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1、第三章第三章第三章第三章 晶格动力学和晶体的热晶格动力学和晶体的热晶格动力学和晶体的热晶格动力学和晶体的热性质性质性质性质n格波：格波：有什么特点（与机械波比较）有什么特点（与机械波比较）n声学支、光学支声学支、光学支：意义是什么意义是什么n布里渊区：布里渊区：为什么有这个概念为什么有这个概念重点难点在在第第一一章章，假假定定原原子子在在格格点点位位置置上上静静止止不不动。称其为平衡位置。动。称其为平衡位置。实实际际上上原原子子绕绕平平衡衡位位置置附附近近振振动动。晶晶格格振振动动对对固固体体的的热热学学、声声学学和和光光学学性性质质有有重重要要影影响响。包包括括金金属属的的超超导导电电性性也
2、也与与晶晶格格振振动动相关。相关。本章主要讨论晶格振动的描述本章主要讨论晶格振动的描述格波格波2回忆回忆、长波近似：长波近似：弹性波弹性波机械振动在介质中形成波（横波、纵波）机械振动在介质中形成波（横波、纵波）当波长很长时，可以不考虑原子的性质，当波长很长时，可以不考虑原子的性质，而把固体当作而把固体当作连续介质连续介质，相应的波称为，相应的波称为弹弹性波（机械波）性波（机械波）。满足连续性波动方程满足连续性波动方程例：一维纵波方程：例：一维纵波方程：3你知道哪些你知道哪些？取行波解取行波解: : 对横波，这种色散关系也成立对横波，这种色散关系也成立例：真空中的光例：真空中的光 4线性色散关系
3、线性色散关系 线性色散关系线性色散关系对长波有效对长波有效我们将看到，当波长很短我们将看到，当波长很短 a a 时，与弹性波偏时，与弹性波偏离增加，需考虑晶格的结构离增加，需考虑晶格的结构格波格波 这是本章的重点这是本章的重点 当当减小时，晶格的不连减小时，晶格的不连续性变得更重要，原子开续性变得更重要，原子开始对波产生散射，散射的始对波产生散射，散射的结果是减小波速而阻碍波结果是减小波速而阻碍波的传播的传播 这是本章的重点主要结论这是本章的重点主要结论53 3.1 .1 简正模和格波简正模和格波一、微振动理论一、微振动理论例：单谐振子例：单谐振子7一般的，晶体有一般的，晶体有N个原子，个原子
4、，3N个自由度，对个自由度，对应应3N个位移分量个位移分量ui。引入约化坐标。引入约化坐标两原子间势能两原子间势能: :取平衡位置附近：取平衡位置附近：小振动小振动: :忽略高阶项忽略高阶项89N个原子：个原子：3N3N个耦合个耦合谐振子谐振子10处理这样的问题，有标准的线性代数方法：处理这样的问题，有标准的线性代数方法：（1）求本征值）求本征值（2 2）坐标变换）坐标变换Qi：简正坐标简正坐标，它表示所有原子，它表示所有原子q以同样的频以同样的频率振动，称为率振动，称为简正模简正模（单模）（单模）二、格波二、格波可以证明，在某个简正模下，所有原子都可以证明，在某个简正模下，所有原子都以同样频
5、率振动：以同样频率振动：11原子振动形成平面波，由于只在格点处有原子振动形成平面波，由于只在格点处有振动，称为振动，称为格波格波 N个原子振动，等于个原子振动，等于3N个独立谐振子，个独立谐振子，等价于等价于3N个独立的格波个独立的格波3.2 3.2 一维单原子链振动一维单原子链振动一、运动方程及其解一、运动方程及其解本节从最简单的晶格模型本节从最简单的晶格模型一维单原一维单原子链出发，讨论格波的特点子链出发，讨论格波的特点N N个个原原子子（相相同同）排排在在一一直直线线上上，间间距距为为a a，位移为位移为u ul l 13aallll-1-1ll-2-2ll+1+114一般方法：一般方法
6、：最近邻近似：最近邻近似：简单的：相邻原子间作用力：简单的：相邻原子间作用力： 第第l l个原子个原子 : :15可以严格求解，设如下的可以严格求解，设如下的“格波格波”形式解形式解 A A，为待定常数，带入方程得：为待定常数，带入方程得： 16二、格波特性二、格波特性 1. 色散关系色散关系17波的（群）速度：波的（群）速度：波的速度与频率有关，且有周期性：波的速度与频率有关，且有周期性：长波极限（连续介质）长波极限（连续介质）18这对应固体中的声，无色散这对应固体中的声，无色散长波极限下：长波极限下：19短波极限下：短波极限下： 驻波，波速是驻波，波速是0 02.2.布里渊区布里渊区（BZ
