《321几类不同增长的函数模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《321几类不同增长的函数模型（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 18591859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了. .兔子兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番数量不断翻番. .19501950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失草地都遭到了极大损失. .绝望之中
2、，人们从巴西引绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子. .整个整个2020世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过. . 这种现象在数学上可以用什么函数表示呢？这种现象在数学上可以用什么函数表示呢？请进入本节的学习！请进入本节的学习！1.1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异数函数及幂函数的增长差异. .( (重点）重点）2.2.结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的
3、意义等不同增长的函数模型的意义. .3.3.会分析具体的实际问题会分析具体的实际问题, ,能够建模解决实际问题能够建模解决实际问题. . ( (难点）难点）实例实例1 1：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报1010元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报1010元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.40.4元，以后每天的回元，以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番.
4、.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述. .设第设第x x天所得回报是天所得回报是y y元，则元，则方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；思路分析：思路分析：2.2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？还是累计回报效益？方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；3.3.三个函数模型的增减性如何？三个函数模型的增减性如何？ 4.4.要对三个方案作出选择，就要对
5、它们的增长要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？情况进行分析，如何分析？方案方案 一一方案方案 二二方案方案 三三y y/ /元元增加量增加量/ /元元y y/ /元元增加量增加量/ /元元y y/ /元元增加量增加量/ /元元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.26 640400 06060101012.812.86.46.47 740
6、400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 03003001010214 748 364.8214 748 364.8107 374 182.4107 374 182.4x/x/天天2 2y y40402020404060608080100100120120O O4 46 68 810101212y yx xy y10x10xy y0.40.
7、42 2x x1 1 由表和图可知，方案一的函数是常数函数，由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. .读图和用图读图和用图 可以看到，尽管方案一、方案二在第可以看到，尽管方案一、方案二在第1 1天所得天所得回报分别是方案三的回报分别是方案三的100100倍和倍和2525倍，但它们的增长倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是量固定不变，而方案三是“指数增长指数增长”，其，其“增增长量长量”是成倍增加的，从第是成倍增加的，从第7 7天开始
8、，方案三比其天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多他两个方案增长得快得多. .这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第从每天所得回报看，在第1 13 3天，方案一最多，天，方案一最多，在第在第4 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少，天，方案一和方案二一样多，方案三最少，在第在第5 58 8天，方案二最多；第天，方案二最多；第9 9天开始天开始 ，方案三，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第比其他两个方案所得回报多得多，到第3030天，所天，所得回报已超过得回报已超过2 2亿元亿元. .下面再看累计的回报数：下面再看累计
9、的回报数：结论：结论：投资投资1 16 6天天, ,应选择方案一应选择方案一; ;投资投资7 7天，应选择天，应选择方案一或方案二；投资方案一或方案二；投资8 8 1010天，应选择方案二；天，应选择方案二；投资投资1111天天( (含含1111天天) )以上，应选择方案三以上，应选择方案三. .天天数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50
