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1、2.4 柯西公式柯西公式(一一) 有界区域的柯西积分公式有界区域的柯西积分公式(二二) 无界区域的柯西积分公式无界区域的柯西积分公式(三三) 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数(四四) 例题例题第二章第四节柯西公式1(一一) 有界区域的柯西积分公式有界区域的柯西积分公式若若f(z)在闭单通区域在闭单通区域B上解析，上解析，l 为为B区域的境界线，区域的境界线，a为为B内的任一内的任一点，则有柯西公式点，则有柯西公式如图：如图：l为区域为区域B的境界线，的境界线，z0=a为区为区域的内点。当域的内点。当z沿着沿着l变化时的函数关变化时的函数关系系f(z)如果是已知的，则区域中内点如果是已知的，
2、则区域中内点z0=a处的函数值处的函数值f(a)可以用围绕可以用围绕a点的点的闭合回路闭合回路l的积分表示出来。的积分表示出来。234L0柯西定理柯西定理56证明：由证明：由要证要证(2.4.1),只要只要证证7xyOlC a由于由于z=a一般为一般为f(z)-f(a)/(z-a)的奇点，因此，以的奇点，因此，以a为圆心，为圆心，为为半径作小圆半径作小圆C ,于是在于是在l 及及C 所围复通区域上，所围复通区域上， f(z)-f(a)/(z-a)单值解析。按复通区域的柯西定理，单值解析。按复通区域的柯西定理，8xyOlC a上式右端有上式右端有:在在C 上的最大值上的最大值.其中其中 是是9由
3、于由于(2.4.2)左端与左端与无关无关,故必有故必有柯西公式得证柯西公式得证. 柯西公式将解析函数在任一内点柯西公式将解析函数在任一内点a的值的值f(a)用沿境界线用沿境界线 l 的回路积的回路积分表示出来分表示出来.10DD11ll2l1闭复通区域的柯西公式：闭复通区域的柯西公式：积分均沿着境界线正方向。积分均沿着境界线正方向。12(二二) 无界区域的柯西积分公式无界区域的柯西积分公式如果如果f(z)在简单闭合曲线在简单闭合曲线l上及上及l 外解析外解析,且当且当 时时, , 则柯西积分公式则柯西积分公式仍然成立仍然成立,此处此处z为为 l 外一点外一点,积分路线积分路线 l 为顺时针方向
4、为顺时针方向.13(三三) 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数柯西公式的一个重要推论是解析函数可求任意阶导数柯西公式的一个重要推论是解析函数可求任意阶导数由于由于z为区域的内点，积分变数在区域的境界线上，为区域的内点，积分变数在区域的境界线上，积分号下的函数积分号下的函数在区域上处处可导，因此柯西公式在区域上处处可导，因此柯西公式可在积分号下对可在积分号下对z求导，得求导，得1415总结：总结：CauchyCauchy公式的用处公式的用处1)1)建立了解析函数建立了解析函数闭合路径积分闭合路径积分与闭合积分路径与闭合积分路径包围内函数包围内函数值值之间的关系之间的关系; ;2)2)2) 2)
5、 一类复变函数的路径积分可以直接用内点的函数值计一类复变函数的路径积分可以直接用内点的函数值计算算. .3) 一类函数的路径积分可以用内点的函数导数值计算一类函数的路径积分可以用内点的函数导数值计算.柯西公式将解析函数在任一内点柯西公式将解析函数在任一内点 的值的值 用沿闭合曲线用沿闭合曲线l l的的回路积分表示出来，这并不奇怪，因为解析函数各点的值通过回路积分表示出来，这并不奇怪，因为解析函数各点的值通过柯西柯西-黎曼方程互相联系黎曼方程互相联系!( ( ) )( ( ) ).214)表达式表达式给出了解析函数的积分给出了解析函数的积分z z- -z zz zp p= = dzfizfC16
6、推论推论推论推论: :模数原理模数原理:设设f(z)在某闭区域上为解析在某闭区域上为解析,则则|f(z)|只能在境界只能在境界线上取极大值线上取极大值.刘维尔定理刘维尔定理:设设f(z)在全平面上解析在全平面上解析,并且有界并且有界,即即则则f(z)必为常数必为常数.柯西积分公式柯西积分公式:若若f(z)在闭单通区域在闭单通区域B上解析，上解析，l 为为B区域的境界线，区域的境界线，a为为B内内的任一点，则有柯西公式的任一点，则有柯西公式1）形式：）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个
7、形式；如果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关）积分结果与分子在该奇点的函数值有关17解解若若f(z)在闭单通区域在闭单通区域B上解析，上解析，l 为为B区域的境界线，区域的境界线，a为为B内的任一内的任一点，则有柯西公式点，则有柯西公式1）形式：）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；变形的时候，先找积分函数的奇是这个形式就要求转化为这个形式；变形的时候，先找积分函数的奇点。点。2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关）积分结果与分子在该奇
8、点的函数值有关18随堂练习：随堂练习：19若若f(z)在闭单通区域在闭单通区域B上解析，上解析，l 为为B区域的境界线，区域的境界线，a为为B内的任一内的任一点，则有柯西公式点，则有柯西公式1）形式：）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关）积分结果与分子在该奇点的函数值有关20若若f(z)在闭单通区域在闭单通区域B上解析，上解析，l 为为B区域的境界线，区域的境界线，a为为B内的任一内的任一点，则有柯西公
9、式点，则有柯西公式1）形式：）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关）积分结果与分子在该奇点的函数值有关212223随堂练习：随堂练习：24解解练习练习讲解讲解25解解根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得练习练习2：26柯西定理柯西定理27L0柯西定理柯西定理28这类题的解题方法这类题的解题方法：求解复变函数沿闭合回路的积分大体分为以下几步：求解复变函数沿闭合回路的积分大体分为以下几步： 找出被积函数没有定义的所有点，确定这些点中，哪找出被积函数没有定义的所有点，确定这些点中，哪 个点在积分回路所围的区域中，该点就是被积函数的个点在积分回路所围的区域中，该点就是被积函数的 奇点。奇点。 将被积函数写成柯西公式的形式，将被积函数写成柯西公式的形式， 得出得出积分分值29作业：作业：30