7、BZ）* *：由由于于周周期期性性，q q和和q+Khq+Kh代代表表同同一一振振动动模模（所所有有原子振动没有变化）所以原子振动没有变化）所以q q的取值限制在的取值限制在 ： 20例：晶格对下面两种波例：晶格对下面两种波的的“感受感受”完全一样完全一样3 3 波恩冯卡门边界条件：波恩冯卡门边界条件：前面没有考虑边界效应，相当于无穷长链。有前面没有考虑边界效应，相当于无穷长链。有限长链考虑边界。限长链考虑边界。驻波条件：假定两端不动，而中间原子振动。驻波条件：假定两端不动，而中间原子振动。周期性边界：两端原子也振动，但假定右端和周期性边界：两端原子也振动，但假定右端和左端相连接，这相当于一个
8、首尾连接的大圆环左端相连接，这相当于一个首尾连接的大圆环本书取第二种边界条件。由于宏观固体很大，本书取第二种边界条件。由于宏观固体很大，边界效应不重要，采用两种边界条件都可以，边界效应不重要，采用两种边界条件都可以，周期性边界在数学上更简便。周期性边界在数学上更简便。21加上边界条件后，解的形式不变，仅对波加上边界条件后，解的形式不变，仅对波数数q q提出限制：提出限制：2223第一布里渊区共有第一布里渊区共有N N个振动模式个振动模式, ,均匀分布。均匀分布。定义定义（态）波矢密度（态）波矢密度：单位波矢数内的模：单位波矢数内的模数数小结小结一维单原子链（一维单原子链（N）振动，有）振动，有
9、N个简正模，个简正模，每个模是简谐格波：每个模是简谐格波：24q取决于边界条件：取决于边界条件：2526取决于运动方程得到的色散关系：取决于运动方程得到的色散关系：波振幅波振幅A取决于能量取决于能量晶格中任意振动，可以分解为这些格波的晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加线性叠加单链的频率谱成为带，即有最低、最高频单链的频率谱成为带，即有最低、最高频率率3.3 3.3 一维双原子链振动一维双原子链振动本节讨论最简单的复式晶格本节讨论最简单的复式晶格, , 模拟模拟双原子分子双原子分子27一、运动方程及其解一、运动方程及其解设有两种原子，设有两种原子，m, Mm, M，各各N N个（个（N
10、 N个原胞），个原胞），晶格常数为晶格常数为a a28l-1l-1l+1l+1l ll+2l+2在最近邻近似下，运动方程：在最近邻近似下，运动方程：29取行波解取行波解: :只假设两种原子只假设两种原子振幅不一样振幅不一样振幅满足振幅满足：30二、声学波和光学波二、声学波和光学波1.1.周期性与布里渊区周期性与布里渊区31322.2.声学支声学支长波极限：长波极限：q0q0， 色散关系是线性关系，色散关系是线性关系，故故称为声学支称为声学支元胞中两原子运动一致，元胞中两原子运动一致，像刚体分子一样，它们的像刚体分子一样，它们的质心振动质心振动和单原子链等价。和单原子链等价。在在布里渊区边界布里
11、渊区边界重原子振动，轻原子不动重原子振动，轻原子不动这是驻波这是驻波33343.3.光学支光学支长波极限：长波极限：q0q0， q 0 q 0 时，两种原子相对振动，保持质时，两种原子相对振动，保持质心不变心不变 对对离离子子晶晶体体，这这是是两两种种离离子子的的电电偶偶极极矩矩振振荡荡，能能够够对对+ + 的的红红外外光光产产生生强强烈共振吸收，烈共振吸收，所以称为光学支所以称为光学支。35在在布里渊区边界布里渊区边界重原子不动，轻原子振动重原子不动，轻原子振动这是驻波这是驻波36采用周期性边界：采用周期性边界： 共共 N N 个个 q q 模，模，2 2N N 个个 模，与自由模，与自由度
