《高考数学 第八章 第五节 椭圆课件 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第八章 第五节 椭圆课件 文 北师大版（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 椭 圆1.1.椭圆的定义椭圆的定义设设F F1 1,F,F2 2，M M分别为平面内的两个定点与动点，若分别为平面内的两个定点与动点，若_=2a_=2a，且，且2a2a|F|F1 1F F2 2| |，则点，则点M M的集合为椭圆的集合为椭圆, ,_叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离|F|F1 1F F2 2| |叫作叫作椭圆的椭圆的_._.|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2| | 两个定点两个定点焦距焦距2.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质 图形图形标准方程标准方程_（a ab b0 0）_(a(ab b0)0) 图形图形简简单
2、单性性质质对称性对称性对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_范围范围_x_x_y_y_x_x_y y_ 顶点顶点A A1 1_，A A2 2_B B1 1_,_,B B2 2_A A1 1_,_,A A2 2_B B1 1_,_,B B2 2_坐标轴坐标轴原点原点-a-aa a-b-bb b-b-bb b-a-aa a(-a(-a，0)0)（a a，0 0）（0 0，-b-b）（0 0，b b）(0(0，-a) -a) （0 0，a a）(-b(-b，0 0）（b b，0 0） 图形图形简简单单性性质质轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为2a2a，a a叫作椭圆的长半轴长叫作椭圆
3、的长半轴长短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为2b2b，b b叫作椭圆的短半轴长叫作椭圆的短半轴长离心率离心率_a,b,ca,b,c的关系的关系a a2 2= _= _（0 0，1 1）b b2 2+c+c2 2判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1）平面内与两个定点）平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离之和等于常数的点的集合的距离之和等于常数的点的集合是椭圆是椭圆.( ).( )（2 2）椭圆上一点）椭圆上一点P P与两焦点与两焦点F F1 1,F,F2 2构成构成PFPF1 1F F2 2的周长为的周长为2a+2
4、c2a+2c（其中（其中a a为椭圆的长半轴长，为椭圆的长半轴长，c c为椭圆的半焦距）为椭圆的半焦距）.( ).( )（3 3）椭圆的离心率）椭圆的离心率e e越大，椭圆就越圆越大，椭圆就越圆.( ).( )（4 4）椭圆既是轴对称图形）椭圆既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .由椭圆的定义知由椭圆的定义知, ,当该常数大于当该常数大于|F|F1 1F F2 2| |时，其时，其轨迹才是椭圆轨迹才是椭圆, ,而常数等于而常数等于|F|F1 1F F2 2| |时，其轨迹为线段时，其轨迹为线段F F1 1F F2 2, ,常
5、数小常数小于于|F|F1 1F F2 2| |时时, ,不存在图形不存在图形. .(2)(2)正确正确. .由椭圆的定义得由椭圆的定义得,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又|F|F1 1F F2 2|=2c,|PF|=2c,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2|=2a+2c.|=2a+2c.(3)(3)错误错误. .因为因为 所以所以e e越大越大, ,则则 越小，越小，椭圆就越扁椭圆就越扁. .(4)(4)正确正确. .由椭圆的对称性知由椭圆的对称性知, ,其关于原点中心对称其关于原点中心对称, ,也关于两坐也关于两坐标
6、轴对称标轴对称. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）1.1.已知椭圆已知椭圆 上一点上一点P P到椭圆一个焦点到椭圆一个焦点F F1 1的距离为的距离为3,3,则则P P到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离为的距离为( )( )(A)2 (B)3 (C)5 (D)7(A)2 (B)3 (C)5 (D)7【解析【解析】选选D.aD.a=5,=5,且且|PF|PF1 1|=3,|PF|=3,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=10,|=10,|PF|PF2 2|=10-3=7.|=10-3=7.2.2.椭圆的焦点坐标为椭圆的焦点坐标为(-5,0)(-5,0)和
