《中国矿业大学计算力学.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国矿业大学计算力学.ppt（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数数 值值 分分 析析韩韩 超超Email: & 参考书目参考书目 (Reference) 数值分析数值分析, 李庆扬李庆扬编编, 清华大学出版社清华大学出版社 计算方法典型题分析解集计算方法典型题分析解集, 封建湖编封建湖编, 西北工业大学西北工业大学出版社出版社 数值分析学习辅导习题解析数值分析学习辅导习题解析, 李红编李红编, 华中科技大学出版社华中科技大学出版社 Numerical Analysis (Third Edition) David Kincaid & Ward Cheney 数值分析（第三版）数值分析（第三版）, 王国荣译王国荣译, 机械工业出版社机械工业出版社u许多科学研
2、究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题，许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题，它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；u但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能，但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能，因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包括解析的和数值的）？括解析的和数值的）？ u近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程近似（值）是一个
3、普遍现象，从日常生活到科学研究、工程设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。u现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础，现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础，使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；u求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的求近似数据的关键途径就是
4、学习或研究数学问题的“计算方计算方法法”或或“数值分析数值分析”，也称为，也称为“科学与工程计算科学与工程计算”。p 为什么学习数值计算方法？为什么学习数值计算方法？p 解决实际问题的理想化过程解决实际问题的理想化过程p教教材材内内容容体体系系第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法第三章第三章 函数插值函数插值第四章第四章 函数逼近函数逼近第五章第五章 数值积分法数值积分法第六章第六章 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法第七章第七章 非线性方程非线性方程(组组)的数值解法的数值解法第八章第八章 数值最优化数值最优化第九章第九章 常微分方程的数值解法
5、常微分方程的数值解法第十章第十章 矩阵特征值问题的数值解法矩阵特征值问题的数值解法第一章第一章 绪绪 论论1 课程研究的内容和构造算法的主要途径课程研究的内容和构造算法的主要途径 2 误差误差3 有效算法要具备的条件有效算法要具备的条件 4 灵敏度分析灵敏度分析 5 向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数 1 研究内容和构造算法的主要途径研究内容和构造算法的主要途径 研究数学问题研究数学问题数值解数值解的计算方法，的计算方法，即研究算法的。即研究算法的。1 哪些数学问题？哪些数学问题？大型线性方程组大型线性方程组Ax=b求解求解; ;矩阵矩阵A的特征值和特征向量计算的特征值和特征向量计算; ;非
6、线性方程非线性方程 的求解的求解( (求根求根););积分积分 计算计算; ;常微分方程初值问题求解常微分方程初值问题求解; ;函数逼近等函数逼近等一一 研究对象：研究对象：2 研究数值解的必要性研究数值解的必要性例例1 常微分方程初值问题常微分方程初值问题其解析解其解析解(精确解精确解)为为:要求计算要求计算等近似值。等近似值。3 构造算法的主要思想构造算法的主要思想迭代法迭代法以直线代替曲线（非线性问题线性化）以直线代替曲线（非线性问题线性化）化整为零（离散化）化整为零（离散化）外推法（加速）外推法（加速）二二 数值计算原则数值计算原则好算法的三个标准：好算法的三个标准：快快 计算步骤少，
