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1、专题课堂(三)全等三角形 第第13章全等三角形章全等三角形一、运用全等三角形证线段(角)相等类型(1)运用全等三角形证线段相等;(2)运用全等三角形证角相等;(3)运用全等三角形证垂直;(4)运用全等三角形证平行例1如图,点E在ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若123,ACAE,求证:ABAD.分析:从结论“求证:ABAD”入手,由AB,AD找一对三角形ABC和ADE,证ABCADE即可,这里A,F,C,D,F,E,A构成“8字形”,因为“8字形”有一对对顶角相等,所以在“8字形”里,只要除对顶角外的一对角相等,则另一对角必相等因此,ABCADE的三个条件就够了解:证明:12,1C
2、AD2CAD,即BACDAE,2EAFD,3CAFD,2E3C.又23,EC,在ABC和ADE中,BACDAE,ACAE,CE,ABCADE(ASA),ABAD【对应训练】1如图,点A,B,C,D在同一条直线上,EAAD,FDAD,AEDF,ABDC.试说明:ACEDBF.2已知:如图,在ABC,ADE中,BACDAE90,ABAC,ADAE,点C,D,E三点在同一直线上,试猜想BD,CE有何特殊位置关系,并证明解:BDCE先证ABDACE(SAS),得ABDACE,再利用“8字形”D,C,A,B,D,得BDCACEBACABDBOC(O为AC与BD的交点),BDCBAC90,BDCE二、中线
3、倍长法类型(1)已知三角形的中线,利用中线倍长法,求中线的取值范围;(2)已知线段的中点,利用中线倍长法,以中点为公共顶点构造全等三角形例2如图,AD为ABC的中线,求证:ABAC2AD.分析:延长AD至点M,使DMAD,连结BM,易证ADCMDB,得BMAC,在ABM中,ABBMAM,即ABAC2AD.解:证明:延长AD至点M,使DMAD,连结BM,在ADC和MDB中,CDBD,ADCMDB,ADMD,ADCMDB(SAS),BMAC,在ABM中,ABBMAM,即ABAC2AD【对应训练】3在ABC中,AB5,AC3,求中线AD的取值范围解:1AD4三、截长补短法证线段和差问题类型(1)截长
4、法;(2)补短法例3如图,已知ADBC,ABC和BAD的平分线相交于点E,过点E的直线分别交AD,BC于D,C.求证:ABADBC.分析:在AB上截取AMAD,连结EM,可得AMEADE,再想办法证BMEBCE,得BCBM,即得ABAMBMADBC.解:证明:在AB上截取AMAD,连结EM,AE,BE分别平分BAD和ABC,MAEDAE,MBECBE,在AME和ADE中,AMAD,MAEDAE,AEAE,AMEADE(SAS),AMED,ADBC,CD180,BMEAME180,CBME,又BEBE,BMEBCE(AAS),BCBM,ABAMBM,ABADBC【对应训练】4如图,在ABC中,B
5、60,BAC与BCA的平分线AD,CE分别交BC和AB于点D,E,AD与CE相交于点F.求证:ACAECD.5如图,四边形ABCD中,AC90,D60,ABBC,E,F分别在AD,CD上,且EBF60.(1)求证:EFAECF;(2)如图,若F,F分别在AD,DC的延长线上,其他条件不变,求证:EFAECF.解:证明:(1)延长EA至点M,使AMCF,连结BM,ABC360ACD120,易证ABMCBF(SAS),BMBF,ABMCBF,EBMABEABMABECBFABCEBF1206060EBF,易证BEMBEF(SAS),EFEMAEAMAECF(2)在AE上截取ANCF,连结BN,易证ABNCBF(SAS),BNBF,ABNCBF,EBNABC(EBCABN)ABC(EBCCBF)ABCEBF1206060EBF,易证BENBEF(SAS),EFENAEANAECF