7、和(5,0),(5,0),椭圆上一点与两焦点的距椭圆上一点与两焦点的距离和是离和是26,26,则椭圆的方程为则椭圆的方程为( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析【解析】选选A.A.已知已知c=5,2a=26.a=13, c=5,2a=26.a=13, 又焦点在又焦点在x x轴上，故方程为轴上，故方程为3.3.“-3-3m m5 5”是是“方程方程 表示椭圆表示椭圆”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【
8、解析】选选B.B.方程方程 表示椭圆，表示椭圆，则则 -3-3m m5 5且且m1.m1.故方程故方程 表示椭圆表示椭圆, ,可得可得-3-3m m5 5成立，成立，但但-3-3m m5 5时时, ,如如m=1m=1却不表示椭圆却不表示椭圆, ,故选故选B.B.4.4.已知椭圆已知椭圆 的离心率的离心率 则则m m的值为的值为_._.【解析【解析】当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时,0,0m m5 5，a a2 2=5,b=5,b2 2=m,c=m,c2 2=5-m,=5-m,又又 解得解得m=3.m=3.当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时,m,m5 5，a a2 2=m,b=m,b2 2=5
9、=5，c c2 2=m-5,=m-5,又又 解得解得综上可知综上可知m=3m=3或或 答案：答案：3 3或或5.5.已知椭圆的短轴长为已知椭圆的短轴长为6 6，离心率为，离心率为 则椭圆的一个焦点到长则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为轴端点的距离为_._.【解析【解析】因为椭圆的短轴长为因为椭圆的短轴长为6 6，所以，所以b=3. b=3. 又因为离心率为又因为离心率为 所以所以 又因为又因为a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, , 解解组成的方程组得：组成的方程组得：a=5,c=4.a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：所以，焦点到长轴端点的距离为：a+ca+c=9=9或或a-
10、c=1.a-c=1.答案：答案：9 9或或1 1考向考向 1 1 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013西安模拟）已知两定点西安模拟）已知两定点F F1 1（-1-1，0 0），），F F2 2（1 1，0 0），且），且|F|F1 1F F2 2| |是是|PF|PF1 1| |与与|PF|PF2 2| |的等差中项，则动的等差中项，则动点点P P的轨迹方程是的轨迹方程是_._.（2 2）已知）已知F F1 1,F,F2 2是椭圆是椭圆C: C: （a ab b0 0）的两个）的两个焦点焦点,P,P为椭圆为椭圆C C上的一点，且上的一点，且 若若
11、PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9,9,则则b=_.b=_.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先寻找到动点先寻找到动点P P与两定点与两定点F F1 1，F F2 2满足的等量关满足的等量关系，再根据椭圆的定义求方程系，再根据椭圆的定义求方程. .(2)(2)关键抓住点关键抓住点P P为椭圆为椭圆C C上的一点，从而依据定义有上的一点，从而依据定义有|PF|PF1 1| | +|PF+|PF2 2|=2a,|=2a,再利用再利用 求出求出|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，结合三角形，结合三角形面积，即得面积，即得b b值值. .【规范解答【规范解答】（1 1）由）由|F|F
12、1 1F F2 2| |是是|PF|PF1 1| |与与|PF|PF2 2| |的等差中的等差中项知：项知：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=4|=4|F|F1 1F F2 2| |，故动点，故动点P P的轨迹是以定点的轨迹是以定点F F1 1（-1-1，0 0），），F F2 2（1 1，0 0）为焦点，长轴长为）为焦点，长轴长为4 4的椭圆，故的椭圆，故其方程为其方程为答案：答案：(2)(2)由题意知由题意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a, |=2a, |PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2
