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1、例：例：小孔泻流小孔泻流: 容器体积容器体积V, 真空真空, 小孔面积小孔面积A, 大气压强大气压强P0, 温度温度T0, 打开小孔打开小孔求：求：容器中气体压强增至容器中气体压强增至P0 /2时所需时间时所需时间?解：解：进入进入:流出流出:温度相同温度相同:则则:即即:则则:2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 按按照照分分子子混混沌沌性性假假设设，处处于于平平衡衡态态的的气气体体其其分分子子数数密密度度n处处处处相相等等，但但这这仅仅在在无无外外力力场场条条件件下下才才成成立立。若若分分子子受受到到重重力力场场、惯惯性性力力场场等等作作用用，气气体
2、体分分子子数数密密度度将将有有一一定定的的空空间间分分布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例。 一一 、 等等 温温 大大 气气 压压 强强 公公 式式（ isothermal barometric formula) 现现假假设设大大气气是是等等温温的的且且处处于于平平衡衡态态，则则大大气气温温度度随随高高度度变变化化是是怎怎样样的的？现现考考虑虑在在大大气气中中垂垂直直高高度度为为z到到z+dz，面面积积为为A的一薄层气体（见图的一薄层气体（见图)。该系统达到平衡的条件为该系统达到平衡的条件为 积分，则有积分，则有其中其中p（0）及）及p（z）分
3、别为高度）分别为高度0及及z处大气压强。处大气压强。改写为气体分子数密度随高度分布公式，则改写为气体分子数密度随高度分布公式，则气体分子热运动气体分子热运动( )与分子受重力场与分子受重力场( )作用这一对矛盾作用这一对矛盾注意注意等温气压公式等温气压公式二、等温大气标高二、等温大气标高 因因指指数数上上量量纲纲为为1，故故 中中的的 具具有有高高度度的的量量纲。定义大气标高纲。定义大气标高H大气标高的物理意义大气标高的物理意义（1）在高度）在高度z=H处的大气压强为处的大气压强为z=0处大气压强的处大气压强的1/e（2）设设把把整整个个大大气气分分子子都都压压缩缩为为环环绕绕地地球球表表面面
4、的的、其其密密度度与与海海平平面面处处大大气气密密度度相相等等的的一一层层假假想想的的均均匀匀大大气气层层，则则这这一一层大气的厚度也是层大气的厚度也是H思考？思考？实验测得常温下距海平面不太高处，每升高实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压，大气压约降低约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面。试用恒温气压公式验证此结果（海平面上大气压按上大气压按1.013105 Pa 计，温度取计，温度取273K）。）。 解解例例等温气压公式等温气压公式将上式两边微分，有将上式两边微分，有拉萨海拔约为拉萨海拔约为3600m ，气温为气温为273K，忽略气温随高度的变，忽略
5、气温随高度的变化。当海平面上的气压为化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，时，由等温气压公式得由等温气压公式得设人每次吸入空气的容积为设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸，在拉萨应呼吸x 次次 (1) 拉萨的大气压强；拉萨的大气压强；(2) 若某人在海平面上每分钟呼吸若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。次才能吸入同样的质量的空气。M=2910- -3 kg/mol解解例例求求则有则有三、玻尔兹曼分布（三、玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution） 等温大气重力场中分布公式式等温大气重力场中分
6、布公式式接下来看麦克斯韦速度分布接下来看麦克斯韦速度分布 分分布布都都是是按按粒粒子子能能量量的的分分布布，它它们们都都有有一一个个称称为为“玻玻尔尔兹曼因子兹曼因子”的因子的因子 规规律律:这这些些分分布布中中都都有有 因因子子 ，称称为为玻玻尔尔兹兹曼曼因因子子。具具有有玻玻尔尔兹兹曼曼因因子子的的分分布布，称称为为玻玻尔尔兹兹曼曼分分布布（Bortzmann distribution） 若若n1和和n2分分别别是是在在温温度度为为T的的系系统统中中，处处于于粒粒子子能能量量为为 的的某一状态与粒子能量为某一状态与粒子能量为 的另一状态上的粒子数密度。的另一状态上的粒子数密度。则玻尔兹曼分
7、布可表示为则玻尔兹曼分布可表示为 玻玻尔尔兹兹曼曼分分布布表表示示：粒粒子子处处于于能能量量相相同同的的各各状状态态上上的的概概率率是是相相同同的的；粒粒子子处处于于能能量量不不同同的的各各状状态态的的概概率率是是不不同同的的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小粒子处于能量高的状态上的概率反而小-能量最小原理。能量最小原理。u 玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式对于粒子只能取两个能级的系统：对于粒子只能取两个能级的系统：产生激光的系统，就处于粒产生激光的系统，就处于粒子数反转（子数反转（population inversion）的负
8、温度状态。）的负温度状态。讨论讨论若若若若u 有外力有外力场时场时分子按能量的分布分子按能量的分布规规律律分子分子处处于保守力于保守力场场中中时时，分子能量既有，分子能量既有动动能又有能又有势势能能 分子分子动动能是分子速度的函数，分子能是分子速度的函数，分子势势能一般是位置的函数，分子数按能能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空量分布关系与速度有关，也和空间间位置有关位置有关.其中其中n0 表示表示Ep=0处处气体分子的数密度气体分子的数密度.（玻耳（玻耳兹兹曼分子按能量分布定律）曼分子按能量分布定律）.u重力重力场场中微粒按高度分布中微粒按高度分布根据麦克斯根据麦克斯韦
