《概率论与数理统计：第4章 连续系统的复频域分析 1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第4章 连续系统的复频域分析 1（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1、傅立叶变换、傅立叶变换 傅氏级数的收敛条件狄里赫利条件1信号 f (t) 在任意一个
2、周期 T 内绝对可积23信号 f (t) 在任意一个周期T 内，只有有限个极大和极小值点信号 f (t) 在任意一个周期 T 内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处 f (t)必须是有限值 2、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换 但是有些函数不满足绝对可积条件，其傅立叶变换不一定存在，即使存在求解也比较困难。通过选择合适的实数 ，可使信号 是绝对可积分的，所以 的傅氏变换 存在 。引入定义：上式两边乘以et，得 根据傅里叶逆变换的定义，则 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换(或象函数象函数)双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换记为记为：拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：F
3、T: 时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数变量变量 t变量变量 LT: 时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数（变量（变量 t、 都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s (复频率）复频率） t（实数）实数）(复数）复数） 即即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域 的傅氏变换的收敛称信号 的拉普拉斯变换收敛将上式成立（即拉氏变换收敛）的 的取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛域(region of co
4、nvergence)，记为ROC。 积分 有界时，1.拉普拉斯变换的收敛域 (5.2.1) 为了形象化地表示拉氏变换的收敛域ROC，通常将其图示在称为 平面(s-plane)的复平面上 收敛边界收敛边界收敛域收敛域收敛边界收敛边界收敛域收敛域 例例 4.1 - 1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，0。 总总结结：时限信号的双边拉氏变换存在，且在整个平面收敛。 例例 4.1 - 2 求因果信号f2(t)=e-t(t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。 解解 若要f2(t)的双边拉氏变换存在需满足 此时，此时，F2(S)存在存在总结总结：因果信号在部分区域收敛，
5、收敛域为平行于jw轴的一条直线的右边区域。图一：因果信号的收敛区域 例例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-t(-t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。 总结总结：反因果信号的收敛域为平行于jw轴的一条直线的左边区域。 任一信号和它的双边拉氏变换连同收敛域连同收敛域是一一对应的。图二：反因果信号的收敛区域图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a) 因果信号的收敛域； (b) 反因果信号的收敛域；(c) 非时限双边信号的收敛域 例例1 求下列求下列信号的双边拉氏变换。信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e- -3t (t) + e- -2t (t) f2(t)= e - -3t (t) e
6、- -2t (t) f3(t)= e - -3t (t) e- -2t ( t) 解解 Res= 2Res= 3 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。 总结总结： 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换称为单边拉普拉斯变换。4.1.3 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 信号f(t)的单边拉普拉斯变换为：本章线性连续系统的复频
7、域分析主要使用单边拉普拉斯变换。单边拉氏变换域为右平面，信信号号f(t)与与其其单单边拉氏变换边拉氏变换F(S)是一一对应的是一一对应的，可记为：f(t) F(S)。单边拉普拉斯逆变换(或反变换)为：4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 sin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 周期的冲击信号序列信号周期的冲击信号序列信号 T(t) T(t) 1/(1 e-sT) 课堂练习求下列信号的双边边拉氏变换，并注明收敛域求下列信号的单边边拉氏变换，并注明收敛域求下列信号的单边边拉氏变换，并注明收敛域(2)作业：作业：4.3 （2） 4.4 （f）