13、 2=4c=4c2 2, ,(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,2|PF2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2. .|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, , b=3.b=3.答案：答案：3 3【互动探究【互动探究】将本例题将本例题(2)(2)中条件中条件“ ”“”“PFPF1 1F F2 2的的面积为面积为9 9”分别改为分别改为“F F1 1PFPF2 2=60=60”“”“ ”, ,则则结果如何结果如何? ?【解析【解
14、析】由题意得由题意得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又F F1 1PFPF2 2=60=60, ,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos 60|cos 60=|F=|F1 1F F2 2| |2 2, ,(PF(PF1 1+PF+PF2 2) )2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, ,|PF|PF1 1|PF|PF2 2|= b|= b2 2,
15、 ,【拓展提升【拓展提升】(1)(1)(2)(2)焦点三角形的应用焦点三角形的应用椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三焦点三角形角形”，利用定义可求其周长，利用定义可求其周长; ;利用定义和余弦定理可求利用定义和余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2|;|;通过整体代入可求其面积等通过整体代入可求其面积等. .【提醒【提醒】利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a2a|F|F1 1F F2 2| |这一条件这一条件. .【变式备选【变式备选】在在ABCABC中，点中，点B(-12
16、,0),C(12,0),B(-12,0),C(12,0),且且AC,ABAC,AB边边上的中线长之和等于上的中线长之和等于39,39,则则ABCABC的重心的轨迹方程为的重心的轨迹方程为_._.【解析【解析】如图如图, ,设设M M是是ABCABC的重心，的重心，BDBD是是ACAC边上的中线，边上的中线，CECE是是ABAB边上的中线边上的中线, ,由重心的性质知由重心的性质知|BM|= |BD|,|CM|= |CE|.|BM|= |BD|,|CM|= |CE|.于是于是|MB|+|MC|= |BD|+ |CE|MB|+|MC|= |BD|+ |CE|= (|BD|+|CE|)= = (|B
17、D|+|CE|)= 39=26.39=26.又又2626|BC|=24,|BC|=24,根据椭圆的定义知，点根据椭圆的定义知，点M M的轨迹是以的轨迹是以B B，C C为焦点的椭圆为焦点的椭圆. .2a=|MB|+|MC|=26,a=13.2a=|MB|+|MC|=26,a=13.又又2c=|BC|=24,2c=|BC|=24,c=12.c=12.bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=13=132 2-12-122 2=25.=25.故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为答案：答案： 考向考向 2 2 椭圆的标准方程与简单性质椭圆的标准方程与简单性质【典例【典例2 2】（1 1）（）（2012
18、2012江西高考）椭圆江西高考）椭圆的左、右顶点分别是的左、右顶点分别是A,BA,B，左、右焦点分别是，左、右焦点分别是F F1 1，F F2 2，若，若|AF|AF1 1|,|,|F|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等比数列，则此椭圆的离心率为成等比数列，则此椭圆的离心率为_._.(2)(2)（20122012广东高考）在平面直角坐标系广东高考）在平面直角坐标系xOyxOy中，已知椭圆中，已知椭圆C:C: 的离心率的离心率 且椭圆且椭圆C C上的点到上的点到Q Q（0 0，2 2）的距离的最大值为的距离的最大值为3.3.求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；在椭圆在椭圆C C
19、上，是否存在点上，是否存在点M M（m,nm,n）使得直线）使得直线l:mx+ny:mx+ny=1=1与圆与圆O:xO:x2 2+y+y2 2相交于不同的两点相交于不同的两点A,BA,B，且，且OABOAB的面积最大？若的面积最大？若存在，求出点存在，求出点M M的坐标及相对应的的坐标及相对应的OABOAB的面积；若不存在，请的面积；若不存在，请说明理由说明理由. .【思路点拨【思路点拨】（1 1）根据椭圆的简单性质，利用数形结合的思）根据椭圆的简单性质，利用数形结合的思想想, ,将将|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|用含用含a,ca,c的代数式
