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1、课前小测试nDnBn0n点评：1、看出奇、偶项和了没？2、化到a1和d是通法。3、等差数列Sn=An2+Bn形态技巧。等比数列（一）智者哲人都告诉我们，为了成功必须付出各种代价，如果不加上耐心，都是枉然。有勇气而无耐心，会使你覆亡；有野心而没耐心，会摧毁你似锦的前程；坚持而无耐心，终究经不起时间长流的激荡。庄子曰：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95
2、 5，9 96 6， 9 97 7堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列： 出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色九色, ,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（几毛，几色？（孙子算经孙子算经）如果一碗面由如果一碗面由256256根面条组根面条组成成, ,请问需要拉面师傅拉几请问需要拉面师傅拉几次才能得到次才能得到? ?“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”某种
3、汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是万元，每年的折旧率是15%，这，这辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：拉面时前拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列次拉伸成的面条根数构成一个数列: 上面数列有什么上面数列有什么共同特点共同特点共同特点共同特点 ?从从第二项第二项起起,每一项与前一项的每一项与前一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 25610，100.85,100.852 ,100.853,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 25
4、6等比数列的定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q0）或名 称等差数列等比数列定 义从从第第2 2 2 2项项起起，每每一一项项与与它它前前前前一一项项的的比比都都等等于于同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数, , 这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列. .这个常数叫做等比数这个常数叫做等比数列的公比，用列的公比，用q q表示表示. .从第从第2 2项起，每一项项起，每一项与它前一项的与它前一项的差差都等都等于于同一个常数同一个常数，这个数列叫做等差数这个数列叫做等差数列列
5、. .这个常数叫做等差数这个常数叫做等差数列的公差，用列的公差，用d d表示表示对等比数列的认识：（1） 即等比数列的每一项都不为0；（2） 即等比数列的公比不为0；（3） 为非零常值数列； 10练一练指出下列数列是不是等比数列，若是，说指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由明公比；若不是，说出理由 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (3) 2, -2, 2, -2, 2(1) (1) ,2, 4, 16, 64, ,2, 4, 16, 64, (2) 16, 8, 1, 2, 0,(2) 16, 8, 1, 2, 0,不是不是是是不一定不一定(4) b, b, b
6、, b, b, b, b, (4) b, b, b, b, b, b, b, 不是不是等比数列通项的求法n已知等比数列an首项为a1，公比为q，则通项an=？a2=a1qa3=a2q=(a1q)q=a1q2a4=a3q=(a1q2)q=a1q3an=a1qn-1迭代法 , 累乘法2.等比数列的通项公式问题：如何用和表示第项.归纳猜想法叠乘法这个式子相乘得，所以.等比数列的通项公式为函数观点方程思想类指数函数式类指数函数式解方程解方程, ,知三求一知三求一例1: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.把代入 ，得把的两边分别除以的两边，得解：设这个等比数列的第1项是
7、 ，公比是 ，那么因此答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 .作差（等差）作差（等差） 作商（等比）作商（等比）例例2：等比数列等比数列 中，中，求求解：由等比数列的解：由等比数列的通项公式的特点可通项公式的特点可得：得：q=10,aq=10,a1 1=-30=-30解：解：n=1 an=1 a1 1=2=21 1=2=2 n=2 a n=2 a2 2=2=22 2=4=4可得：可得：q=2q=2nAn+Ba =（等差）（等差）nABna =（等比）（等比）例例3 3：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比由下列等比数列的通项公式，求首项与公比（1）an=2n (2) an= 310n 思考
8、思考: :你能判断它们的增减性吗你能判断它们的增减性吗? ?五五.小结小结数列数列等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义同一常数同一常数通项公式通项公式性质性质 an+1-an=dd 叫公差叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你还知道你还知道等差数列等差数列有什么性质吗有什么性质吗?你能类比写出你能类比写出等比数列等比数列的性质吗的性质吗?q叫公比叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m等比中项nKEY：等比数列的许多概念都可以在等差数列的众多概念中找到相似的对应！到现在你已经发现了多少？ 如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G G，使，使a
9、 a，G G，b b成等比数列，那么成等比数列，那么G G叫做叫做a a与与b b的的等比中项等比中项。题型一、运用等比数列定义nKEY：如果递推关系是连续三项时，也可以用等比中项式证明等比数列：题型二、通项公式的运用小结（一）课前小测试nDn128n13 16等比数列（二）当你迷茫的时候，手边的事情就是好事情，不要犹豫，不要觉得可能自己会错过什么，你犹豫的时候，手边的事情就没做好，最后这辈子啥也没得到。等比数列的力量nKEY：用函数的眼光来看等比数列的通项公式，原来如此！想想以前我们学过几种函数的增长模型中，哪一种增长速度最快呢？一张纸对折，最多能折几次？无论什么材料的纸，无论纸有多大，也无
