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1、1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 现实生活中的几个问题吸烟是否与得肺癌有关系？性别是否与数学好坏有关？韩国人比中国人个子高？1、介绍两个相关的概念、介绍两个相关的概念 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同不同“值值”表示个体所属的表示个体所属的不同类别不同类别，像这样的变量称为，像这样的变量称为分分类类变变量量，也也称称为为属属性性变变量量或或定定性性变变量量，它它们们的的取取值值一一定定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。（1）分类变量： 定量变量的取值一定是实数，它们的取
2、值大小有定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。（2）定量变量： 例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的，李立的身高是身高是175cm，说明张明比李立高，说明张明比李立高180-175=5（cm）。）。独立性检验独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟20994
3、92148总计总计9874919965 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了了9965人，得到如下结果（单位：人）：人，得到如下结果（单位：人）： 那么吸烟是否对患肺癌有影响？那么吸烟是否对患肺癌有影响？表表1-7 吸烟与患肺癌列联表吸烟与患肺癌列联表1、象这样的两个分类变量的频数表叫、象这样的两个分类变量的频数表叫列联表列联表. 在不吸烟者中，有在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；患有肺癌； 在吸烟者中，有在吸烟者中，有2.28%患有肺癌患有肺癌。因此，直观上可以。因此，直观上可以得到结论得到结论: 吸烟者和不吸烟者患肺癌
4、的可能性存在差异吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异。2、与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映、与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。出相关数据的总体状况。三维柱形图二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观判断上面我们通过分析数据和图形，得到的直观判断是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？你得到这个结论有多大的把握呢你得到这个
5、结论有多大的把握呢?为此先假设为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系，：吸烟与患肺癌没有关系，看看能够推出什么样的结论。看看能够推出什么样的结论。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d如果如果“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，(即即H0 成立成立)则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即不吸烟者中相应的比例差不多，即:结论：结论：|ad-bc| 越小，说明越小，说明H0 成立的可能性越大成立的可能性越大.如下表用字母表示数字得列联表（表如下表用字母表示数字得列
6、联表（表1-8） 为了统一评判标准，我们构造一个随机变量为了统一评判标准，我们构造一个随机变量 因此因此:若若 H0成立，则成立，则K2应很小。应很小。利用公式（利用公式（1）计算得到）计算得到 K2 的观测值为的观测值为（1）如何看待这个值呢？如何看待这个值呢？ 即在即在H0成立的情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.635的的概率非常小，概率非常小， 近似于近似于0.01。而现在。而现在K2的值的值56.632远大于远大于6.635, 故它是小概率事件故它是小概率事件,所以所以我们认为我们认为H0 是不成立的是不成立的 .虽然这种判断犯错虽然这种判断犯错误的可能性存在误的可能性存在
7、, 但但我们有我们有99%的把握认为的把握认为H0 是不成立的是不成立的!(即吸烟与患肺癌有关系即吸烟与患肺癌有关系)在在H0成立的情况下，统计学家研究出如下的成立的情况下，统计学家研究出如下的概率概率上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度来确定在多大程度上可以认为上可以认为“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法的方法称为两个分类变量的独立性检验。称为两个分类变量的独立性检验。独立性检验的定义：独立性检验的定义：独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想： 类似于数学上的反证法，要确认类似于数学上的反证法，要确认“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成立
8、的可信程度，这一结论成立的可信程度， 首先，假设该结论不成立首先，假设该结论不成立，即假设结论即假设结论“两个分类变量两个分类变量没有关系没有关系”成立。成立。 其次，在假设下，计算构造的随机变量其次，在假设下，计算构造的随机变量K2，如果有观如果有观测测数数据据计计算算得得到到的的K2k0，则则我我们们有有1-P(K2k0)*100把握说明假设不合理（即两个分类变量有关系）。把握说明假设不合理（即两个分类变量有关系）。当当K2k0，则则我我们们没没有有1-P(K2k0)*100把把握握说说明明假假设设不合理。不合理。独立性检验的基本思想类似独立性检验的基本思想类似反证法反证法( (1)1)假
9、设结论不成立假设结论不成立, ,即即“两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系”. .(2)(2)在此假设下随机变量在此假设下随机变量 K K2 2 应该很能小应该很能小, ,如果由观测数据如果由观测数据计算得到计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大, ,则在一定程度上说明假设则在一定程度上说明假设不合理不合理. .(3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义, ,可以通过可以通过评价该假设不合理的程度评价该假设不合理的程度, ,由实际计算出的由实际计算出的, ,说明假设合理的程度为说明假设合理的程度为99.9%,99.9%,即即“两个分类变量有关系两个分类变量有关
10、系”这一结论成立的可信度为约为这一结论成立的可信度为约为99.9%.99.9%. 设要判断的结论为：H1：“X与Y有关系” 1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断 两个变量是否有关系。（1）在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高度的 乘积ad与副对角线上的乘积bc相差越大，H1成 立的可能性就越大。（2）在二维条形图中，(x1,y1)个体所占的比例 与(x2,y1) 个体所占的比例 ， 两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。独立性检验的一般步骤：2x2列联表y1y2总计总计x1aba+bx2c
11、dc+d总计总计a+cb+da+b+c+d具体作法是： 根据观测数据计算随机变量K2的值k，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。可以通过查阅下表（表1-12）来确定断言“X与Y有关系”的可信程度。表1-1210.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50例如：（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；（2）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；（3）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有
12、关系”；（4）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”。例1.秃头与患心脏病 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验的方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 相应的三维柱形图如图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“秃
13、顶与患心脏病有关”。秃头不秃头例1.秃头与患心脏病 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而 另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验的方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下的列联表1-13：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 根据列联表1-13中的数据，得到所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生
14、中随机抽取300名学生，得到如下的列联表：喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计男男3785122女女35143178总计总计72228300解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下K2应该很小，并且例2.性别与喜欢数学课 由表中数据计算K2的观测值k 4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？而我们所得到的K2的观测值k 4.513超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。思考： 例1、2的结论是否适用于普通的对象？ 在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。图形可帮助向非专业人士解释所得的结果；也可以帮助我们判断所得的结果是否合理。例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体例2的结论只适合被调查的学校。大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）e.e. 知识结构图分类变量之间关系分类变量之间关系条形图条形图柱形图柱形图列联表列联表独立性检验独立性检验背景分析