20、表示，再由其成等的代数式表示，再由其成等比数列构建比数列构建a,ca,c的方程的方程, ,转化为关于离心率转化为关于离心率e e的方程，得的方程，得e.e.（2 2）先根据先根据 将待定系数将待定系数a a，b b减为一个系数减为一个系数b b，再根据，再根据椭圆椭圆C C上任意点上任意点P(x,yP(x,y) )满足椭圆满足椭圆C C的方程，将的方程，将|PQ|PQ|中两个变量减中两个变量减为关于为关于y y的函数，求其最大值，从而求出的函数，求其最大值，从而求出b,b,得得C C的方程的方程; ;可求出原点到直线可求出原点到直线l的距离的距离, ,进而求出进而求出|AB|AB|的长，即可求
21、出的长，即可求出 再根据再根据M(m,nM(m,n) )在椭圆上，在椭圆上，从而确定出从而确定出m m的值，的值，n n的值的值. .问题得解问题得解. .【规范解答【规范解答】（1 1）由简单性质知）由简单性质知|AF|AF1 1|=a-c,|F|=a-c,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,|F|F1 1B|=a+cB|=a+c, ,又三者成等比数列又三者成等比数列, ,所以所以|F|F1 1F F2 2| |2 2=|AF=|AF1 1|F|F1 1B|,B|,即即4c4c2 2=a=a2 2-c-c2 2,a,a2 2=5c=5c2 2, ,所以所以e= e= 答案：答案：(2)
22、(2)由由 得得 椭圆椭圆C: C: 即即x x2 2+3y+3y2 2=3b=3b2 2. .设设P(x,yP(x,y) )为椭圆为椭圆C C上任意一点上任意一点, ,则则若若b b1 1，则，则-b-b-1-1，当当y=-by=-b时时, , 又又b b0 0，得，得b=1b=1( (舍去舍去),),若若b1b1，则，则-b-1-b-1，当当y=-1y=-1时，时， 得得b=1,b=1,椭圆椭圆C C的方程为的方程为假设存在点假设存在点M(m,nM(m,n) )满足题意满足题意, ,则则即即设原点到直线设原点到直线l:mx+ny:mx+ny=1=1的距离为的距离为d,d,则则当且仅当当且仅
23、当 即即 亦即亦即时时, , M( )M( )或或M( ).M( ).显然存在这样的点显然存在这样的点M( )M( )或或M( )M( )或或M( )M( )或或M( )M( )，使，使S SAOBAOB最大，最大值为最大，最大值为【拓展提升【拓展提升】1.1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x x轴上，还是在轴上，还是在y y轴上，轴上，还是两个坐标轴都有可能还是两个坐标轴都有可能. .（2 2）设方程：根据上述判断设出方程）设方程：根据上述判断设出方程. .（3 3）找关系：
24、根据已知条件，建立关于）找关系：根据已知条件，建立关于a,b,ca,b,c的方程组的方程组. .（4 4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. .【提醒【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为为 也可设为也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A=1(A0,B0,B0 0且且AB).AB).2.2.利用椭圆简单性质的注意点及技巧利用椭圆简单性质的注意点及技巧(1)(1)注意椭圆简单性质中的不等关系注意椭圆简单性质中的不等关系对于椭圆标准方程中对于椭圆标准方程中x,yx,y
25、的范围，离心率的范围等，在求与椭的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系些不等关系. .(2)(2)利用椭圆简单性质的技巧利用椭圆简单性质的技巧求解与椭圆简单性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当求解与椭圆简单性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系之间的内在联系. .3.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是
26、依据题设得出一个关于求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,ca,b,c的等式（或不等式），利用的等式（或不等式），利用a a2 2=b=b2 2+c+c2 2消去消去b b，即可求得离，即可求得离心率或离心率的范围心率或离心率的范围. .【变式训练【变式训练】(2013(2013淮南模拟淮南模拟) )已知椭圆已知椭圆C C1 1: :（a ab b0 0）的右焦点为）的右焦点为F,F,上顶点为上顶点为A A，P P为为C C1 1上任一点，上任一点，MNMN是是圆圆C C2 2:x:x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1的一条直径，若与的一条直径，若与AFAF平行
27、且在平行且在y y轴上的截距轴上的截距为为 的直线的直线l恰好与圆恰好与圆C C2 2相切相切. .(1)(1)求椭圆求椭圆C C1 1的离心率的离心率. .(2)(2)若若 的最大值为的最大值为49,49,求椭圆求椭圆C C1 1的方程的方程. .【解析【解析】(1)(1)由题意可知直线由题意可知直线l的方程为的方程为因为直线因为直线l与圆与圆C C2 2:x:x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1相切，相切，即即a a2 2=2c=2c2 2, ,从而从而(2)(2)设设P(x,yP(x,y),),则则即即又又当当c3c3时时, , 解得解得c=4,c=4,此时椭圆方程为此时椭圆方
