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1、第六章第六章 分离性公理分离性公理本章介绍分离性公理与可度量化定理, 其中包含著名的Urysohn引理、Tietze扩张定理和Urysohn嵌入定理, 这是全书中最难证明的几个重要定理. 几类分离性公理的刻画及相互关系(6.1-6.4)是本章的主要内容.2021/6/416.1 T0, T1, Hausdorff空间 定定义义6.1.16.1.1 X称为T0空间, 若X中任两个不同点中必有一点有一个开邻域不包含另一点, 即xyX, 或者有开邻域U不含y, 或者有开邻域V不含x. 定理定理6.1.16.1.1 X是T0xyX, xy. 证证 “”xyX, 若x有邻域U使yU, 那么xy, 所以x
2、y. 同理, 若y有邻域V使xV, 那么xy. “” xyX, 由于xy, 不妨设x-y, 如果xy, 那么xy, 矛盾, 于是xy, 所以xy. 2021/6/426.1 T0, T1, Hausdorff空间(2) 定定义义6.1.26.1.2 X称为T1空间, 若X中任两不同点中每一点有一个开邻域不包含另一点, 即xyX, x的邻域U使yU. T1T0, 反之不成立, 如X=0, 1, T=, 0, X. 定理定理6.1.26.1.2 X是T1xX, x是闭集. 证证 “”xyX, 存在y的邻域U使xU, 那么yx, 从而x=x. “” xyX, x有开邻域y使yy, y有开邻域x使xx
3、. 等价于有限集是闭集, 因为x1, x2, , xn=x1xn.2021/6/436.1 T0, T1, Hausdorff空间(3) 定定理理6.1.36.1.3 设X是T1空间, AX. 则xd(A)x的邻域U, UA是无限集. 只须证“”. 若不然, x的邻域U使UA是有限集, 则 B=UA-x是 闭 集 , 于 是 U-B是 x的 开 邻 域 且 (U-B)A=, 矛盾. 定定义义6.1.3 6.1.3 X X称为T2空间或Hausdorff空间, 若X中不同点存在互不相交的开邻域. 即xyX, 分别x, y的邻域U, V使得UV=. T2T1, 反之不成立.2021/6/446.1
4、 T0, T1, Hausdorff空间(4) 例例6.1.16.1.1 含有无限多个点的有限补空间X: T1, 非T2. X的每一有限子集是闭集, 所以X是T1空间. 由于X中任两个非空开集必定相交, 所以X不是T2空间. 定理定理6.1.5 6.1.5 T2空间中, 任意收敛序列有唯一极限点. 证证 设T2空间X中的序列xiy1, 又有xiy2且y1y2, 分别y1, y2的开邻域V1, V2使V1V2=, nZ Z+, 使in有xiV1V2, 矛盾. 在T1空间中, 定理6.1.5可以不成立. 如对例6.1.1中的空间X, X中的任一由两两不同点构成的序列xi收敛于任意xX. 事实上,
5、设U是x的开邻域, 则U是有限集, nZ Z+, 使当in时有xiU, 所以xix.2021/6/456.2 正则, 正规, T3, T4空间 定定义义6.2.16.2.1(集的邻域) 设A, UX, 若AU, 称U是A的邻域. 若U还是开(闭)集, 称U是A的开(闭)邻域. 定定义义6.2.26.2.2 X称为正则空间, 如果xX, 及X的不含x的闭集A, 则x与A有不相交的开邻域, 即X的不交开集U, V使xU且AV. 定定理理6.2.16.2.1 X是正则空间xX及x的开邻域U, 开集V使xVVU. 证证 “”对x的开邻域U, xU, X的不交开集U1, V1使xU1, UV1, 从而x
6、U1(U1)(V1)U. “”xX及X的闭集A使xA, 那么xA, 开集V使xVVA, 令U=V, 则V, U是不交开集且xV, AU. 2021/6/466.2 正则, 正规, T3, T4空间(2) 定定义义6.2.36.2.3 X称为正规空间, 如果X中不交闭集存在不交的开邻域, 即若A, B是X的不交的闭集, 存在不交开集U, V使AU, BV. 定定理理6.2.26.2.2 X是正规空间对X的闭集A及A的开邻域U, 存在开集V使AVVU. 与定理6.2.1的证明类似. 例例6.2.16.2.1 正则+正规 T0. 令X=1, 2, 3, T=, 1, 2, 3, X, 则(X, T)
7、是拓扑空间. 由于X的开集也是闭集, 所以X是正则, 正规空间. 由两点2, 3可见, X不是T0空间.2021/6/476.2 正则, 正规, T3, T4空间(3) 例例6.2.26.2.2(Smirnov删除序列拓扑) T2, 非正则空间. R R的通常拓扑为T. 令 K=1/n | nZ Z+, T*=G-E | GT, EK.可以验证T*是R R上的拓扑且TT*. 于是(R R, T*)是T2空间. 由于(R R, T*)的闭集K与0没有不交的开邻域, 所以(R R, T*)不是正则空间. 定义定义6.2.46.2.4 T3=正则+T1, T4=正规+T1. T4T3T2. 正则 正
8、规, 关键在于“单点集未必是闭集”. 2021/6/486.2 正则, 正规, T3, T4空间(4) 定理定理6.2.36.2.3 度量空间T4. 证证 对 度 量 空 间 (X, ), 先 证 X是 T2. xyX, (x, y)=20, 则B(x, ), B(y, )是x, y的不交的开邻域. 设A, B是X的不交的非空闭集. x, yX, 由定理2.4.9, 如果xB, 则(x, B)0; 如果yA, 则(y, A)0. 记(x, B)=2(x), (y, A)=2(x), 并 令 U=xAB(x, (x), V=yBB(y, (y), 则U, V分别是A, B的开邻域. 以下证明UV
9、=. 若不然, zUV, x1A, y1B, 使zB(x1, (x1)B(y1, (y1), 于是(z, x1)(x1), (z, y1)(y1). 不妨设(x1)(y1), 于是(x1, y1)(x1, z)+(z, y1)0, B(x, )D. n0使inxi22/2.于是y=(y1, y2, , yn, 0, 0, )D且所以yB(x, )D.in, yiQQ使|xi-yi|/ . (x, y)= =, 2021/6/4216.6 可度量化空间(3) 定理定理6.6.3 6.6.3 下述等价: (1)X是第二可数的T3空间; (2)X可嵌入H H; (3)X是可分的度量空间. 证证 由已证命题可知(3)(1)(2). (2)(3). H H是可分的度量空间, H H的子空间也是可分度量空间, 从而X是可分度量空间. 上述定理中的T3条件是必不可少的, 如例6.2.2中的空间(R R, T*)是A2的T2空间, 但不是T3空间.2021/6/422部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