10、.8 102 204.4 409.2 818.8实例实例2 2：某公司为了实现某公司为了实现1 0001 000万元利润的目标，准备制万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到在销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖励，且奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金金y(y(单位：万元单位：万元) )随销售利润随销售利润x(x(单位：万元单位：万元) )的增加而增的增加而增加，但奖金总数不超过加，但奖金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%25%，现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：y y0.25x0.25
11、x， y yloglog7 7x x1 1， y y1.0021.002x x， 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过奖励时，奖金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利万元，同时奖金不超过利润的润的25%25%，由于公司总的利润目标为，由于公司总的利润目标为1 0001 000万元，所以万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润人员销售利润一般不会超过公司总的利润. .于是，只需在区间于是，只需在区间10,1 00010,1 000上，检验三个模型是否上
12、，检验三个模型是否符合公司要求即可符合公司要求即可. .思路分析：思路分析：1 1x x的取值范围，即函数的定义域的取值范围，即函数的定义域2 2通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？的图象的图象. .解解: :借助计算器或计算机作出函数借助计算器或计算机作出函数思考：思考：8 81 12 23 34 45 56 67 720020040040060060080080010001000y y0.250.25x xy yloglog7 7x x1 1y y1.0021.002x xO Oy y5 5y yx x观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10 ,
13、1 00010 ,1 000上，模型上，模型y=0.25xy=0.25x，y=1.002y=1.002x x的图象都有一部分在直线的图象都有一部分在直线y=5y=5的上方，只有模的上方，只有模型型y=logy=log7 7x+1x+1的图象始终在的图象始终在y=5y=5的下方，这说明只有按模的下方，这说明只有按模型型y=logy=log7 7x+1 x+1 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断计算确认上述判断. .计算按模型计算按模型y=logy=log7 7x+1x+1奖励时，奖励时，奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%25%，即
14、当即当x10,1 000x10,1 000时，是否有时，是否有 成立成立 首先计算哪个模型的奖金总数不超过首先计算哪个模型的奖金总数不超过5 5万元万元. . 对于模型对于模型y=0.25xy=0.25x，它在区间，它在区间10,1 00010,1 000上递增，而上递增，而且当且当x=20x=20时，时，y=5,y=5,因此，当因此，当x20x20时，时，y5,y5,所以该模型不符所以该模型不符合要求；合要求； 对于模型对于模型y=1.002y=1.002x x，由函数图象，并利用计算器，可，由函数图象，并利用计算器，可知在区间（知在区间（805805，806806）内有一个点）内有一个点x
15、 x0 0满足满足 由于由于它在区间它在区间10,1 000 10,1 000 上递增，因此当上递增，因此当xxxx0 0时，时，y5,y5,所以该所以该模型也不符合要求；模型也不符合要求； 对于模型对于模型y=logy=log7 7x+1,x+1,它在区间它在区间10,1 00010,1 000上递增，而且上递增，而且当当x=1 000x=1 000时，时，y=logy=log7 71 000+14.555,1 000+14.555,所以它符合奖金总所以它符合奖金总数不超过数不超过5 5万元的要求万元的要求. . 令令 综上所述，模型综上所述，模型 确实能符合公司要求确实能符合公司要求. .
16、时，时， 所以所以, ,当当 说明按模型说明按模型奖励奖励, ,奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%25% 利用计算器或计算机作出函数利用计算器或计算机作出函数f(xf(x) )的图象的图象由图象可知它是递减的，由图象可知它是递减的，因此因此即即探究：探究： 指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象（a a=2).=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2 x-2.322-0.
17、73700.485x1.82.22.63.03.4y=2x3.4824.5956.063810.556y=x23.244.846.76911.56y=log2 x0.8481.1381.3791.5851.766xyo1122345y=2xy=x2y=log2 x2.2.结合函数的图象找出其交点坐标结合函数的图象找出其交点坐标. . 从图象看出从图象看出 y=logy=log2 2 x x的图象与另外的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，函数图象的下方，y=xy=x2 2的图象与的图象与 y=2y=2x x 的图象有两个交点的图象有两个