28、程为当当0 0c c3, 3, 但但 故舍去故舍去. .综上所述，椭圆综上所述，椭圆C C1 1的方程为的方程为考向考向 3 3 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【典例【典例3 3】(2013(2013南昌模拟南昌模拟) )设椭圆设椭圆C C1 1: : （a ab b0 0）的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是F F1 1,F,F2 2，下顶点为，下顶点为A,A,线段线段OAOA的中点为的中点为B B(O(O为坐标原点为坐标原点),),如图如图. .若抛物线若抛物线C C2 2:y=x:y=x2 2-1-1与与y y轴的交点为轴的交点为B B，且经过且经过F F1 1，F F2 2点
29、点. .(1)(1)求椭圆求椭圆C C1 1的方程的方程. .(2)(2)设设M M（0 0， ）,N,N为抛物线为抛物线C C2 2上的一动点，过点上的一动点，过点N N作抛物线作抛物线C C2 2的切线交椭圆的切线交椭圆C C1 1于于P P，Q Q两点，求两点，求MPQMPQ面积的最大值面积的最大值. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)求出求出y=xy=x2 2-1-1与与x x轴，轴，y y轴的交点坐标得到轴的交点坐标得到c,bc,b的值，再根据的值，再根据a a2 2=b=b2 2+c+c2 2求出求出a,a,代入代入C C1 1的方程的方程. .(2)(2)设设N(t,tN(t,
30、t2 2-1)-1)，建立过点，建立过点N N的直线方程，与椭圆方程联立，的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系设而不求，整体代入求得利用根与系数的关系设而不求，整体代入求得|PQ|PQ|，进而，进而用点到直线的距离公式求出点用点到直线的距离公式求出点M M到直线到直线PQPQ的距离的距离d,d,从而得从而得S SMPQMPQ = |PQ|d = |PQ|d求解求解. .【规范解答【规范解答】（1 1）由题意可知）由题意可知B(0,-1)B(0,-1)，则，则A A（0 0，-2-2）, ,故故b=2.b=2.令令y=0y=0得得x x2 2-1=0,-1=0,即即x=x=1 1，则，
31、则F F1 1(-1,0),F(-1,0),F2 2(1,0)(1,0)，故，故c=1.c=1.所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2=5.=5.于是椭圆于是椭圆C C1 1的方程为的方程为: :（2 2）设）设N(t,tN(t,t2 2-1),-1),由于由于y=xy=x2 2-1,-1,y=2x,y=2x,知直线知直线PQPQ的方程为的方程为: :y-(ty-(t2 2-1)=2t(x-t),-1)=2t(x-t),即即y=2tx-ty=2tx-t2 2-1.-1.代入椭圆方程代入椭圆方程 整理得整理得: :其中其中=400t=400t2 2(t(t2 2+1)+1)2 2-80
32、(1+5t-80(1+5t2 2) )(t(t2 2+1)+1)2 2-4-4=80(-t=80(-t4 4+18t+18t2 2+3),+3),设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),则则故故设点设点M M到直线到直线PQPQ的距离为的距离为d,d,则则所以所以,MPQ,MPQ的面积的面积当当t t2 2=9=9即即t=t=3 3时取到时取到“= =”，经检验此时，经检验此时0 0，满足题意，满足题意. .综上可知综上可知,MPQ,MPQ的面积的最大值为的面积的最大值为【拓展提升【拓展提升】1.1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤判断直线与椭圆位置
33、关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程第一步：确定直线与椭圆的方程; ;第二步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：联立直线方程与椭圆方程；第三步：消元得出关于第三步：消元得出关于x x（或（或y y）的一元二次方程；）的一元二次方程；第四步：当第四步：当0 0时，直线与椭圆相交；当时，直线与椭圆相交；当=0=0时，直线与椭时，直线与椭圆相切；当圆相切；当0 0时，直线与椭圆相离时，直线与椭圆相离. .2.2.直线被椭圆截得的弦长公式直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为设直线与椭圆的交点坐标为A(xA(x1 1,y,y1 1),B),B（x x2 2，y y2 2）, ,则则 (k
