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1、第2章 线性方程组 在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一.2.1 消元法消元法 上上一一章章导导出出的的克克拉拉默默法法则则在在理理论论上上是是一一个个非非常常完完美美的的结结果果，利利用用行行列列式式，把把线线性性方方程程组组的的解解以以公式解公式解的形式表示了出来。的形式表示了出来。 然然而而，克克拉拉默默法法则则仅仅可可解解决决当当线线性性方方程程组组的的方方程程个个数数与与未未知知数数个个数数相相同同，并并且且方方程程组组的的系系数数行列式不等于零行列式不等于零时的求解问题。时的求解问题
2、。 如如果果当当方方程程组组的的方方程程个个数数与与未未知知数数个个数数不不相相同同，或或者者方方程程组组的的系系数数行行列列式式等等于于零零等等更更加加一一般般的的线线性性方方程程组组时时，不不能能用用克克拉拉默默法法则则来来求求解解，因因而，我们来讨论一般的线性方程组的求解问题。而，我们来讨论一般的线性方程组的求解问题。其中其中未知量未知量, ,第第i个方程第个方程第j个未知量个未知量xj的系数的系数, ,常数项常数项若全为若全为0 0称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组所谓所谓一般线性方程组一般线性方程组是指具有形式：是指具有形式：否否则则，为为非非齐齐次次线线性性方方程程组组由由m个方
3、程个方程n个未知量的线性方程构成的方程组个未知量的线性方程构成的方程组 求求解解线线性性方方程程组组有有着着广广泛泛的的实实际际应应用用，针针对对一一般般形形式式的的线线性性方方程程组组求求解解问问题题，实实际际上上主主要要是是讨讨论论以以下下二二个个问问题题(1)(1)如如何何判判别别一一个个线线性性方方程程组组是是否否有有解解;(2);(2)若若有有解解，则判断解是唯一还是有无穷多个解，并求出所有解则判断解是唯一还是有无穷多个解，并求出所有解. . 例：图2.1是某城市某区域单行道路网.据统计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而从路口B和C出来的车流量分别为每小时350辆和150辆.
4、求出沿每一个道路每小时的车流量. 解：如图所示，设沿这些道路每小时车流量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,鉴于出入每一个路口的车流量是相等的，于是有这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组：所提的问题就归结为求解上述线性方程组。那如何求解呢那如何求解呢?能用克拉默法则求解吗?基本的也较方便的方法还是我们中学就熟悉的消元法消元法。现在我们来回顾一下，中学是如何求解方程组的。现在我们来回顾一下，中学是如何求解方程组的。例例解线性方程组不能用克拉默法则求解.()解解互换、两个方程得到同解的方程组，消去 、中的x1， 可以得到继续消去、中的x2， 可以得到同同解解同同解解()()()()通通过过
5、回回代代，可可以以很很容容易易的的解解得得方方程程组组()()的的解解：x1=1, x2=2, x3=1，也即求得了原方程组也即求得了原方程组()()的解的解。分析上述消元法过程，我们对线性方程组施行了三种变换：分析上述消元法过程，我们对线性方程组施行了三种变换：称这三种变换为称这三种变换为线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换. .(1)(1)交换两个方程的位置；交换两个方程的位置；(2)(2)用一个不等于零的数乘某一个方程；用一个不等于零的数乘某一个方程；(3)(3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上用一个数乘某个方程后加到另一个方程上. .线线性性方方程程组组的的初初等等变变换换把把
6、一一个个线线性性方方程程组组变变为为一一个与它同解的线性方程组个与它同解的线性方程组. .消消元元法法的的实实质质, ,就就是是利利用用初初等等变变换换化化简简线线性性方方程程组组. .最最终终得得到到比比较较简简单单的的容容易易求求出出解解的的线线性性方方程程组组，而该线性方程组的解即为原线性方程组的解而该线性方程组的解即为原线性方程组的解. .消元法的实质消元法的实质, ,就是利用初等变换化简线性方程组.那那么么把把方方程程组组化化简简到到哪哪一一步步就就能能解解出出原方程组的解呢原方程组的解呢进一步观察一下消元法的过程可以发现，消进一步观察一下消元法的过程可以发现，消元法中作的变化元法中
