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1、基本电路理论基本电路理论 电子信息与电气工程学院电子信息与电气工程学院2002004 4年年7 7月月上海交通大学本科学位课程上海交通大学本科学位课程第四章第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理电阻性网络的一般分析与网络定理4.3 4.3 节点分析法系统方法节点分析法系统方法基本要求：基本要求：了解系统步骤中一般支路的概念了解系统步骤中一般支路的概念列写降阶关联矩阵列写降阶关联矩阵A了解系统方法列写电阻网络节点方程的过程了解系统方法列写电阻网络节点方程的过程节点电导矩阵的建立和节点电流源列向量的正负问题节点电导矩阵的建立和节点电流源列向量的正负问题 用视察法列写电阻网络节点方程用视察法列写电阻
2、网络节点方程4.3 4.3 节点分析法系统方法节点分析法系统方法在第一章网络图论中已得到在第一章网络图论中已得到KCL、KVL矩阵方程矩阵方程 其中其中A为降阶关联矩阵，为降阶关联矩阵，Ib为支路电流列向量，为支路电流列向量，Vb为支路电压列向量，为支路电压列向量，En为节点电压列向量。为节点电压列向量。AIb=0、Vb=ATEn 典型支路特典型支路特性方程性方程 对具有对具有b条支路的网络所有支路电流、电压有条支路的网络所有支路电流、电压有Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb、Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb 其中其中ISb、VSb分别为支路电流、电压源列向量，分别为支路电流、电压源列向量，
3、Gb、Rb分别为支路电导、分别为支路电导、电阻矩阵，都是电阻矩阵，都是bb阶对角阵。阶对角阵。KCL AIb=0 支路方程支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb KVL Vb=ATEn 支路将支路将 AIb=AGbVb-AGbVSb+AISb=0AGbVb=AGbVSb-AISb 将将 AGbATEn =AGbVSb-AISb 定义节点电导矩阵定义节点电导矩阵 Gn=AGbAT定义节点电流源列向量定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb则则 GnEn = IS 其中其中Gn称节点电导矩阵，称节点电导矩阵，En是节点电压（对参考节点）列向量，是节点电压（对参考节点）列向量，I
4、S为节点电流源列向量。为节点电流源列向量。4.3 4.3 节点分析法系统方法节点分析法系统方法节点方程节点方程节点电导矩阵节点电导矩阵Gn 主对角线元素主对角线元素gii为自电导，总是正为自电导，总是正的，非主对角线元素的，非主对角线元素gij为互电导，为互电导，总是负的。总是负的。 由由Gn=AGbAT，进行转置，进行转置，GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T =AGbTAT=AGbAT，所以，所以Gn是对称阵。是对称阵。 求解支路电压、支路电流求解支路电压、支路电流 由节点方程由节点方程Gn En = IS，求得节点电压求得节点电压En = Gn-1IS 已知已知En得支路
5、电压得支路电压Vb=ATEn，支路电流，支路电流Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb 在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节点方程完在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节点方程完全一样。全一样。4.3 4.3 节点分析法系统方法节点分析法系统方法若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列向量，支路电若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩阵导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩阵 Yb和节点导纳矩阵和节点导纳矩阵Yn。此时此时Yb=Yb(j)，Yn=Yn(j)，称符号称符号(或复数或复数)导纳，都是导纳，都是j的函数。的函数。对具有
6、互感的电路，支路符号导对具有互感的电路，支路符号导纳矩阵将不再是对角矩阵，而是纳矩阵将不再是对角矩阵，而是对称矩阵。设支路对称矩阵。设支路1、2间有互感，间有互感，则则 对具有受控源的电路，对具有受控源的电路，Yb和和Yn，Gb和和Gn一般就不再是对角阵或对称阵。一般就不再是对角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理方法当电路中含有受控源时，可以有两种处理方法 在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）时将受控源在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）时将受控源考虑进去考虑进去 先将受控源按独立源处理，最后转移到先将受控源按独立源处理，最后转移到Gn或或Yn中去。中去。
