几何分布在次独立重复试验中，某事件在次独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验第一次发生时所作的试验次数次数也是一个取值为正整数的随机变量。也是一个取值为正整数的随机变量。 “ =k”表示表示在第在第k次次独立重复试验时事件独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第第一次发生。如果把第k次实验时事件次实验时事件A发生记为发生记为Ak， p（ Ak ）=p，那么那么于是得到随机变量于是
15、得到随机变量的概率分布如下：的概率分布如下：（k=0,1,2,q=1-p.） 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 称称服从几何分布，并记服从几何分布，并记g(k,p)=pqk-1检验检验p1+p2+=1例例 (1) 某人射击击中目标的概率是某人射击击中目标的概率是0.2，射击中每次，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目次射击中击中目标的次数不超过标的次数不超过5次的概率（精确到次的概率（精确到0.01）。）。例例 (2) 某人每次投篮投中的概率为某人每次投篮投中的概率为0.1，各次投篮的，各次投篮的结果互相独立。求他首次投篮投中
16、时投篮次数的分布结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在列，以及他在5次内投中的概率（精确到次内投中的概率（精确到0.01）。）。小结一：小结一：1、随机变量：随机试验的结果、随机变量：随机试验的结果随机变量的值随机变量的值2、随机变量的分类：、随机变量的分类：（1）离散型随机变量）离散型随机变量可列的值可列的值（2）连续型随机变量）连续型随机变量区间的值区间的值注：用随机变量来表示随机试验的结果时，注：用随机变量来表示随机试验的结果时，要注意其意义的完整性。要注意其意义的完整性。小结二小结二：（1）随机变量）随机变量的概率分布的概率分布（2）离散型随机变量的分布列两个性质）离散型随机变量的分布列两个性质（3）二项分布）二项分布作业作业：P92，3，4，5