34、(k为直线斜率为直线斜率).). 3.3.直线与椭圆相交时有关弦长，中点问题的处理方法直线与椭圆相交时有关弦长，中点问题的处理方法【提醒【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式情况下进行的，不要忽略判别式. .【变式训练【变式训练】已知椭圆已知椭圆C: C: 的离心率为的离心率为椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)已知动直线已知动直线y=k(x+1)y=k(x+1)与椭圆与椭圆C C相交于
35、相交于A,BA,B两点两点. .若线段若线段ABAB中点的横坐标为中点的横坐标为 求斜率求斜率k k的值的值; ;已知点已知点M M（ ，0 0）, ,求证求证: : 为定值为定值. .【解析【解析】（1 1）因为）因为 满足满足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, , 解得解得 则椭圆则椭圆C C方程为方程为（2 2）设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则将则将y=k(x+1)y=k(x+1)代入代入 中得中得(1+3k(1+3k2 2)x)x2 2+6k+6k2 2x+3kx+3k2 2-5=0,-5=0,=36k=36k4 4-4(3
36、k-4(3k2 2+1)(3k+1)(3k2 2-5)-5)=48k=48k2 2+20+200,0,因为因为ABAB中点的横坐标为中点的横坐标为所以所以 解得解得所以所以【满分指导【满分指导】直线与椭圆相交的综合问题直线与椭圆相交的综合问题【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012陕西高考陕西高考) )已知椭圆已知椭圆C C1 1: :椭圆椭圆C C2 2以以C C1 1的长轴为短轴，且与的长轴为短轴，且与C C1 1有相同的离心率有相同的离心率. .(1)(1)求椭圆求椭圆C C2 2的方程的方程. .(2)(2)设设O O为坐标原点，点为坐标原点，点A A，B B分别在椭圆分
37、别在椭圆C C1 1和和C C2 2上，上，求直线求直线ABAB的方程的方程. .【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】(1)(1)由已知可设椭圆由已知可设椭圆C C2 2的方程为的方程为 2 2分分其离心率为其离心率为 故故 = = 则则a=4,a=4, 4 4分分故椭圆故椭圆C C2 2的方程为的方程为 . . 5 5分分（2 2）方法一）方法一:A:A，B B两点的坐标分别记为（两点的坐标分别记为（x xA A,y,yA A）,(x,(xB B,y,yB B),),由由 及及(1)(1)知，知，O O，A A，B B三点共线且三点共线且点点A A，B B不在不在y y轴上轴上, ,
38、因此可设直线因此可设直线ABAB的方程为的方程为y=kxy=kx. .7 7分分将将y=kxy=kx代入代入 中中, ,得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2=4=4，所以，所以 . . 8 8分分将将y=kxy=kx代入代入 中中, ,得得(4+k(4+k2 2)x)x2 2=16,=16,所以所以 . .9 9分分又由又由 1010分分解得解得k=k=1 1， 1111分分故直线故直线ABAB的方程为的方程为y=xy=x或或y=-x. y=-x. 1212分分方法二方法二:A,B:A,B两点的坐标分别记为两点的坐标分别记为(x(xA A,y,yA A) )，(x(xB B,y,yB
39、B) )，由由 及（及（1 1）知，）知，O O，A A，B B三点共线且三点共线且点点A,BA,B不在不在y y轴上轴上, ,因此可设直线因此可设直线ABAB的方程为的方程为y=kxy=kx. . 7 7分分将将y=kxy=kx代入代入 中，得中，得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2=4=4，所以，所以 , ,8 8分分由由 得得 , ,9 9分分将将 代入代入 中，得中，得 即即4+k4+k2 2=1+4k=1+4k2 2, , 1010分分解得解得k=k=1 1，1111分分故直线故直线ABAB的方程为的方程为y=xy=x或或y=-x. y=-x. 1212分分【失分警示【失分警示
40、】 ( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20121.(2012新课标全国卷）设新课标全国卷）设F F1 1,F,F2 2是椭圆是椭圆E:E:的左、右焦点，的左、右焦点，P P为直线为直线 上一点，上一点，F F2 2PFPF1 1是底角为是底角为3030的等腰三角形，则的等腰三角形，则E E的离心率为的离心率为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由题意可得由题意可得|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|,|,2.(20122.(2012山东高考）已知椭圆山东高考）已知椭圆 的离心的离心率为率为 .