9、韦速度分布函数的速度分布函数的归归一化性一化性质质则则玻耳玻耳兹兹曼分曼分布可以写布可以写为为：（粒子数密度按（粒子数密度按势势能的分布）能的分布）分子按分子按势势能的分布能的分布规规律是玻耳律是玻耳兹兹曼分布律的另一常用形式曼分布律的另一常用形式.如果保守外力如果保守外力场为场为重力重力场场，势势能能为为 Ep=mgz （z为为高度），高度），则则(重力重力场场中粒子数密度按高度的分布中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状将其代入理想气体状态态方程有方程有* 四、旋转体中悬浮粒子径向分布四、旋转体中悬浮粒子径向分布 超速离心技术超速离心技术 现现以以水水平平管管中中距距旋旋转转中中心心
10、轴轴r到到r+dr的一段气体作为研究对象。的一段气体作为研究对象。u 力学方法：力学方法：u 热学方法：热学方法：坐标系取在回转体坐标系取在回转体上的惯性离心力上的惯性离心力设设在在r=0处处的的势势能能为为Ep（0）=0，则则在在r=r处的势能处的势能根据玻耳兹曼分布根据玻耳兹曼分布2.7 能量均分定理能量均分定理 在在之之前前已已得得到到 ，本本节节将将在在此此基基础础上上，通通过过与与实实验验测测量量值值的的比比较较，得得到到能能量量均均分分定定理理，并并指指出出这这一一定定理理的局限性。的局限性。一、理想气体的热容一、理想气体的热容1. 热容（热容（heat capacity） 热热容
11、容：在在存存在在温温度度差差所所发发生生的的传传热热过过程程中中，物物体体升升高高或或降低单位温度所吸收或放出的热量。降低单位温度所吸收或放出的热量。 若以若以Q表示物体在升高表示物体在升高T 温度的某过程中吸收的热量，温度的某过程中吸收的热量，则物体在该过程中的热容则物体在该过程中的热容C定义为定义为 2. 理想气体热容与理想气体内能理想气体热容与理想气体内能单原子单原子理想气体只有热运动平动动能，没有势能。理想气体只有热运动平动动能，没有势能。分子的热运动平均平动动能分子的热运动平均平动动能由于在等体过程中不作功，所吸收热量就等于内能增加，即由于在等体过程中不作功，所吸收热量就等于内能增加
12、，即摩尔内能为摩尔内能为单原子理想气体的定体摩尔热容单原子理想气体的定体摩尔热容 理想气体热运动无择优取向理想气体热运动无择优取向而而 理想气体中，理想气体中，x、y、z三个方向的平均平动动能都均分三个方向的平均平动动能都均分 但但是是将将这这一一规规律律用用来来解解释释双双原原子子及及多多原原子子气气体体时时，却却与与实实验事实并不相符验事实并不相符自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目。自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目。刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子。刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子。分子种类分子种类平动自由度平动自由度平动自由度
13、平动自由度 t t转动自由度转动自由度转动自由度转动自由度 r r总自由度总自由度总自由度总自由度 i it tr r单原子分子单原子分子单原子分子单原子分子303刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子325刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子336二、自由度与自由度数二、自由度与自由度数自自由由度度（degree of freedom）定定义义：描描述述一一个个物物体体在在空空间间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度。的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度。1. 分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。分子的自由度不仅取决于其内
14、部结构，还取决于温度。说明说明2. 实实际际上上，双双原原子子、多多原原子子分分子子并并不不完完全全是是刚刚性性的的，还还有有振振动动自自由由度度（s）。但但在在常常温温下下将将其其分分子子作作为为刚刚性性处处理理，给给出出与与实实验验大大致致相相符符的的结结果果，因因此此可可以以不不考考虑虑分分子子 内内部部的的振振动动，认为分子都是刚性的。认为分子都是刚性的。 3. 非刚性双原子分子有一个沿两质心联线振动的振动自由度非刚性双原子分子有一个沿两质心联线振动的振动自由度4. N个个原原子子组组成成的的多多原原子子分分子子，其其自自由由度度数数最最多多为为3N个个。一一般般来来说说，在在这这3N
15、自自由由度度中中，有有三三个个（整整体体）平平动动、三三个个（整整体）转动及体）转动及3N-6个振动自由度。个振动自由度。每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为由于沿由于沿由于沿由于沿x,y,zx,y,z三个方向运动的概率均等，有三个方向运动的概率均等，有三个方向运动的概率均等，有三个方向运动的概率均等，有在温度为在温度为T 的平衡态下，物质的平衡态下，物质(气体、液体和固体气体、液体和固体)分子的分子的每一个自由度都具有相同的每一个自由度都具有相同的平均动能平均动能，其值为，其值为这一结论称为能量按自由度均分定
