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1、2.2圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程（一）椭圆的参数方程（一）椭圆的参数方程复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a, b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？的意义?椭圆的参数方程椭圆的参数方程参考参考 设：设：M如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a, b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作AN Ox,垂足为垂足为N,过点过点
2、B作作BM AN,垂足为垂足为M,xOyANB设以设以Ox为始边，为始边，OA为终边的角为为终边的角为，点点M的坐标是的坐标是(x, y)。那么点那么点A的横坐标为的横坐标为x，点，点B的纵坐标为的纵坐标为y。由于点由于点A, B均在角均在角的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:yNMxON这是中心在原点这是中心在原点O,焦点在焦点在x轴上的椭圆的参数方程。轴上的椭圆的参数方程。 |OA|cos acos |OB|sin bsin OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :xyO圆的标准方程圆的标准方程
3、: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2的几何意义是的几何意义是 MOX=M椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=, 不是不是MOX=.称为点称为点称为点称为点MM的离心角的离心角的离心角的离心角 【练习练习】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程探究 椭圆规是用来画椭圆的一种器械椭圆规是用来画椭圆的一种器械, ,它的构造如下它的构造如下你能你能说明明椭圆规构造原理构造原理吗?设M(x,y)，则有ABMxyab x=acos y=bsin 是是椭圆的参数方程的参数方程例例1、在椭
4、圆在椭圆 上求一点上求一点M，使，使M到直到直 线线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小. 并求出最小距离。并求出最小距离。解：因为椭圆的参数方程为所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)当-0=0时,d取最小值点M与直线x+2y-10=0的距离取小值 练习练习练习练习 OO是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，P P是椭圆是椭圆是椭圆是椭圆 上离心角为上离心角为上离心角为上离心角为-/6-/6所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OPOP的倾角的正切的倾角的正切的倾角的正切的倾角的正切值是值是值是值是 . . 解：解：解：解：把把
5、把把代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程可得可得可得可得P P点坐标点坐标点坐标点坐标所以直线所以直线所以直线所以直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是: : yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 练习、练习、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形，求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。 练练习习 已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴与坐标轴正半轴的两个交点正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四使四边形边形OAPB的面积最大的面积最大.( )B（二）双曲线
6、的参数方程（二）双曲线的参数方程类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究双曲线的参数方程以原点以原点O为圆心，为圆心，a,b(a0,b0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C1,C2.MOAABB设设A为圆为圆C1上任一点上任一点,作直线作直线OA,过点过点A作圆作圆C1的切线的切线AA 与与x轴交于点轴交于点A ,过过C2与与x轴的交点轴的交点B作圆作圆C2的切线的切线BB 与直线与直线OA交于点交于点B .过点过点A ,B 分别作分别作y轴轴,x轴的平行线轴的平行线A M,B M交于点交于点M设设Ox为始边为始边,OA为终边的角为为终边的角为 ,点点M的坐标是的坐标是(x,y)A( ),
7、 B( ),A( )x, 0b, yacos,asinMOAABB因为点因为点B在角在角 的终边上的终边上,由三角函数的定义有由三角函数的定义有点点M的参数方程为的参数方程为0,2),且,MOAABB 有什么意义有什么意义? ?参数参数 是点是点M对应的的圆的半径的半径OA的旋的旋转角角(称称为点点M的的离心角离心角)说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的的倾斜角不同倾斜角不同. 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒与三角恒等式等式 相比较而得到，所以双曲线的参相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换数方程的实
8、质是三角代换.baoxy)MBA双曲线的参数方程双曲线的参数方程事实上事实上事实上事实上例例 1 如图如图,设设M为双曲线为双曲线上任意一点上任意一点,O,O为原点为原点,过点过点M作双曲线两渐近线的平行线作双曲线两渐近线的平行线,分别与分别与两渐近线次于两渐近线次于A,B两点两点.探求平行四边形探求平行四边形MAOB的面的面积积,由此可以发现什么结论由此可以发现什么结论?解解:双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为设设M为双曲线右支上一为双曲线右支上一点点,其坐标为其坐标为(asec ,btan )直线直线MA:MAOB的面积为MAOB的面积恒为定值例例2 例例例例3 3 求证：等轴双曲线
9、平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点取顶点取顶点A A2 2(a, 0), (a, 0), 弦弦弦弦AB AB OxOx， 弦弦弦弦ABAB对对对对A A1 1张直角，张直角，张直角，张直角，同理对同理对同理对同理对A A2 2也张直角也张直角也张直角也张直角 例例例例4 4 求证：
10、等轴双曲线上任意一点到两渐近线的求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。距离之积是常数。距离之积是常数。距离之积是常数。(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程, 画出方程的曲线画出方程的曲线.表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:4（三）抛物线的参数方程（三）抛物线的参数方程抛物线的参数方程回顾以时刻t作参数的抛物线的参数方程x=100ty=500gt2一般的抛物线的参数方程又是怎样?M(x,y)Oxyy2=2pxM M( (x,yx,y) )为抛物线上除顶为抛物线上除顶点
11、外的任意一点点外的任意一点, ,以射线以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作 取取 为参数求抛物线的参数方程为参数求抛物线的参数方程不包括顶点t=0t=0时时, ,由参数方程表示的点是抛物线的顶点由参数方程表示的点是抛物线的顶点(0,0)(0,0)t(-,+)时时,参数方程表示整条抛物线参数方程表示整条抛物线.t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数点连线的斜率的倒数. 例例例例1 1 如图，如图，如图，如图，OO为原点，为原点，为原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线为抛物线为抛物线 上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两动点，且上异于顶
12、点的两动点，且上异于顶点的两动点，且OAOA OBOB，OMOM ABAB于于于于MM，求点，求点，求点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程当点当点当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？C练习练习 3 3 已知已知已知已知A, B, CA, B, C是抛物线是抛物线是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个上的三个上的三个上的三个点，且点，且点，且点，且BCBC与与与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直
13、线ABAB和和和和ACAC分别与抛物线的轴分别与抛物线的轴分别与抛物线的轴分别与抛物线的轴交于交于交于交于D, ED, E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习练习 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标为点坐
14、标为同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk) 5 5 已知椭圆已知椭圆已知椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点MM，( (除短轴除短轴除短轴除短轴端点外端点外端点外端点外) )与短轴端点与短轴端点与短轴端点与短轴端点B B1 1, B, B2 2的连线分别与的连线分别与的连线分别与的连线分别与x x轴交于轴交于轴交于轴交于P, QP, Q两两两两点，点，点，点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。为定值。为定值。 练习练习练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线直线直线 与曲线与曲线与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点，则mm的范围是：的范围是：的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过直线恒过直线恒过点点点点当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足小结椭圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程抛物线的参数方程利用参数方程求利用参数方程求f (x,y)的最值较方便的最值较方便
