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1、直角三角形中的直角三角形中的边角关系：角关系：CBAabc1 1、角的关系：、角的关系：A+B+C=180A+B=C=90 2 2、边的关系：的关系： a2+b2=c23 3、边角关系：角关系： sinA= =cosBsinB = = cosAacbc复复习CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2 c2 a2+b2看一看想一想看一看想一想直角三角形中的直角三角形中的边a a、 b b不不变，角，角C C进展展变动勾股定理仍成立勾股定理仍成立吗？c2 = a2+b2是是寻觅解解题思思绪的最正确途径的最正确途径 c=AcbCBa AB c2= AB
2、2= AB AB AB= AC+ CB AB AB= (AC+ CB) (AC+ CB)算一算算一算试试！联想想证明：明：向量法向量法假设假设 ABC为恣意三角形，知角为恣意三角形，知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCa证明明同理可同理可证： 格式二：逆用公式格式二：逆用公式证明明bAacCB证明：以明：以CB所在的直所在的直线为x轴，过C点点垂直于垂直于CB的直的直线为y轴，建立如下，建立如下图的坐的坐标系，那么系，那么A、B、C三点的坐三点的坐标分分别为：xy解析法解析法证明明ABCabcD当角当角C为锐角角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角角时CBAabc 余弦定
3、理作余弦定理作为勾股定理的推勾股定理的推行，思索借助勾股定理来行，思索借助勾股定理来证明明余弦定理。余弦定理。证明明证明：在三角形明：在三角形ABC中，知中，知AB=c,AC=b和和A, 作作CDAB，那么，那么CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：同理有： 当然，当然，对于于钝角三角形来角三角形来说，证明明类似，似，课后后 本人完成。本人完成。D余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC他能用文字他能用文字阐明明吗？CBAabc三角形任何一三角形任何一边的平方的平方等于其他两等于其他两边平方的和减
4、去平方的和减去这两两边与它与它们夹角的余弦的角的余弦的积的两倍。的两倍。归纳变一一变乐在其中在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2 - a22bc cosA=c2+a2 - b22ca cosB=a2+b2 - c22ab cosC=变形形归纳想一想：想一想：余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中能否依然成立？形中能否依然成立？ cosC= a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA= b2+c2-a2 2bc cosB= c2+a2-b2 2cacosA= cos B= acbc
5、问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推行定理是勾股定理的推行.问题2：公式的构造特征怎：公式的构造特征怎样？1轮换对称，称，简约优美美;剖剖 析析 定定 理理2每个等式中有同一个三角形中的每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.方程思想方程思想分析分析思索：思索：知两知两边及一及一边的的对角角时，我，我们知道可用正弦定理来解三角知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理形，想一想能不能用余弦定理来解来解这个三角形？个三角形？如：知如：知b=4,c=,C=6
6、0b=4,c=,C=60求求边a.a.3 3知知a a、b b、c c三边，可以三边，可以求什么？求什么？剖剖 析析 定定 理理分析分析P14P14例例3 3P15P15练习2,32,3剖剖 析析 定定 理理4能否把式子 转化为角的关系式？分析：分析：分析分析1知三知三边求三个角；求三个角；问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用：余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？2知两知两边和它和它们的的夹角，求第三角，求第三边和其他两个角和其他两个角.剖剖 析析 定定 理理分析分析P14P14例例1 1、例、例2 2会用才是真的掌握了会用才是真的掌握了余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能中能处
7、理哪些理哪些问题？角角边角角角角角角边边边角角边角角边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理运用运用练一一练：P15练习1，4 1、知、知ABC的三的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：无妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 那么最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22- ( ) 2221= - 12 A=120变一一变：假假设知三知三边的比是的比是 :2:1,又怎又怎样求？求？再再练： 2、知、知ABC中中AB=2、AC=3、A= ，求，求BC的的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=思索：思索：1在三角
8、形在三角形ABC中，知中，知a=7,b=10,c=6,断断定三角形定三角形ABC的外形的外形分析：三角形分析：三角形ABC的外形是由大的外形是由大边b所所对的大角的大角B决决议的。的。2在三角形在三角形ABC中，知中，知a=7,b=10,c=6,求三角形求三角形ABC的面的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S= absinC = bcsinA= acsinB, 只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB代入面积公式即可。代入面积公式即可。2.2.余弦定余弦定理理a =b +c-2bccosAb =c +a-2acco
9、sBc =a +b-2abcosC2222222223.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定明定理理: :课堂小结课堂小结向量法、解析法、几何法1知三知三边求三个角；求三个角；2知两知两边和它和它们的的夹角，求第三角，求第三边和其他两个角和其他两个角.5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用3判判别三角形的外形，求三角形的面三角形的外形，求三角形的面积a =b +c-2bccosAb =c +a-2accosBc =a +b-2abcosC2222222224.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形作业布置作业布置 P16-17 1,5,6,10例例4 4 在长江某渡口处，江水
10、以在长江某渡口处，江水以5km/h5km/h速度向东流。一渡速度向东流。一渡船在江南岸的船在江南岸的A A码头出发，预定要在码头出发，预定要在0.1h0.1h后到达江北后到达江北岸码头如图。设岸码头如图。设ANAN为正北方向，知为正北方向，知B B码头在码头在A A码码头的北偏东头的北偏东15o15o，并与，并与A A码头相距码头相距1.2km.1.2km.该渡船应按该渡船应按什么方向航行？速度是多少什么方向航行？速度是多少 千米千米/ /小时？角度准小时？角度准确到确到0.1o0.1o，速度准确到，速度准确到0.1km/h)0.1km/h)P16P16练习1,21,2练习:P16:P16练习
11、3,43,4练习:P177,13:P177,13作业：作业：P17 2P17 2，8 8，1111，1212提高性提高性训练：1 1、在、在ABCABC中，求中，求证：c=acosB+bcosAc=acosB+bcosA2 2、在、在ABCABC中，假中，假设CB=7CB=7，AC=8AC=8，AB=9AB=9，求，求ABAB边的中的中线长。 例2、在三角形ABC中，知a=2.730,b=3.696,c= , 解这个三角形边长保管四个有效数字，角度准确到 分析：知两分析：知两边和两和两边的的夹角角解：解：例 2：在ABC中，知a2.730，b3.696， C8228，解这个三角形.解： 由 c
12、2=a2b22abcosC,得 c4.297.b2c2a22bc cosA 0.7767， A392, B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299， A=39或141(舍).()ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法二： A84
13、. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = 解：在AOB中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos120 61, |a b|61.例 4：知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababBbACa120O ab 21. COA即ab与a的夹角约为49. cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b
14、22 a ab例 4：知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababBbACa120O在OAC中， |a + b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos60 21,例5 知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 2ABADcosA 2.60,cosC = = 0.30,DC2 + BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思索：假思索：假设A= , 怎怎样用用表表示四示四边形形ABCD的面的面积？练习ABC中,1a4，b3，C60，那么c_；1314.62a = 2, b = 3, c = 4, 那么C = _.104.53a2，b4，C，那么A_.研讨题 总结解三角形的方法：知三角形边角中哪三个量，有独一解或多解或无解？分别用什么方法？4、练习与思索：、练习与思索：在在 中，以下的三角关系式，在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵敏地加以运用：要记熟并灵敏地加以运用：在在 中，中， 在 中，知a+b+c)(a+b-c)=3ab 求角C= 在在 中，中， 且且 的面积的面积为为 ，那么，那么BC的长为的长为
