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1、1.3.2“杨辉三角杨辉三角”与与二项式系数的性质二项式系数的性质临猗中学临猗中学 樊光明樊光明一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数为特殊值时，二项式系数有什么特点？有什么特点？1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： 1
2、1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 表中每行两端都是表中每行两端都是1 1，与这两个，与这两个1 1等距离的系数相等；而且等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1 1以外的每一个数都等于它肩上两个以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。数的和；同一行中系数先增后减。上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)(1)(1)对称性对称性: : 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值
3、. . 增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小. . (2)(2)递推性递推性: : 除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和. .二项式系数的性质二项式系数的性质(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值. . 增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小. . 所以 相对于 的增减情况由 决定 可知可知，当当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 （3）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当
4、当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（4）各二项式系数的和）各二项式系数的和 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于： 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质： （1 1） （2 2） （3 3）当）当 时，时， （4 4） 当当 时，时， 还可运用函数的观点，结合还可运用函数的观点，结合“杨辉三角杨辉三角”和函数图象，研和函数图象，研究二
5、项式系数的性质究二项式系数的性质 ( (a+ +b) )n展开式的二项式系数是展开式的二项式系数是 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数f( (r),),其定义域是其定义域是0,1,2,0,1,2,n,对于确定的对于确定的n,n,可以画出它的图像。可以画出它的图像。例如：当例如：当n=6=6时，其图象是右图中时，其图象是右图中的的7 7个孤立点个孤立点. .-1084621620f(r).369r课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项
6、和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n= ； 例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和证明在证明在( (a+ +b) )n的展开式中，奇数项的二项式系数的的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和和等于偶数项的二项式系数的和. .即证：即证：证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 小结：小结：赋值法赋值法在二项式定理中，常对在二项式定理中，常对a,b赋予一些特赋予一些特 定的值定的值1，-1等来整体得到所求。等来整体得到所求。赋值法的应用解
7、决二项式系数问题解决二项式系数问题.赋值法赋值法已知已知求求:(1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)例例4:4:求求(x+2)(x+2)1010 （x x2 2-1-1）展开式中含）展开式中含 x x 10 10 项的系数为项的系数为. . 变式：求变式：求(1+x+x(1+x+x2 2)(1-x)(1-x)1010展开式中含展开式中含x x项的系数项的系数. .求两个求两个( (多个多个) )二项式乘积的展开式的特定项方法：二项式乘积的展开式的特定项方法：（1 1）先化简，化成一个二项式的展开式）先化简，化成一个二项式的展开式; ;（2 2）分析两个（
8、多个）二项式的通项的字母的指数）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, ,利用找利用找伙伴伙伴的方式解决的方式解决. .例例3 3：求：求 展开式中的常数项展开式中的常数项. . 例例4： 的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。数相等，求展开式中二项式系数最大的项。变式引申：变式引申：1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于( )A.21
9、0 B.120 C.461 D.4163:(1 x )13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 ( )(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值最值.小小 结结 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解决法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。有关二项展开式系数的问题的重要手段。注意注意