12、一致，所以得到了全部振动模度一致，所以得到了全部振动模 。37三、波恩冯卡门边界条件三、波恩冯卡门边界条件小结小结一维双原子链（一维双原子链（N）振动，有）振动，有N个独立波矢个独立波矢38每个波矢量每个波矢量q，有，有2个独立模，共有个独立模，共有2N个独个独立模立模39晶格中任意振动，可以分解为这些格波的晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加线性叠加两种模分别形成两个带，带间有带隙两种模分别形成两个带，带间有带隙3.4 3.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 格波量子声子格波量子声子一、三维晶格的振动一、三维晶格的振动 三维情况可以以一维情况类似推得出一些三维情况可以以一维情况类似推得
13、出一些结论，而不需严格求解结论，而不需严格求解系统：系统： N=NN=N1 1 N N2 2 N N3 3 个元胞，每个元胞个元胞，每个元胞中有中有n n个原子个原子有有N N个独立波矢：个独立波矢：41在在q q空间中是均匀分布的。每个点子占据空间中是均匀分布的。每个点子占据的体积为：的体积为：42每个每个q q，有，有3n3n个独立模个独立模s s ，它们形成，它们形成3 3个声个声学支，学支，3 3-3-3光学支光学支43也可以定义也可以定义态密度态密度：波矢空间中，单位：波矢空间中，单位体积元的模数体积元的模数量子力学中，谐振子有分立的本征能量量子力学中，谐振子有分立的本征能量44二、
14、量子理论二、量子理论声子声子 1.1.补充知识：谐振子量子理论补充知识：谐振子量子理论声子声子：简谐振动的量子（如同光子）：简谐振动的量子（如同光子）1)1)声子可以产生，消失，对应于振子的激发声子可以产生，消失，对应于振子的激发2)2)声子遵从声子遵从BoseBoseEinstein Einstein 统计统计 （s=0)s=0)3)3)声子是系统原子激体振荡的效应声子是系统原子激体振荡的效应45关于关于 ，有两种等价的观点：，有两种等价的观点：1 1）激发态：谐振子处在第）激发态：谐振子处在第n n个激发态个激发态2 2）声子：体系有）声子：体系有n n个声子个声子2. 晶格振动量子理论晶
15、格振动量子理论 等价于等价于3nN个独立谐振子个独立谐振子46用量子理论描述，每个模的本征能量：用量子理论描述，每个模的本征能量：等价地：等价地：晶格振动有晶格振动有3nN种声子种声子473.3.声子的统计理论声子的统计理论T=0KT=0K时，声子数时，声子数n=0n=0（谐振子处在基态）。（谐振子处在基态）。T0KT0K时，声子的数目在平均数上下变化。时，声子的数目在平均数上下变化。其中，有其中，有n nqsqs个声子的概率：个声子的概率：配分函数配分函数T0KT0K时，平均声子数：时，平均声子数：48 声子的能量声子的能量由于不同模是独立的，晶格振动的总声子由于不同模是独立的，晶格振动的总
16、声子平均数，总平均热激发能：平均数，总平均热激发能：494.4.声子的准动量声子的准动量声子是一种能量子，有粒子性，有能量，声子是一种能量子，有粒子性，有能量，还有准动量：还有准动量：电子、光子等与晶格振动的作用，可以描述电子、光子等与晶格振动的作用，可以描述为声子的吸收和发射。如光的散射过程：为声子的吸收和发射。如光的散射过程：3.7 晶格振动比热容晶格振动比热容晶体的比热包括：晶格热容，（价）晶体的比热包括：晶格热容，（价）电子热容。电子热容。请回忆这两种热容请回忆这两种热容一、经典理论一、经典理论 杜隆杜隆替定律替定律 N N个个原原子子的的振振动动 分分成成3 3N N个个独独立立的的
17、振振动动自自由由度度 3 3N N个个谐谐振振子子，按按经经典典统统计计，每每个个自由度的平均能量：自由度的平均能量： 比热比热 51与与温度和材料无关，但实验上温度和材料无关，但实验上测定，当测定，当 T T 00k k 时，时，C C 00二、晶格比热量子理论二、晶格比热量子理论晶格比热晶格比热52晶格振动的平均热能晶格振动的平均热能53要得到比热，必需先知道晶格振动的本征要得到比热，必需先知道晶格振动的本征波矢，然后完成求和。波矢，然后完成求和。困难在于，实际晶格的本征波矢困难在于，实际晶格的本征波矢q很难得到。很难得到。三、三、Einstein 模型模型 及其比热及其比热(1907)E