41、.双曲线双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1的渐近线与椭圆的渐近线与椭圆C C有四个交点，以这有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为四个交点为顶点的四边形的面积为1616，则椭圆，则椭圆C C的方程为的方程为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析【解析】选选D.D.因为椭圆的离心率为因为椭圆的离心率为椭圆方程为椭圆方程为x x2 2+4y+4y2 2=4b=4b2 2. .又双曲线又双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1的渐近线方程为的渐近线方程为x xy y=0,=0,渐近线渐近线x xy y=0=0与椭圆与椭圆x x2 2+4y+4y2
42、 2=4b=4b2 2在第一象限的交点为在第一象限的交点为( ).( ).由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为椭圆椭圆C C的方程为的方程为3.3.（20132013西安模拟）短轴长为西安模拟）短轴长为 离心率离心率 的椭圆的两焦的椭圆的两焦点为点为F F1 1，F F2 2，过，过F F1 1作直线交椭圆于作直线交椭圆于A A，B B两点，则两点，则ABFABF2 2的周长的周长为为_._.【解析【解析】由题知由题知 即即 解得解得由椭圆的定义知由椭圆的定义知ABFABF2 2的周长为的周长为答案：答案：6 64.4.（20122012天津
43、高考）已知椭圆天津高考）已知椭圆 点点P( )P( )在椭圆上在椭圆上. .(1)(1)求椭圆的离心率求椭圆的离心率. .(2)(2)设设A A为椭圆的左顶点，为椭圆的左顶点，O O为坐标原点，若点为坐标原点，若点Q Q在椭圆上且满足在椭圆上且满足|AQ|=|AO|AQ|=|AO|，求直线，求直线OQOQ的斜率的值的斜率的值. .【解析【解析】(1)(1)因为点因为点P( )P( )在椭圆上在椭圆上, ,故故 可得可得（2 2）设直线）设直线OQOQ的斜率为的斜率为k,k,则其方程为则其方程为y=kxy=kx，设点，设点Q Q的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，由条件得，由条件
44、得 整理得整理得 由由|AQ|=|OA|,A(-a,0),y|AQ|=|OA|,A(-a,0),y0 0=kx=kx0 0，得，得 整理得整理得xx0 00, 0, 代入代入整理得整理得由（由（1 1）知）知 故故即即 所以直线所以直线OQOQ的斜率为的斜率为1.1.设椭圆设椭圆 的离心率为的离心率为 右焦点右焦点F(c,0),F(c,0),方程方程axax2 2+bx-c=0+bx-c=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x x1 1,x,x2 2, ,则点则点P P（x x1 1,x,x2 2） ( )( )(A)(A)必在圆必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2上上(B)(B)必在圆
45、必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2外外(C)(C)必在圆必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2内内(D)(D)以上三种情形均有可能以上三种情形均有可能【解析【解析】选选C.C.由由得得 所以所以由点由点P(xP(x1 1,x,x2 2) )到圆心到圆心(0,0)(0,0)的距离为的距离为所以点所以点P P在圆在圆x x2 2+y+y2 2=2=2内内. . 2.2.如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，点中，点A A为椭圆为椭圆E E： 的左顶点，的左顶点，B B，C C在椭圆在椭圆E E上，若四边形上，若四边形OABCOABC为平行四边形，且为平行四边形，且OA
46、BOAB3030，则椭圆，则椭圆E E的离心率等于的离心率等于_._.【解析【解析】依题设知依题设知,BCAO,BCAO且且BC=AOBC=AO，BC=a.BC=a.又由椭圆的对称性得又由椭圆的对称性得B,CB,C关于关于y y轴对称且轴对称且OAB=30OAB=30, ,点点C C的坐标为的坐标为( )( )，又因为点，又因为点C C在椭圆在椭圆E E上，所以有上，所以有 解得解得a a2 2=9b=9b2 2，因此，因此，a a2 2=9(a=9(a2 2-c-c2 2) )，即，即所以椭圆所以椭圆E E的离心率等于的离心率等于答案：答案：3.3.已知椭圆已知椭圆C C： 的长的长轴长为轴
47、长为4 4，且离心率为，且离心率为（1 1）求椭圆的方程）求椭圆的方程. .（2 2）椭圆）椭圆C C： 的的左顶点为左顶点为A A，右顶点为，右顶点为B B，点，点S S是椭是椭圆圆C C上位于上位于x x轴上方的动点，直线轴上方的动点，直线ASAS，BSBS与直线与直线l：x=3x=3分别交于分别交于M M，N N两点，求线段两点，求线段MNMN的长度的最小值的长度的最小值. .【解析【解析】（1 1）由）由2a=4,2a=4,得得a=2,a=2,所求的椭圆方程为所求的椭圆方程为（2 2）依题意，直线）依题意，直线ASAS的斜率的斜率k k存在，且存在，且k0,k0,故可设直线故可设直线ASAS的方的方程为程为y=k(x+2),y=k(x+2),从而从而M M（3 3，5k)5k)，由由 得得: :（1+2k1+2k2 2)x)x2 2+8k+8k2 2x+8kx+8k2 2-4=0,-4=0,设设S S（x x1 1,y,y1 1),),则则 从而从而 则则S( S( ）. .又又B B（2 2，0 0），可得直线），可得直线SBSB的方程为的方程为化简得：化简得：由由 得得 NN（3 3， ）, ,故故|MN|=|5k+ |.|MN|=|5k+ |.当且仅当当且仅当5k= ,5k= ,即即 时等号成立时等号成立. . 时，线段时，线段MNMN的长度取最小值的长度取最小值