7、4.3 4.3 节点分析法系统方法节点分析法系统方法4.4 4.4 网孔分析法网孔分析法基本要求：基本要求：列写网孔矩阵列写网孔矩阵M 了解系统方法列写电阻网络网孔方程的过程了解系统方法列写电阻网络网孔方程的过程网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正负问题网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正负问题 用视察法列写电阻网络网孔方程用视察法列写电阻网络网孔方程4.4 4.4 网孔分析法网孔分析法 根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节点方程的根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的方程。情况下，完全可以得到有关网孔分析的方程。 定义：设网络定义：
8、设网络N具有具有b条支路，条支路，m+1个网孔个网孔(包括外网孔包括外网孔)，网孔方，网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于是可得网孔关向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于是可得网孔关联支路的联支路的(m+1)b阶的网孔矩阵阶的网孔矩阵Ma=(mik) 网孔矩阵网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） 网孔矩阵的秩网孔矩阵的秩 由由r(Aa)=nt-1，可推知，可推知r(Ma)=(m+1)-1=m网孔矩阵网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） 降阶网孔矩阵降阶网孔矩阵 在关联矩阵在关联矩阵Aa中，把与参考节点对应的一行划去中，把
9、与参考节点对应的一行划去得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵A。在网孔矩阵。在网孔矩阵Ma中，把与外网孔对应的一行划中，把与外网孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵去得降阶网孔矩阵M。M的秩仍为的秩仍为mKVL MVb=0KCL Ib=MTJm 支路特性方程支路特性方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSbRb是是bb阶对角阵阶对角阵4.4 4.4 网孔分析法网孔分析法KVL MVb=0 支路方程支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb KCL Ib=MTJm 支路将支路将 MVb=MRbIb-MRbISb+MVSb=0MRbIb=MRbISb-MVSb 将将 MRb MTJm =MRbISb-MVSb定
10、义定义 Rm= MRbMTVS = MRbISb-MVSb则则 Rm Jm = VS 其中其中Jm是网孔电流列向量，是网孔电流列向量，VS为网孔电压源列向量，为网孔电压源列向量，Rm称网孔电称网孔电阻矩阵。阻矩阵。网孔方程网孔方程4.4 4.4 网孔分析法网孔分析法网孔电阻矩阵网孔电阻矩阵 对主对角线元素对主对角线元素rii为自电阻，为自电阻，总是正的，非主对角线元素总是正的，非主对角线元素rij为互电阻，总是负的为互电阻，总是负的(网孔电流网孔电流全取顺时针方向全取顺时针方向)。Rm是对称是对称矩阵矩阵, , rij=rji。如果是正弦稳态情况，则列向量如果是正弦稳态情况，则列向量相量列向量
11、，相量列向量，RbZb支路阻抗矩阵，支路阻抗矩阵，RmZm网孔阻抗矩阵网孔阻抗矩阵 对具有互感的电路，对具有互感的电路，Zb对称矩阵对称矩阵 对求解支路电流、支路电压对求解支路电流、支路电压 由网孔方程由网孔方程Rm Jm = VS可求得网孔电流可求得网孔电流Jm = Rm-1VS已知已知Jm得支路电流得支路电流Ib=MTJm，支路电压，支路电压Vb=Mb(Ib-ISb)+VSb 4.4 4.4 网孔分析法网孔分析法4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法基本要求：基本要求：回路、单连支回路的概念回路、单连支回路的概念列写基本回路矩阵列写基本回路矩阵B了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过
12、程了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程回路电阻矩阵的建立和回路电压源列向量的正负问题回路电阻矩阵的建立和回路电压源列向量的正负问题 任选一树应用视察法写出网络的回路方程任选一树应用视察法写出网络的回路方程 4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法 网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面网络网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面网络的限制，具有根大的灵活性。的限制，具有根大的灵活性。 网络图论基本定理指出，具有网络图论基本定理指出，具有b 条支路，条支路，nt个节点的连个节点的连通图有一个通图有一个n = nt-1条树支组成的树，有条树支组成的树，有l = b-nt+1= b-n