16、理。这一结论称为能量按自由度均分定理。一个分子的平均平动动能为一个分子的平均平动动能为三、能量均分定理三、能量均分定理（Theorem of equi-partition of energy )(1) 能量按自由度均分能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果是大量分子统计平均的结果，是是分子分子 间的频繁碰撞而致间的频繁碰撞而致。说明说明(3) 若某种气体分子具有若某种气体分子具有t 个个平动自由度和平动自由度和r 个转动自由度个转动自由度， s个个振动自由度振动自由度，则每个气体分子的平均总动能为则每个气体分子的平均总动能为每个气体分子的平均势能为每个气体分子的平均势能为 ，因此因此(2)
17、一般也适用液体和固体。一般也适用液体和固体。一个气体分子的平均总能量为一个气体分子的平均总能量为对于刚性分子（对于刚性分子（常温常温）气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原子间振动势能、分子间相互作用势能的总和。子间振动势能、分子间相互作用势能的总和。子间振动势能、分子间相互作用势能的总和。子间振动势能、分子间相互作用势能的总和。四、理想气体的内能四、理想气体的内能理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间理想气体的内
18、能：气体内所有分子的动能和分子内原子间振动势能的总和振动势能的总和。1mol理想气体的内能为理想气体的内能为 质量为质量为m、摩尔质量为、摩尔质量为Mm的理想气体的内能为的理想气体的内能为说明说明 一定质量的理想气体内能一定质量的理想气体内能完全取决于分子运动的自由度数完全取决于分子运动的自由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。对于给定气和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。对于给定气体，体，i 是确定的，所以其内能就只与温度有关，这与宏观是确定的，所以其内能就只与温度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的。的实验观测结果是一致的。 焦耳定律焦耳定律单原子分子气体单原子分子气体 双原子
19、分子气体双原子分子气体 多原子分子气体多原子分子气体 l理想气体的摩尔热容理想气体的摩尔热容理想气体的定体摩尔热容为理想气体的定体摩尔热容为能量均分定理的局限能量均分定理的局限所涉及的所涉及的温度温度 范围内，气体的范围内，气体的 都近似为都近似为常量（数）常量（数） 与何有关与何有关单单原子原子双双原子原子多多原子原子7/2R5/2R3/2RCvmT(K)100 25010002500H2的的Cv,mT说明说明1. 经典物理解释经典物理解释 自由度自由度“冻结冻结” 2. 量子物理解释量子物理解释 振动能量振动能量 常温时常温时 转动转动平动平动振动振动7/2R5/2R3/2RCvmT(K)
20、100 25010002500求求0时，时，2mol的的H2和和He理想气体分子的平均平动动能，理想气体分子的平均平动动能，平均总动能和气体的内能各是多少平均总动能和气体的内能各是多少?例例解解理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关，因而理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关，因而H2和和He的平均平动动能为的平均平动动能为氦气为单原子分子，氦气为单原子分子，i =3，故氦分子的平均总动能为，故氦分子的平均总动能为氦气的内能为氦气的内能为氢气分子为双原子分子，氢气分子为双原子分子，i =5，氢气分子的平均总动能为，氢气分子的平均总动能为因此氢气的内能为因此氢气的内能为质量为质量为0.1kg，温
21、度为，温度为27的氮气，装在容积为的氮气，装在容积为0.01m3的容的容器中，容器以器中，容器以v =100ms-1速率作匀速直线运动，若容器突然速率作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能.例例平衡后氮气的温度和压强各增加多少？平衡后氮气的温度和压强各增加多少？求求当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将会增大会增大.解解常温下，氮气可视为刚性双
22、原子分子，则质量常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量m的氮气的内的氮气的内能为能为当温度改变当温度改变T 时，内能的增量为时，内能的增量为当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有则系统温度的变化为则系统温度的变化为容器停止后气体体积不变，由状态方程容器停止后气体体积不变，由状态方程 可得到氮气压强的变化可得到氮气压强的变化思考题思考题: 容器作匀速直线运动时容器作匀速直线运动时,气体的内能改变吗气体的内能改变吗(为什么为什么?)1已知已知为为个质量为个质量为（组成的系统的速率分布函数，则速率小于组成的系统的速率分布函数，则速率
23、小于的分子数的分子数之和为之和为 。很大）的理想气体分子很大）的理想气体分子为为 ；速率在；速率在区间内所有分子的平动动能区间内所有分子的平动动能2假定总分子数为假定总分子数为分子的速率分布如图所示，试分子的速率分布如图所示，试求：（求：（1）最概然速率）最概然速率 ；(2) 与与、的分子数的分子数。的气体的气体（3）平均平均速率；（速率；（4）速率大于）速率大于的关系；的关系；3. 一容器中有一容器中有16g氧气（刚性分子），温度为氧气（刚性分子），温度为100，试求：，试求：（1）分子的平均平动动能；（）分子的平均平动动能；（2）分子的平均转动动能；）分子的平均转动动能；（3）分子的平均动能；（）分子的平均动能；（4）氧气的内能。（玻尔兹曼）氧气的内能。（玻尔兹曼常量常量 ）。）。