7、作的变化仅仅是对方程组的系数和常仅仅是对方程组的系数和常数项作的变化数项作的变化，可把系数项和常数项单独拿，可把系数项和常数项单独拿出来处理出来处理。()取出系数和常数项排成矩形数阵方程组跟这样的数表是相互唯一对应的方程组跟这样的数表是相互唯一对应的()取出系数和常数项排成矩形数阵这方程组跟这样的数表是相互唯一对应的这方程组跟这样的数表是相互唯一对应的消元法的两个方程互换消元法的两个方程互换数表的两行互换数表的两行互换消元法的倍加消元法的倍加数表第数表第1行某倍加到其他行行某倍加到其他行取出系数和常数项排成矩形数阵取出系数和常数项排成矩形数阵()()()从上述过程可以发现，消元法中作的变化可以
8、从上述过程可以发现，消元法中作的变化可以简单的通过对系数项和常数项构成的数表进行简单的通过对系数项和常数项构成的数表进行处理来得到方程组的解。处理来得到方程组的解。把这样的数表通称为为把这样的数表通称为为矩阵矩阵。矩阵的定义矩阵的定义定义定义由由个数个数排成的排成的行行列的矩形数阵列的矩形数阵行行列的列的矩阵矩阵，或称，或称称为称为矩阵，矩阵， 简记为简记为行行列列数数aij表表示示位位于于第第i行行第第j列列的的元元素素，i称称为为行行指指标标，j称称为为列列指标。指标。线性方程组由线性方程组的系数构成的矩阵，称为系数矩阵,由线性方程组的系数和常数项构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵，A=记
9、为A=A=记为 A为了区别系数和常数项前面分析知道，消元法就是进行一系列的线性方程组的前面分析知道，消元法就是进行一系列的线性方程组的初等变换（互换、倍乘、倍加），初等变换（互换、倍乘、倍加），事实上，也是对增事实上，也是对增广矩阵进行一系列的下面三种变换：广矩阵进行一系列的下面三种变换：称这三种变换为称这三种变换为矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换. .(1)(1)交换两行的位置交换两行的位置, ,(2)(2)用一个不等于零的数乘某一行用一个不等于零的数乘某一行, ,(3)(3)把矩阵某一行所有元素的把矩阵某一行所有元素的k倍加其他行的对应元素上倍加其他行的对应元素上, ,当对矩阵的列进行类似
10、的三种变换时，称当对矩阵的列进行类似的三种变换时，称矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换. .记为记为Rij记为记为kRi以以Ri+kRj表表示示i行行加加上上j行的行的 k倍倍据据此此可可以以知知道道，消消元元法法的的过过程程相相当当于于就就是是对对增增广广矩矩阵阵进进行行一一系系列列的的初初等等行行变变换换，化化为为比比较较简简单单的的矩矩阵阵，并并解解出出比比较较简单矩阵所代表的方程组的解，从而得到原方程组的解简单矩阵所代表的方程组的解，从而得到原方程组的解. .那么应该化为怎么样比较那么应该化为怎么样比较简单的矩阵呀简单的矩阵呀阶梯形矩阵阶梯形矩阵定义定义设设 矩矩阵阵 的的前前r（rn）
11、行行均均不不全全为为零零，其其余余行行全全为为零零. . A的的第第k行行第第1 1个个非非零零元元素素为为 ，若若满足满足则称则称A A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，并称，并称 为阶梯头。为阶梯头。每每个个台台阶阶的的高高度度都都是是1 1，也也即即从从上上往往下下每每行行第第一一个个非非零零元元素素的的位位置置必必须向右边至少缩进一个位置须向右边至少缩进一个位置例如例如阶梯头阶梯头它是阶梯形矩阵吗约化阶梯形矩阵约化阶梯形矩阵定义定义 若若阶阶梯梯形形矩矩阵阵A A的的每每个个阶阶梯梯头头都都为为1 1，且且阶阶梯梯头头所所在在的的列列其其他他元元素素都都为为零零，则则称称为为约约化化阶阶梯型矩
12、阵梯型矩阵，或称为，或称为行最简形行最简形。例如例如消消元元法法的的过过程程相相当当于于就就是是对对增增广广矩矩阵阵进进行行一一系系列列的的初初等等行行变变换换化化为为比比较较简简单单的的矩矩阵阵，并并解解出出比比较较简简单单矩矩阵阵所所代代表表的的方方程程组组的的解解，从从而而得得到到原原线线性性方程组的解方程组的解. .所所谓谓比比较较简简单单的的矩矩阵阵就就是是阶阶梯梯形形矩矩阵阵，阶阶梯梯形形矩矩阵阵代代表表的的线线性性方方程程组组当当有有解解时时通过回代一定可以求出解。通过回代一定可以求出解。所所以以，消消元元法法的的过过程程相相当当于于就就是是对对增增广广矩矩阵阵进进行行一一系系列列的的初初等等行行变变换换化化为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵，并并解解出出阶阶梯梯形形矩矩阵阵所所代代表表的的方方程程组组的的解解，从从而得到原方程组的解而得到原方程组的解. .定理定理设设 , ,且且 不不全全为为零零，则则通通过过初初等等行行变变换换和和列列互互换换能能把把A A化化为为约约化化阶梯形矩阵阶梯形矩阵A=r行作业：（注：每周一早上8点交作业）P43 1.（1） 2.（2） 3.（1）（3）