10、论纸有多薄，你最多能折几次呢？当然不能裁纸或者借助外力，也不是折了再拆拆了再折的反复动作。赶快动手吧，随便找一张纸试试看。试试看，你会发现一个奇妙的现象。哲学上是无穷次，而你实际能折多少次呢？从物理上分析应该是有限次，要看你纸的大小，材料。假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚度51.2mm，10次是102.4mm，就折不动了。不可能无限的折叠,因为假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚51.2mm，10次是102.4mm，11次是204.8mm,已经不可能从真正意义上说折动了。如果是非常大，非常薄的纸，也不超过9次，折九次时后纸的总厚度是单张的512倍。如果理论上能折50次，
11、总厚度就是原厚度的2的50次方.吓人哪，若原厚度是0.045mm，那么总厚度约是4500公里，信吗？不信，你自己算算。折一次等于原纸厚度的两倍。一张0.01毫米厚的纸，对折30次后比珠穆朗玛峰还高(10737.41824米)。但你只能折七八次，其中的原因你想想就知道了。假设厚度是0.1毫米，那么42次就相当于地球到月亮的距离了，380000千米。如果那“一张纸”是指通常见的A4左右大小的普通书写纸，而“折”是指类似通常手工操作的对折，折九次时后纸的总厚度是单张的512倍，也就是这时的厚度远大于宽度（宽度已经变成原来的512分之1），那由于这“纸”的材料力学的弯曲和弹性等的特性，在不破坏（撕裂）
12、的条件下是无法做到的。所以，看完这个你算长知识了，那就是一张纸最多能折9次！公比q对数列的影响q1 0q1q=1q0递增递减常数列摆动数列a10，即ab同号！表现在等比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例中b不可能为-3，且a、c也要同号。因而只有两组可能的解。n正解：题型三、等比数列的对称设法nKEY：本题求解过程中要注意整体思想的运用总结（二） 图（）是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以图（）是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（）中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（），如此继续下去，得图（），如此继续下去，得图（
13、）试求第个图形的试求第个图形的边数边数,边长边长和周长和周长应用拓展应用拓展思考思考按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线可以发现，按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线可以发现，当增大时，这个图形的边长越来越小，但周长却越来越大，你当增大时，这个图形的边长越来越小，但周长却越来越大，你还能发现这个图形其他有趣的性质吗？还能发现这个图形其他有趣的性质吗？ 要计算第个图形的周长，只需计算第个图形的边数要计算第个图形的周长，只需计算第个图形的边数第个图形的边数为，因为从第个图形起，每一个图第个图形的边数为，因为从第个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的倍，所以，第个图形的形的边数均为上一个图形
14、边数的倍，所以，第个图形的边数为边数为因此，因此，解：设第个图形的边长为解：设第个图形的边长为由题意知，从第二个图形起，由题意知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的每一个图形的边长均为上一个图形边长的/，所以数列，所以数列是首项为，公比为是首项为，公比为/的等比数列故的等比数列故第个图形的周长第个图形的周长 知识回顾内容内容等差数列等差数列等比数列等比数列定定义递推关系推关系通通项公式公式前前n项和和公式公式性性质实际应用用函数思想函数思想从第二项起从第二项起, ,每一项与前一项每一项与前一项的差都等于同一个常数的差都等于同一个常数. .从第二项起从第二项起, ,每一项与前一
15、项每一项与前一项的比都等于同一个常数的比都等于同一个常数. .an-an-1=d(n2)an/an-1=q(n2)an=a1+(n-1)d或或an=ak+(n-k)d an=a1qn-1或或an=akqn-kam+an=ap+al(m+n=p+l)ak1,ak2,ak3等差等差(k1,k2,k3等等差差)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k等差等差 aman=apal(m+n=p+l)ak1,ak2,ak3等比等比(k1,k2,k3等等差差)三数等差设为三数等差设为a-d,a,a+d四数等差设为四数等差设为a-3d,a-d,a+d,a+3d三数等比设为三数等比设为a/q,a,aq或或a,aq,a
16、q2an是是n的一次函数，的一次函数，(n,an)在同一直线在同一直线上上Sn是是n的二次函数的二次函数,可求最大值或最小值可求最大值或最小值 例例1.在等比数列在等比数列an中，中， (1)若若a1a10=10，求其前，求其前10项的积项的积; (2)若若an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,求求a3+a5; (3)若若a1a9=256, a4+a6=40,求公比求公比q.练习：已知练习：已知 an 为等比数列，则下列为等比数列，则下列数列仍是等比数列的是数列仍是等比数列的是 . 2an； nan； |an|； an+an+1+an+2 lgan . 例例2、已知已知an、 bn是项
17、数相同的是项数相同的等比数列，试判断等比数列，试判断anbn是否为等是否为等比数列；比数列；思考思考:2. 已知已知an，bn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，列， 是等比数列吗？是等比数列吗？1. an是等比数列，是等比数列，C是不为是不为0的常数，的常数，数列数列can是等比数列吗？是等比数列吗？3. 已知已知an，bn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，列， 是等比数列吗？是等比数列吗？探究探究:1.通项为通项为an2n1的数列的图象与的数列的图象与函数函数 y2x1的图象有什么关系？的图象有什么关系？2.等比数列的增减性等比数列的增减性:例例4、已知数列已知数列an满足满足a
18、1=5，an=2an-1+3(n2). 求证：求证： an+3 是等比数列；是等比数列； 求求an。2. 在等比数列中，在等比数列中， ，则此列前九项之则此列前九项之积为积为 _练习：练习：例例8、已知无、已知无穷数列数列 求证：（求证：（1）这个数列成等比数列。）这个数列成等比数列。（2）这个数列中的任一个数列中的任一项是它后面第五是它后面第五项的的 （3）这个数列的任意两个数列的任意两项的的积仍在仍在这个数列中。个数列中。判断一个数列是否成等比数列的方法：判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；、定义法；2、中项法；、中项法；3、通项公式法。、通项公式法。如果在如果在a与与b中间插一
