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1、23456一、罗尔(Rolle)定理例如例如,7点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释: :8证证9注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,10例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,1112设 在0, 上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点(0, ),使得 =证明: 只要证明 由罗尔定理由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点 13141
2、5二、拉格朗日(Lagrange)中值定理16几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为17作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :1 1、18拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.19证证: 在 I 上任取两点定理定理3在 上用拉格 朗日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上为常数20例例5 5证证21例例6 6证证由上式得由上式得222324 证明对任意 证明： 不妨设 因为 25三、柯西(Cauchy)中值定理26几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数2728例例4 4证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为29四
3、、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.3031思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.32思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.33练练 习习 题题3435