13、 条连支，并且每一条连支都可以和一些树支构成一个条连支，并且每一条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路，即基本回路。唯一的回路，即基本回路。 根据根据KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，总共，对每个基本回路可得一个回路方程，总共为为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有一条新个回路方程。由于每个基本回路中，总有一条新的连支，所以的连支，所以l 个回路方程是彼此独立的。个回路方程是彼此独立的。 基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此它与树的选基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此它与树的选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路矩阵，对基本回路矩阵择有关，一旦树
14、被确定，就可得一个基本回路矩阵，对基本回路矩阵的建立作如下的规定：的建立作如下的规定：支路的编号按先连支、后树支的次序编排，支路的编号按先连支、后树支的次序编排，基本回路的方向取与连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元基本回路的方向取与连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元素素bik 基本回路矩阵基本回路矩阵Bf4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法，并总可表示成，并总可表示成Bf =(1lF) 因为在因为在Bf中含有中含有 l 阶单位阵，所以阶单位阵，所以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的秩是，即基本回路矩阵的秩是l，是满秩的。是满秩的。根据根据KVL BfVb=0 根据根据KC
15、L 上面网络的支路上面网络的支路电流电流ib与回路电流与回路电流jl关系为关系为4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法 矩阵是矩阵是63阶矩阵，前三行三列为单位阶矩阵，前三行三列为单位阵，后三行三列正好是矩阵阵，后三行三列正好是矩阵F的转置。的转置。所以，上面的所以，上面的63阶矩阵是基本回路矩阶矩阵是基本回路矩阵阵Bf的转置的转置BfT。 Bf =(1lF)4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法KVL BfVb=0 支路方程支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb KCL Ib=BfTJl 支路将支路将 BfVb=BfRbIb-BfRbISb+BfVSb=0BfRbIb=Bf
16、RbISb-BfVSb 将将 BfRbBfTJl =BfRbISb-BfVSb定义定义 Rl=BfRbBfTES = BfRbISb-BfVSb则则 Rl Jl = ES 其中其中Rl称基本回路电阻矩阵，称基本回路电阻矩阵，Jl是基本回路电流列向量，是基本回路电流列向量，ES为基本为基本回路电压源列向量。回路电压源列向量。基本回路方程基本回路方程 4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法回路方程的形式和网孔方程的回路方程的形式和网孔方程的形式是相似的。对于基本回路形式是相似的。对于基本回路电阻矩阵电阻矩阵 主对角线元素主对角线元素 rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素为自电阻，总是正的
17、，非主对角线元素 rij为互电为互电阻，互电阻的正负取决于回路阻，互电阻的正负取决于回路i与回路与回路j在公共支路上的方向，一致在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。时取正，否则取负。 例例 设设6条支路的电阻分别为条支路的电阻分别为R1，R2，R6，用视察法求回路电用视察法求回路电阻矩阵和回路方程。阻矩阵和回路方程。 4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法例例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 解解 将受控源当独立源处将受控源当独立源处理，用视察法建基本回路理，用视察法建基本回路方程。方程。 用连支电流表示支路电流用连支电流表示支
18、路电流 即即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3) 4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法 解解 将受控源当独立将受控源当独立源处理，用视察法建源处理，用视察法建基本回路方程。基本回路方程。 用连支电流表示支路电流，即用连支电流表示支路电流，即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)4.5 4.5 基本回路分析法基本回路分析法4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法基本要求：基本要求：割集、单树枝割集的拓扑概念割集、单树枝割集的拓扑概念列写基本割集矩阵列写基本割集矩阵Qf 了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程割集电
