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1、3.4 函数的单调性与凸性函数的单调性与凸性3.4.1函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调函数图形的特征：单调函数图形的特征： 函数函数y=f(x) 在在a,b单调增加单调增加,f(x)在点在点x可导，可可导，可以看出以看出oxyab单调函数图形的特征：单调函数图形的特征：函数函数y=f(x) 在在a,b单调减少单调减少,f(x)在点在点x可导，可可导，可以看出以看出 oabxy定理定理 oabxyoxyab证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一
2、区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性x00,+）y-+ 例：确定函数例：确定函数f(x)=x3-6x2+9x-1的单调区间的单调区间.13+-+单调区间求法单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点
3、的分界点方法方法: :例例2 2解解单调区间为单调区间为还可以用列表的方式讨论还可以用列表的方式讨论x+-+-+oyx例：讨论例：讨论 y=x3的单调性的单调性.0+oxyxyoy=f(x)xyoy=f(x)(2)、不等式的证明、不等式的证明若若f(x)在在a,b连续，连续，则则f(x)单调增加单调增加,f(x)f(a)=0oabyx.这是证明不等式的有力工具这是证明不等式的有力工具., f(x)f(1), 因为因为f(1)=0,例例4 4证证3.4.2 函数凸性的判别法函数凸性的判别法曲线凸性的定义曲线凸性的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任
4、意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方一、曲线的凸性的概念一、曲线的凸性的概念 根据函数根据函数f(x)的导数的符号，可以判断函数的单的导数的符号，可以判断函数的单调性调性. 同样单调增加同样单调增加 (减少）的情形确不相同减少）的情形确不相同. 例如例如 oxyox1x2yx ox1x2xy图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方oxy（1） 若在某区间内，曲线若在某区间内，曲线图形位于其上图形位于其上每点的切线的上方，则称此曲线在该区间内是下凸的，每点的
5、切线的上方，则称此曲线在该区间内是下凸的，该区间称为曲线的下凸区间该区间称为曲线的下凸区间.（2） 若在某区间内，曲线若在某区间内，曲线图形位于其下图形位于其下每点的切线的下方，则称此曲线在该区间内是上凸的，每点的切线的下方，则称此曲线在该区间内是上凸的，该区间称为曲线的上凸区间该区间称为曲线的上凸区间.oxy二、曲线凸性的判别二、曲线凸性的判别ox1x2yx ox1x2xy两式的两端分别相加,得(2)对光滑对光滑曲线曲线y=f(x),曲线是下曲线是下 凸凸(上凸上凸)是切线是切线的斜率的斜率oxyoyxoxy三、曲线的拐点三、曲线的拐点定义定义 连续曲线连续曲线y=f(x)的下凸弧与上凸弧的
6、分界点的下凸弧与上凸弧的分界点称为曲线的拐点称为曲线的拐点.x0xyo拐点的判别法：拐点的判别法：注：要求出拐点，先要求出注：要求出拐点，先要求出注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.例：讨论曲线例：讨论曲线 y=x4-2x3+1 的凸性及拐点的凸性及拐点 ._拐点拐点(0,1)(1,0)判别曲线判别曲线 y=f(x) (x(a,b) )凸性和拐点的步骤：凸性和拐点的步骤：0+上凸上凸 下凸不存在拐点(0,5)例例2 2解解下凸的下凸的上凸的上凸的下凸的下凸的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意: :例例4 4解解用用Mathematica4
7、.0显示函数的单调性与图形的凹图性显示函数的单调性与图形的凹图性小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五题图第五题图
