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1、第二节第二节 正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法u 正项级数及其收收敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :则称此级数为正项级数正项级数. .2.2.正项级数收敛的正项级数收敛的充分必要充分必要条件条件: :正项级数收敛的正项级数收敛的基本定理基本定理注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 un 0 0足够足够快。快。3.比较审敛法比较审敛法重要参照级数重要参照级数: :等比级数等比级数, , p- -级数。级数。极限形式极限形式: :注注: :须有参照级数须有参照级数. 比较审敛法的不方便比较审敛法的不方便结论:解解发散发散.故原级数收敛故原级数收敛.由
2、项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性. . 比值审敛法、比值审敛法、根值审敛法的优点根值审敛法的优点: :注意注意:解解解解解解解解比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法第三节第三节 任意项级数任意项级数u 交错级数及其收收敛法u 绝对收敛与条收收收敛一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .称为级数余项收敛且S0,使得当 |x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1) 仅在 x = 0 处收敛;(2) 在 内处处收敛;(3)
3、在(R,R )内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径收敛半径R= 0R= + 2.收敛半径的求法定理2(证明略)例 求收敛半径和收敛域x =1 时收敛； x =1时收敛域是(1，1发散 收敛域是(，）仅在 x =0 点收敛设 x2 t ,由(1)知收敛域是(1,3收敛域是(1,1令t =3 时t =3时发散发散收敛域是(3,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三三.幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为 和 ,记则对于任意的 , 有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2. 分析运算性质设收敛半径为R, 则(1) S(x) 在收敛域内连续;(2) S(x) 在(-R,R)内可导,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3) S(x)在(-R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例 求和函数设和函数为S(x)( |x| 1 )设和函数为S(x)则