7、收敛速度快计算步骤少，收敛速度快准准 数值稳定性好，计算结果可靠性高数值稳定性好，计算结果可靠性高省省 节省计算机内存节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题大型稀疏矩阵问题)1.快快:计算步骤少，收敛速度快计算步骤少，收敛速度快例例2 多项式求值的多项式求值的Hornor算法算法(秦九韶算法秦九韶算法P7)给定给定x的值，计算的值，计算 的值。的值。算法算法1 1：按自然顺序计算按自然顺序计算乘法次数乘法次数加法次数加法次数 n算法算法2: 嵌套算法（嵌套算法（Hornor,秦九韶）秦九韶）乘法次数加法次数乘法次数加法次数 n例例3 解线性方程组解线性方程组算法算法1: Cramer法则法则乘除法次
8、数乘除法次数An假设计算机秒钟进行假设计算机秒钟进行亿亿=108次乘除法，共需时：次乘除法，共需时：(万年万年) 算法算法2: Gauss消去法消去法乘除法次数：乘除法次数：耗时：耗时：(秒秒)例例5 计算积分的梯形公式与计算积分的梯形公式与Simpson公式；公式； 非线性方程求根，非线性方程求根，Newton法比二分法快。法比二分法快。例例4 如如FFT(快速傅立叶变换快速傅立叶变换)零乘一个数省去零乘一个数省去 2. 准准:数值稳定性好，计算结果可靠性高数值稳定性好，计算结果可靠性高例例6 求根求根 ，假设计算机有尾数为，假设计算机有尾数为5位，位，算法算法1:算法算法2:例例7 计算积
9、分计算积分由分部积分法可得由分部积分法可得取迭代初值取迭代初值由递推公式由递推公式计算得计算得算法算法1: 直接积分直接积分算法不稳定，结果不可靠算法不稳定，结果不可靠。而而可见递推计算结果严重失真。可见递推计算结果严重失真。取取将迭代格式将迭代格式 变形成如下格式变形成如下格式 计算结果相当好计算结果相当好算法算法2 易知易知算法稳定，结果可靠算法稳定，结果可靠。1) 稳定性稳定性: 若一种算法的初始误差和舍入误差在运算若一种算法的初始误差和舍入误差在运算过程中不增长，则称此算法是稳定的。过程中不增长，则称此算法是稳定的。2) 误差分析误差分析算法算法1 记记则则误差逐渐增大，误差逐渐增大，
10、(*)式不稳定式不稳定算法算法2 记记 则则误差没有增大，算法稳定误差没有增大，算法稳定.所以所以为了为了“准准”，要注意的原则，要注意的原则 1. 防止大数吃小数防止大数吃小数 利用求根公式利用求根公式 在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数的指数部分须变为部分须变为1010，则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成，取单精度时就成为：为：109+1=0.10000000 1010+0.00000
11、000 1010=0.10000000 1010大数吃小数大数吃小数 算法算法1 1： 先解出先解出 再利用再利用注：注：注：注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。求和时从小到大相加，可使和的误差减小。2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 109 算法算法2 2：如如1: 在五位十进制计算机上计算在五位十进制计算机上计算解解2. 防止相近的数相减防止相近的数相减例例9解决办法解决办法: : 通常情况下通常情况下：当当 | x | 6 log6，即即 n 6，应取应取 * = 3.14159。只要取只要取n3即
12、可，即即可，即3位有效数字。位有效数字。例例14 要使要使 的近似值相对误差小于的近似值相对误差小于0.1%，应取几，应取几位有效数字？位有效数字？解解例例15当当的系数换成的系数换成时时有十个复根有十个复根.4 灵敏度分析灵敏度分析 灵灵敏敏度度分分析析是是分分析析一一个个数数学学问问题题原原始始数数据据的的微微小小变变化化对对其其解解的的扰扰动动情情况况。如如果果引引起起解解发发生生较较大大的的变变化化，则则称称该该问问题题是是 病病态态的的 ，否否则则称称该该问问 题题 是是 良良 态态 的的 。 它它 反反 映映 了了 解解 对对 原原 始始 数数 据据 的的 敏敏 感感 程程 度度 。抗抗干干扰扰能能力力强强良良态态的的方方程程组组抗抗干干扰扰能能力力弱弱病病态态的的方方程程组组问题问题问题问题：如何估计误差向量的大小？如何估计误差向量的大小？ 如何对方程组的性态进行判断？衡量其病态程度如何对方程组的性态进行判断？衡量其病态程度? 病态与否是该问题固有的性质，与采用何种计算方法没有关系。病态与否是该问题固有的性质，与采用何种计算方法没有关系。r.5 向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数 如何证明它如何证明它如何证明它如何证明它? ? ? ?r.r.r. 。 。 。ReIm (A)相关相关Matlab命令命令: norm(x,p) norm(x)=norm(x,2)