18、insteinEinstein假设所有的原子以相同的频率假设所有的原子以相同的频率 0 0振动振动设设 ： 定义定义: : 爱因斯坦温度爱因斯坦温度5455与经典值一致。原因：高温时，声子能与经典值一致。原因：高温时，声子能量远小于热激发能量远小于热激发能k kB BT T，近似为连续能级。，近似为连续能级。56（1 1）高温极限：）高温极限： （2 2）低温极限：）低温极限：原因：原因：T0 T0 时，振动被冻结在基态上，时，振动被冻结在基态上，很难激发。很难激发。T TE E的的值值由由实实验验数数据据拟拟合合得得到到。大大多多数数固固体体T TE E在在100100300300K K，金
19、刚石为金刚石为13201320K K。57成成功功：能能够够定定性性说说明明固固体体比比热热和和温温度度的的关系，特别是低温时趋于关系，特别是低温时趋于0 0。不足：不足：在低温时，在低温时， 趋于趋于0 0的速度过快的速度过快原因：其假设过于简单，缺少低能声子原因：其假设过于简单，缺少低能声子爱因斯坦模型的实质：该模型的声子对爱因斯坦模型的实质：该模型的声子对应光学声子。应光学声子。58要得到比热的精确结果，需要完成求和。要得到比热的精确结果，需要完成求和。由于由于q q在倒空间是准连续的，求和用积分在倒空间是准连续的，求和用积分代替：代替：四、声子态密度四、声子态密度波矢密度波矢密度：在：
20、在q q空间单位体积元内空间单位体积元内的模式数的模式数59转换到对频率积分转换到对频率积分声子态密度声子态密度 表示单位频率间隔内的表示单位频率间隔内的模式数。约束条件：模式数。约束条件： 60推导推导6162不同维度的表达：不同维度的表达：例：爱因斯坦模型例：爱因斯坦模型 五、德拜模型和德拜比热五、德拜模型和德拜比热(1912) DebyeDebye考虑声子频率的分布。考虑声子频率的分布。假设一假设一：晶格振动为连续介质中的：晶格振动为连续介质中的弹性波弹性波。有有1 1个纵波，个纵波，2 2个横波，满足色散关系：个横波，满足色散关系：63假设二假设二：有：有截止波矢，截止波矢，qqqqD
21、 D的的波不波不存在存在对应的对应的截止频率截止频率：64在截止频率内：在截止频率内：65德拜态密度：德拜态密度：66引入引入德拜温度德拜温度：德拜温度是未定参数，它可以德拜温度是未定参数，它可以（1 1）由平均速度定义；）由平均速度定义；（2 2）与实验数据拟合。）与实验数据拟合。成功：在低温时，较精确成功：在低温时，较精确不足：温度较高时，德拜温度变化。该模不足：温度较高时，德拜温度变化。该模型用弹性波假设，没有反映格波特性。型用弹性波假设，没有反映格波特性。低温极限：低温极限：67Einstein Einstein 模型模型 处理光学支比较合适处理光学支比较合适Debye Debye 模
22、型模型 处理声学支比较合适处理声学支比较合适习题习题3.1，3.2补充习题：补充习题：证明：长波下单原子链运动方程为证明：长波下单原子链运动方程为可化为连续介质弹性波动方程可化为连续介质弹性波动方程 68复习思考题复习思考题1.1.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？数目或格波振动模式数目是否是一回事？ 2.2.简单解释简单解释“格波格波”的意义，并说明布里渊区的意义，并说明布里渊区产生的原因。产生的原因。3.3.说明格波与弹性波的主要区别。说明格波与弹性波的主要区别。4.4.格波常采用什么边界条件？不同的边界条件格波常采用什么边界条件？不同的边界条件影响大吗？为什么？影响大吗？为什么？5.5.描述在长波极限下描述在长波极限下( (q0)，一维双原子晶格一维双原子晶格振动的声学支和光学支的运动状态。振动的声学支和光学支的运动状态。696.6.简单解释晶格振动热容量的爱因斯坦模型。简单解释晶格振动热容量的爱因斯坦模型。7.7.晶格振动热容量的德拜模型有哪些基本假晶格振动热容量的德拜模型有哪些基本假设？设？8.8.在甚低温时，爱因斯坦模型和德拜模型哪在甚低温时，爱因斯坦模型和德拜模型哪个更好。请分析原因？个更好。请分析原因？70