19、导矩阵的建立和割集电流源向量的正负问题割集电导矩阵的建立和割集电流源向量的正负问题 任选一树应用视察法写出网络的基本割集方程任选一树应用视察法写出网络的基本割集方程4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法 在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是互为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶互为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶的方法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一的方法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一个树决定。个树决定。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 建立基本割集矩阵的规定建立基本割集矩阵的规定 支路编
20、号与建立基本回路时的编号支路编号与建立基本回路时的编号一致一致 取树支的方向为基本割集的方向取树支的方向为基本割集的方向 基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 建立基本割集矩阵的规定建立基本割集矩阵的规定 支路编号与建立基本回路时的编号一致支路编号与建立基本回路时的编号一致 取树支的方向为基本割集的方向取树支的方向为基本割集的方向 ，可以表示成，可以表示成Qf =(E1n) Qf中含有中含有n阶单位阵，所以阶单位阵，所以r (Qf) = n，基本割集矩阵，基本割集矩阵Qf是满秩矩阵是满秩矩阵 4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法基本割集矩阵基本割集矩阵Qf ，Qf =(E1n) 由由KCL Q
21、f Ib=0由由KVL Vt割集电压列向量，即树支电压割集电压列向量，即树支电压列向量。由树支电压表示支路列向量。由树支电压表示支路电压。电压。 4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法KCL QfIb=0 支路方程支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb KVL Vb=QfTVt 支路将支路将 QfIb=QfGbVb-QfGbVSb+QfISb=0QfGbVb=QfGbVSb-QfISb 将将 QfGbQfTVt=QfGbVSb-QfISb令令 Gt=QfGbQfTJS = QfGbVSb-QfISb则则 GtVt= JS 其中其中Gt称基本割集电导矩阵，称基本割集电导矩阵，Vt是基
22、本割集电压列向量，也即树支是基本割集电压列向量，也即树支电压列向量，电压列向量，JS为基本割集电流源列向量为基本割集电流源列向量 。基本割集方程基本割集方程 4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法基本割集电导矩阵基本割集电导矩阵Gt 主对角线元素主对角线元素gii为自电导，总是正的，为自电导，总是正的，非主对角线元素非主对角线元素 gij为互电导，互电导为互电导，互电导的正负取决于割集的正负取决于割集 i与割集与割集 j在公共支在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。路上的方向，一致时取正，否则取负。 例例 用视察法求图示电路的基本割集用视察
23、法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。电导矩阵和基本割集方程。 解解 用视察法建立基本割集方程，先将用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。受控源当独立源处理。 例例 用视察法求图示电路的基本割集用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。电导矩阵和基本割集方程。 解解 用视察法建立基本割集方程，先将受用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。控源当独立源处理。 用割集电压（即树支电压）表示受控量，可根用割集电压（即树支电压）表示受控量，可根据据 Vb= QfTVt 得得 v4= vC4。另外，另外，i2=G2v2=G2(vC4-vC6) -G5ri2=-G2
24、G5r(vC4-vC6)4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵Rl和割和割集电导矩阵集电导矩阵Gt完全可由视察法求出。完全可由视察法求出。在网络中含受控源的情况下，受控源可先按独立源处在网络中含受控源的情况下，受控源可先按独立源处理，再移项。移项可在求支路电阻矩阵理，再移项。移项可在求支路电阻矩阵Rb和支路电导和支路电导矩阵矩阵Gb时进行，也可在最后求回路电阻矩阵时进行，也可在最后求回路电阻矩阵Rl和割集和割集电导矩阵电导矩阵Gt时进行。时进行。在回路方程中的受控电流或电压，最后一定要用回路电在回路方程中的受控电流或电压，最后一定要用回路电流（即连支电流）来表示；在割集方程中的受控电流或流（即连支电流）来表示；在割集方程中的受控电流或电压，最后一定要用割集电压（即树支电压）来表示。电压，最后一定要用割集电压（即树支电压）来表示。4.6 4.6 基本割集分析法基本割集分析法