18、交点(2(2，4)4)和（和（4 4，1616）. .x x0 0 1 1 2 2 3 34 45 56 67 78 8y y=2=2x x1 1 2 2 4 4 8 8 1616 3232 6464 128128 256256 y y= =x x2 20 0 1 1 4 4 9 9 1616 2525 363649496464ABy=2xxyo112162343 4y=x2y=log2 x差异明差异明显显3.3.根据图象根据图象, ,分别写出使不等式分别写出使不等式loglog2 2 x2 x2x xxx2 2和和 loglog2 2 xx xx2 222x x成立的自变量成立的自变量x x
19、的取值范围的取值范围. .使不等式使不等式 loglog2 2 x2 x2x xxx2 2 的的x x的取值范围是的取值范围是(2(2，4);4);使不等式使不等式 loglog2 2 x x x x2 2 1)(a1)和幂函数和幂函数 y=y=x xn n (n0),(n0),在区间（在区间（0 0，+）上，无论）上，无论n n比比a a大多大多少，尽管在少，尽管在x x的一定变化范围内，的一定变化范围内，a ax x会小于会小于x xn n, ,但由但由于于a ax x的增长快于的增长快于x xn n的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时，就会有
20、时，就会有a ax x x xn n. .【提升总结提升总结】对于对数函数对于对数函数 y=y=logloga a x x（a1)a1)和幂函数和幂函数y=y=x xn n (n0),(n0),在区间（在区间（0 0，+）上）上, ,随着随着x x的增大，的增大，logloga ax x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x x轴平行一轴平行一样样. .尽管在尽管在x x的一定变化范围内，的一定变化范围内，logloga ax x可能会大于可能会大于x xn n，但由于，但由于logloga ax x的增长慢于的增长慢于x xn n的增长，因此总存在的增长，因此
21、总存在一个一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时，就会有时，就会有logloga ax x 1),1),指数函数指数函数 y=y=a ax x(a(a1)1)与幂函与幂函数数y=y=x xn n(n(n0)0)在区间（在区间（0 0， +）上都是增函数，但它们的）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上. .随着随着x x的增大，的增大，y=ay=ax x（a1a1）的增长速度越来越快，会超过）的增长速度越来越快，会超过并远远大于并远远大于y=y=x xn n（n0n0）的增长速度，而）的增长速度，而y=y=logloga ax(ax(
22、a1)1)的增的增长速度则会越来越慢长速度则会越来越慢. .因此总会存在一个因此总会存在一个x x0 0，当，当xxxx0 0 时，就有时，就有logloga ax x x xn na0)0)的增长快于对数函数的增长快于对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)的增的增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称称“指数爆炸指数爆炸”. .1.1.比比较函数函数y yx xn n( (n n0)0)和和y ya ax x( (a a0)0)，下列，下列说法正确的是法正确的是 ( ) ( ) A. A. 函数函数y yx x
23、n n比比y ya ax x的增的增长速度快速度快 B. B. 函数函数y yx xn n比比y ya ax x的增的增长速度慢速度慢C. C. 因因a a, , n n没有大小确定没有大小确定, , 故无法比故无法比较函数函数y yx xn n与与 y ya ax x的增的增长速度速度D. D. 以上都不正确以上都不正确 B B 2.2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的时，这台计算机都可能感染没被感染的2020台计算机台
24、计算机. .现在现在1010台计算机在第台计算机在第1 1轮病毒发作时被感染，问在第轮病毒发作时被感染，问在第5 5轮病毒发作时可能有轮病毒发作时可能有_台计算机被感染台计算机被感染. .解析：解析：101020204 4=1 600 000=1 600 0001 600 0001 600 0003.3.一家庭一家庭( (父亲、母亲和孩子们父亲、母亲和孩子们) )去某地旅游，甲旅去某地旅游，甲旅行社说：行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠票优惠. .”乙旅行社说：乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按家庭旅行为集体票，按原价原价 优惠优惠. .”这两
25、家旅行社的原价是一样的这两家旅行社的原价是一样的. .试就试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠. .【解析解析】设家庭中孩子数为设家庭中孩子数为x(x1,xNx(x1,xN* *) )，旅游收费为旅游收费为y,y,旅游原价为旅游原价为a.a.甲旅行社收费：甲旅行社收费：乙旅行社收费：乙旅行社收费： 当当x=1x=1时，两家旅行社收费相等时，两家旅行社收费相等. .当当x x1 1时时, ,甲旅行社更优惠甲旅行社更优惠. . 通过实例和计算机作图体会、认识直线上通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、其他学科的密切联系，从而体会数学的生活、其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美实用价值，享受数学的应用美修凿可以使道路平直，但只有崎岖的未经修凿的道路才是天才的道路。