19、个数中间插一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的的等比中项。即等比中项。即 G2=ab (ab0)注意：注意：（1）同号两数才有等比中项；）同号两数才有等比中项； （2）等比中项有两个，它们互为相反数；）等比中项有两个，它们互为相反数； （3）若三个数成等比数列，则可设这三个）若三个数成等比数列，则可设这三个 数分别为数分别为aq，a，aq3. 等比中项等比中项四.例题讲解与规律探索1. 在在243和和3中间插入中间插入3个数个数, 使这使这5个数个数 成等比数列成等比数列. 求这三个数求这三个数.2.等比数列的前三项为等比数列的前三项为a, 2a+2,
20、 3a+3, 问这个问这个 数列的第几项的值是数列的第几项的值是 ?3.已知已知an, bn是项数相同的等比数列是项数相同的等比数列, 求证求证an bn也是等比数列也是等比数列.例4. 在等比数列an中，（1）若a4=5,a8=6,则a2a10=_，a6=_（2）若a1a9=64，且a3+a7=20，则a11=_（3）若a7a12=5，则a8a9a10a11=_例5. 已知an是等比数列，an0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20例6. 等比数列中，首项为98，末项为13，公比 为23，则项数n =_例7.若三个数为x,
21、2x+2, 3x+3成等比数列, 则x=_等比数列的图象1（1）数列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200等比数列的图象2（2）数列：12345678910123456789100等比数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100等比数列的图象4（1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：为一个等比数列：（1）1， ， 9 （
22、2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的的等比中项。等比中项。等比数列的通项公式例题1 例例1 培育水稻新品种，如果第培育水稻新品种，如果第1代得到代得到120粒种子，并且从第粒种子，并且从第1代代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？解：解：由于每代的种子
23、数是它的由于每代的种子数是它的前一代种子数的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成因此，逐代的种子数组成等比数列，记为等比数列，记为 答：到第答：到第5代大约可以得到代大约可以得到这种新品种的种子这种新品种的种子 粒粒. 等比数列的通项公式例题2 例例2 一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18，求它，求它的第的第1项与第项与第2项项. 解：解： 用用 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是等比数列的通项公式例题3 例例
24、3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的价由原来的174元降到元降到58元元. 这种电讯产品平均每次降价的百这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到分率大约是多少（精确到1%）？）？ 解：解：将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依(1-x)为为的公比等比数列的公比等比数列 ，由已知条件，有由已知条件，有因此因此，答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.设设平均每次降价的百分率是平均每次降价的百分率是x，那么每次降价
25、后的单价应是降价前的那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍倍.若原价格为a，则降价x后的价格应为a-ax=a(1-x)等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8， （1） 5，-15，45，形成性训练 1、在等比数列、在等比数列an中，已知中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比，则公比 q的值为的值为_ 2、 2与与8的等比中项为的等比中项为G，则，则G的值为的值为_ 3、在等比数列、在等比数列an中，中，an0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么那么a3+a5=_4、在等比数列中、在等比数列中a7=6，a10
26、=9，那么，那么a4=_.例题分析例例:（2006全国卷全国卷I）已知）已知an为等比数为等比数列，公比列，公比q1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等比求等比数列数列 an的通项公式的通项公式2若若G2ab，则，则a，G，b一定成等比数列吗？一定成等比数列吗？提示：提示：不一定，若不一定，若aGb0时，不满足时，不满足等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明 已知数列已知数列an满足满足a11，an12an1.(1)求证：数列求证：数列an1是等比数列；是等比数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式【思路点拨思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比将递推公式变形，然后利用等比数
27、列的定义判定数列的定义判定例例例例3 3(2)由由(1)知，知，an1是以是以a11为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列所以所以an122n12n，即即an2n1.【名师点评名师点评】已知数列的递推关系求通项公式已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式求出通项公式解解：(1)a6a8=a72=9 例例3、在等比数列在等比数列an中，已知中，已知 ，求下列各式的值求下列各式的值：(1) (2) 例例4、已知正项数列已知正项数列a1 , a2 , a3 , a10 , a11 成等比成等比数列，且数列，且 a1a11 = 9，求：求： 的值。的值。 (2)a3a11=a72=9a1a11 = a62=9且且an0a6=3解：解：
